《2020-2021學年高三數學一輪復習知識點專題4-1 任意角和弧度制及任意角的三角函數》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020-2021學年高三數學一輪復習知識點專題4-1 任意角和弧度制及任意角的三角函數（6頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、專題 4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函數 【考情分析】 1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念 2.能進行弧度與角度的互化 3.理解任意角的三角函數(正弦、余弦、正切 )的定義. 【重點知識梳理】 知識點一 角的概念 1角的定義 角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形 2角的分類 角的分類Error! 3終邊相同的角 所有與角 終邊相同的角，連同角 在內，可構成一個集合：S |k360，k Z或 |2k，k Z 知識點二 弧度制及應用 1弧度制的定義 把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角，弧度記作 rad. 2弧度制下的有關公式 角 的弧度數

2、公式 | (弧長用 l 表示) lr 角度與弧度的換算 1 rad；1 rad 180 (180) 弧長公式 弧長 l| |r 扇形面積公式 S lr |r2 12 12 知識點三 任意角的三角函數 三角函數 正弦 余弦 正切 設 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點 P(x，y)，那么 定義 叫做 的正弦，記作y sin 叫做 的余弦，x 記作 cos 叫做 的正切，記 yx 作 tan 各象 限符 號 三角函數線 有向線段 MP 為正弦線 有向線段 OM 為余弦線 有向線段 AT 為正切線 【典型題分析】 高頻考點一 象限角的判斷 【例 1】（2020新課標）若 為第四象限角，則（ ） A

3、. cos20 B. cos20 D. sin20 【答案】D 【解析】當 時， ，選項 B 錯誤；當 時，6 cos2033 ，選項 A 錯誤；由 在第四象限可得： ，則 2cos03 sin0,cos ，選項 C 錯誤，選項 D 正確；inicos 【方法技巧】象限角的兩種判斷方法 圖象法：在平面直角坐標系中，作出已知角并根據象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角； 轉化法：先將已知角化為 k360(0 360，kZ)的形式，即找出與已知角終邊相同的角 ， 再由角 終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角 【變式探究】 （2020吉林省遼源市實驗中學模擬）設 是第三象限角，且 cos ，則 是

4、()| cos 2| 2 2 A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 【答案】B 【解析】 是第三象限角， 2k 2k，k Z， 32 k k ，k Z， 2 2 34 的終邊落在第二、四象限， 2 又 cos ，cos 0，| cos 2| 2 2 是第二象限角 2 高頻考點二扇形的弧長及面積公式的應用 【例 2】 （2020北京 101 中學模擬）已知一扇形的圓心角為 ，半徑為 R，弧長為 l. (1)若 60，R 10 cm，求扇形的弧長 l； (2)已知扇形的周長為 10 cm，面積是 4 cm2，求扇形的圓心角； (3)若扇形周長為 20 cm，當扇形的圓心角 為多少

5、弧度時，這個扇形的面積最大？ 【解析】(1)60 rad， 3 所以 l R 10 (cm) 3 103 (2)由題意得Error! Error!(舍去 )或Error! 故扇形圓心角為 rad. 12 (3)由已知得 l2R 20， 所以 S lR (202R )R10RR 2(R5) 225， 12 12 所以當 R5 cm 時，S 取得最大值 25 cm2， 此時 l10 cm， 2 rad. 【方法技巧】 (1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度 (2)求扇形面積的最大值時，常轉化為二次函數的最值問題，利用配方法使問題得到解決 (3)在解決弧長問題和扇形面積問題時

6、，要合理地利用圓心角所在的三角形 【變式探究】 （2020 湖南衡陽八中模擬）已知扇形弧長為 20 cm，圓心角為 100，則該扇形的面積 為 cm2. 【答案】 360 【解析】由弧長公式 l| r， 得 r ， 20100 180 36 所以 S 扇形 lr 20 . 12 12 36 360 高頻考點三 三角函數的概念 【例 3】(2018浙江卷)已知角 的頂點與原點 O 重合，始邊與 x 軸的非負半軸重合，它的終邊過點 P .( 35， 45) (1)求 sin()的值； (2)若角 滿足 sin( ) ，求 cos 的值。 513 【解析】(1)由角 的終邊過點 P ，( 35， 4

7、5) 得 sin . 45 所以 sin() sin . 45 (2)由角 的終邊過點 P ，( 35， 45) 得 cos . 35 由 sin() ，得 cos() . 513 1213 由 ( )， 得 cos cos()cos sin()sin ， 所以 cos 或 cos . 5665 1665 【方法技巧】三角函數定義解題的技巧 (1)已知角 終邊上一點 P 的坐標，可求角 的三角函數值先求點 P 到原點的距離，再用三角函數 的定義求解 (2)已知角 的某三角函數值，可求角 終邊上一點 P 的坐標中的參數值，根據定義中的兩個量列方程 求參數值 (3)已知角 的終邊所在的直線方程或角

8、 的大小，根據三角函數的定義可求角 終邊上某特定點的坐 標 (4)已知一角的三角函數值(sin ，cos ，tan ) 中任意兩個的符號，可分別確定出角終邊所在的可能位 置，二者的交集即為該角的終邊位置注意終邊在坐標軸上的特殊情況 【變式探究】(2017北京卷)在平面直角坐標系 xOy 中，角 與角 均以 Ox 為始邊，它們的終邊關于 y 軸對稱若 sin ，則 sin _。 13 【解析】 (1)方法一當角 的終邊在第一象限時，取角 終邊上一點 P1(2 ，1)，其關于 y 軸的對稱2 點(2 ，1) 在角 的終邊上，此時 sin ；當角 的終邊在第二象限時，取角 終邊上一點2 13 P2(

9、 2 ，1) ，其關于 y 軸的對稱點(2 ，1)在角 的終邊上，此時 sin .綜合可得 sin .2 2 13 13 方法二令角 與角 均在區(qū)間 (0，)內，故角 與角 互補，得 sin sin . 13 【答案】 13 高頻考點四 三角函數線的應用 【例 4】(2018北京卷)在平面坐標系中， ， ， ， 是圓 x2y 21 上的四段弧(如圖)，點 P 在其中AB CD EF GH 一段上，角 以 Ox 為始邊，OP 為終邊，若 tan cos sin ，則 P 所在的圓弧是() A BAB CD C DEF GH 【答案】C 【解析】當點 P 在 或 上時，由三角函數線易知，sin t

10、an ，不符合題意；當點 P 在 上時，AB CD GH tan 0，sin 0，不符合題意；進一步可驗證，只有點 P 在 上時才滿足條件。EF 【方法技巧】利用三角函數線求解三角不等式的方法 對于較為簡單的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數線先作出使其相等的角(稱為臨界狀態(tài)，注意 實線與虛線)，再通過大小找到其所滿足的角的區(qū)域，由此寫出不等式的解集 【變式探究】 （2020江蘇省啟東中學模擬）若 ，從單位圓中的三角函數線觀察 sin ，cos 34 2 ，tan 的大小是() Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin cos 【答案】C 【解析】如圖，作出角 的正弦線 MP， 余弦線 OM，正切線 AT， 觀察可知 sin cos tan .