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1、,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第三章 生命表,1,生命表相關(guān)定義,生命表：反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續(xù)死亡的全部過程的一種統(tǒng)計(jì)表。,封閉人口：指所觀察的一批人只有死亡變動(dòng)，沒有因出生的新增人口和遷入或遷出人口。,2,生命表基本函數(shù),l,x,：,存活到確切整數(shù)年齡x歲的人口數(shù)，,x=0,1,-1,。,n,d,x,：在,x,x+n,歲死亡的人數(shù)，當(dāng),n,=1時(shí)，簡記為,d,x,n,q,x,：x歲的人在xx+n歲死亡的概率，當(dāng)n=1時(shí)，簡記為q,x,3,生命表基本函數(shù),(1),(2),(3),4,生命表基本函數(shù),n,p,x,：

2、xx+n,歲的存活概率,與,n,q,x,相對的一個(gè)函數(shù)。,當(dāng),n=1，,簡記為,p,x,。,5,生命表基本函數(shù),n,L,x,：,x,歲的人在,xx+n,生存的人年數(shù)。,人年數(shù)是表示人群存活時(shí)間的復(fù)合單位，1個(gè)人存活了1年是1人年，2個(gè)人每人存活半年也是1人年，在死亡均勻分布假設(shè)下，,xx+n,歲的死亡人數(shù),n,d,x,平均來說存活了,n,/2年，而活到,l,x+n,歲的人存活了,n,年，故,當(dāng),n=1,時(shí)，,6,：,x,歲人群的平均余壽，表明未來平均存活的時(shí)間。,當(dāng),x,為,0,時(shí)，表示出生時(shí)平均余壽，即出生同批人從出生到死亡平均每人存活的年數(shù)。,生命表基本函數(shù),T,x,：,x,歲的人群未來累

3、積生存人年數(shù)。,在均勻分布假設(shè)下，,7,生命表基本函數(shù),：表示,x,歲的人存活,n,年并在第,n,+1年死亡的概率，,或,x,歲的人在,x+n,x+n+1,歲死亡的概率。,：表示,x,歲的人在,x+nx+n+m,歲之間死亡的概率。,8,生存分布,一、新生兒的生存函數(shù),二、,x,歲余壽的生存函數(shù),三、死亡力,四、整值平均余壽與中值余壽,9,F(x,),：,新生兒未來存活時(shí)間（新生兒的死亡年齡）為,x,的分布函數(shù)。,s(x,),：生存函數(shù)，它是新生兒活到,x,歲的概率，以概率表示為,x,p,0,。,新生兒在,xz,歲間死亡的概率，以概率的方式表示為：,新生兒的生存函數(shù),10,新生兒的生存函數(shù),生命

4、表函數(shù)中的存活人數(shù),l,x,正是生命表基數(shù),l,0,與,x,歲生存函數(shù)之積，,l,x,=l,0,s(x),而,s(x),曲線形狀如下圖所示，,11,x,歲余壽的生存函數(shù),以（,x,）表示年齡是,x,歲的人，（,x,）的余壽以,T,(,x,)表示,x,歲的人在,t,時(shí)間內(nèi)存活的概率,t,p,x,當(dāng),x,=0時(shí)，T(0)=,X,，正是新生兒未來余壽隨機(jī)變量。,x,歲的人在,t,時(shí)間內(nèi)死亡的概率,t,q,x,12,x,歲余壽的生存函數(shù),考慮,x,歲的人的剩余壽命時(shí)，往往知道這個(gè)人已經(jīng)活到了,x,歲，,t,q,x,實(shí)際是一個(gè)條件概率,13,x,歲的人在,x+tx+t+u,的死亡概率 ，以,概率的方式表

5、示為：,x,歲余壽的生存函數(shù),14,整值剩余壽命,定義：未來存活的完整年數(shù)，簡記,概率函數(shù),15,死亡力,定義：的瞬時(shí)死亡率，簡記,死亡力與生存函數(shù)的關(guān)系,16,死亡力,17,實(shí)際上生命表,x,歲平均余壽,正是,T,(,x,)隨機(jī)變量的期望值,死亡力,18,死亡力,生命表,x,歲死亡人數(shù),d,x,正是生存人數(shù)函數(shù),l,x+t,與死亡力之積在,01,上的積分,生命表,x,歲生存人年數(shù),L,x,正是生存人數(shù)函數(shù),l,x+t,在,01,上的積分,生命表,x,歲累積生存人年數(shù),T,x,正是生存人數(shù)函數(shù),l,x+t,在,0,上的積分,19,死亡力,對于,x,歲期望剩余壽命 ，可以證明：,20,整值平均余

6、壽與中值余壽,x,歲的整值平均余壽是指,x,歲未來平均存活的整數(shù)年數(shù)，不包括不滿,1,年的零數(shù)余壽，它是整值余壽隨機(jī)變量,K,(,x,),的期望值，以,e,x,表示，,21,整值平均余壽與中值余壽,由于，,所以,22,整值平均余壽與中值余壽,由于,故，,在死亡均勻分布假設(shè)下，,故，,23,整值平均余壽與中值余壽,中值余壽是(,x,)的余壽,T,(,x,)的中值，（,x,）在這一年齡之前死亡和之后死亡的概率均等于50%，以,m,(,x,)表示,x,歲的中值余壽，則,即，,24,非整數(shù)年齡存活函數(shù)的估計(jì),死亡均勻分布假設(shè),死亡力恒定假設(shè),巴爾杜奇(Balducc,i,)假設(shè),25,有關(guān)非整數(shù)年齡的

7、假設(shè),使用背景:,生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時(shí)我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個(gè)整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定，估計(jì)分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況,基本原理:插值法,常用方法,均勻分布假定(線性插值),常數(shù)死亡力假定(幾何插值),Balducci假定(調(diào)和插值),26,死亡均勻分布假設(shè),假設(shè)死亡在整數(shù)年齡之間均勻發(fā)生，此時(shí)存活函數(shù)是線性的。,27,死亡均勻分布假設(shè),(0,t,0,y,0,t+y,),28,當(dāng)假設(shè)死亡力在,xx+1,上恒定時(shí)，(,x,為整數(shù)，0,t,1)，,死亡力恒定假設(shè),由死亡力的定義，,29,死亡力恒定假設(shè),若以,表示,，有,此時(shí)，,30,巴

8、爾杜奇(Balducc,i,)假設(shè),以意大利精算師巴爾杜奇的名字命名，這一假設(shè)是當(dāng),x,為整數(shù)，0,t,1時(shí)，生存函數(shù)的倒數(shù)是,t,的線性函數(shù)，即,31,巴爾杜奇(Balducc,i,)假設(shè),（其中，0,t,1,0,y,1,0,t+y,1）,此時(shí)，,32,三種假定下的生命表函數(shù),函數(shù),均勻分布,常數(shù)死亡力,Ballucci,33,生命表的編制,一、生命表編制的一般方法,二、選擇生命表,34,生命表編制的一般方法,時(shí)期生命表(假設(shè)同批人生命表)：采用假設(shè)同批人方法編制，描述某一時(shí)期處于不同年齡人群的死亡水平，反映了假定一批人按這一時(shí)期各年齡死亡水平度過一生時(shí)的生命過程。,Dx,：某年齡,x,歲的死亡人數(shù)；,：,x,歲的平均人數(shù)，即年初,x,歲人數(shù)與年末,x,歲人數(shù)的平均數(shù)，有時(shí)也用年中人數(shù)代替。,35,x,歲的中心死亡率 （,分年齡死亡率）,為，,生命表編制的一般方法,生命表分年齡中心死亡率 ：生命表分年齡死亡人數(shù)在分年齡生存人年數(shù)中的比例。,36,生命表編制的一般方法,在死亡均勻分布假設(shè)下，有，,變換后，,通常,與 非常接近，實(shí)際中常用 近似,37,選擇生命表,選擇生命表構(gòu)造的原因,需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會(huì)優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。,需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會(huì)隨時(shí)間而逐漸消失,選擇生命表的使用,38,選擇生命表函數(shù)關(guān)系,39,