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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,*,中央財經(jīng)大學(xué),第二章 導(dǎo)數(shù)、微分、邊 際與彈性,經(jīng)濟數(shù)學(xué)微積分,函數(shù)的微分,中央財經(jīng)大學(xué),若,y,=,f,(,x,),在點,x,0,處有(有限)導(dǎo)數(shù),則,現(xiàn)在反過來想一想：,若在,x,0,點處,y,=,f,(,x,),的增量,y,可以,表示為 一個線性函數(shù)與一個高階無窮小量,之和的形式,回憶講過的函數(shù)的增量與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,那么,我們自然要問,A,=?,就是說,在點,x,0,處若可用關(guān)于自變量的增,量,x,的線性函數(shù)逼近函數(shù)的增量,y,時,其關(guān)系式一定是,y,=,f,(,x,0,),x,+o(,x,

2、),我們稱,f,(,x,0,),x,(,或,A,x,),為函數(shù)在點,x,0,處,增量的線性主部,通常將它記為,d,y,=,f,(,x,0,),x,(d,y,=,A,x,).,微分,一.函數(shù)的微分,將以上的討論歸納一下,可得出什么結(jié)論?,1.微分的概念,y,=,A,x,+o(,x,),此時,稱,f,(,x,),在點,x,0,處可微,。,設(shè),y,=,f,(,x,),在 U(,x,0,),有定義,給,x,0,以增量,x,且,x,0,+,x,U(,x,0,),。,如果函數(shù)相應(yīng)的增量可表示為,則稱,y,的線性主部為,f,(,x,),在點,x,0,處的微分,記為 d,y,=,A,x,其中,A,叫微分系數(shù),

3、。,2.可微與可導(dǎo)的關(guān)系,定理,y,=,f,(,x,0,),x,+o(,x,),d,y,=,f,(,x,0,),x,也就是說,f,(,x,),在點,x,0,處的可微性與,可導(dǎo)性是等價的,且,f,(,x,),在點,x,0,處可微,則,解,什么意思？,例,1,自變量的增量就是自變量的微分：,函數(shù)的微分可以寫成:,該例說明:,此外,當,x,為自變量時,還可記,即函數(shù),f,(,x,),在點,x,處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的,微分 d,y,與自變量的微分 d,x,的商,故導(dǎo)數(shù)也,可稱為微商.,哈哈！除法,這一下復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、參數(shù)方程等的求導(dǎo)公式就好理解了.,3.微分的幾何意義,y,D,y,d,幾何上,函數(shù),y

4、,=,f,(,x,),在點,x,處的微分表示為:相應(yīng)于自變量,x,的改變量,x,曲線,y,=,f,(,x,),在點,P,(,x,y,),的切線上縱坐標的改變量.,微分的運算法則,1.微分的基本公式,可微,可導(dǎo),微分的基本公式與導(dǎo)數(shù)的基本公式相似,微分公式一目了然,不必講了.,基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(微分)公式：,一階微分形式不變性,(,復(fù)合函數(shù)微分法則,),在點,x,0,處可微.,按微分的定義,但,故,說明什么問題？,我們發(fā)現(xiàn),y,=,f,(,u,),當,u,為中間變量,時的微分形式與,u,為自變量時的微分的形,式相同,均為 d,y,=,f,(,u,)d,u,這種性質(zhì)稱為,函數(shù)的一階微分形式不變性.,解,故,例,2,解,例,3,三.二階微分,其二階微分為,設(shè)函數(shù),y,=,f,(,x,)二階可導(dǎo),當,x,為自變量時,由此看出,當,x,為自變量時,除法,類似可定義,n,階微分:,注意這里,x,是自變量,四.微分在近似計算中的應(yīng)用,函數(shù)增量的近似值：,函數(shù)值的近似值：,將半徑為,R,的球加熱.如果球的半徑,估計球的體積的增量.,伸長,解,則,由,所以,球的體積增量大約為,例,5,得,解,例,6,例7,解,經(jīng)濟數(shù)學(xué)微積分,謝謝大家！,中央財經(jīng)大學(xué),