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1、第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的基本概念,一 問題的提出,二 導(dǎo)數(shù)的定義三 求導(dǎo)數(shù)舉例四 導(dǎo)數(shù)的幾何意義五 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,六 小結(jié),,1.變速直線運動的速度問題,,,,,,一、問題的提出,時刻的瞬時速度,求,函數(shù)為,設(shè)動點于時刻的位置,如圖,,,,的時刻,取一鄰近于,運動時間,取極限得,瞬時速度,當,時，,2.切線問題,割線的極限位置—切線位置,播放,M,,N,T,,如圖,,極限位置即,,如果割線 繞點 旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置 ,直線 就稱為曲線 在點 處的,切線,.,(,1.函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù),,二、導(dǎo)數(shù)的定義,y,記為,處的導(dǎo)數(shù),,在點,數(shù),并稱這個極限為函,處可導(dǎo),

2、,在點,則稱函數(shù),時的極限存在,,之比當,與,如果,得增量,取,相應(yīng)地函數(shù),時,,仍在該鄰域內(nèi)),點,處取得增量,在,當自變量,有定義,,,的某個鄰域內(nèi),在點,定義1.設(shè)函數(shù),導(dǎo)數(shù)的定義也可為下列形式,：,即,2. 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù),,,,,.,,,內(nèi)的每點,在區(qū)間,如果函數(shù),的導(dǎo)函數(shù),原來函數(shù),導(dǎo)數(shù)值.這個函數(shù)叫做,的一個確定的,都對應(yīng)著,對于任一,內(nèi)可導(dǎo).,在開區(qū)間,處都可導(dǎo)，就稱函數(shù),3 單側(cè)導(dǎo)數(shù),左導(dǎo)數(shù):,,右導(dǎo)數(shù):,,,,,,,4.分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù),,(1)求增量,,(2)算比值,(3)求極限,(,,解,即,常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是零.,三、 由定義求導(dǎo)數(shù)舉例,例1,,為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).,求函

3、數(shù),例如,,,解,更一般地,即,例2,求函數(shù),(n為正整數(shù))的導(dǎo)數(shù).,,例3,,求函數(shù),,解,,,故,同樣地,，,,,例4,求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,(換地公式),解,,特別地，,,求函數(shù),例5,的導(dǎo)數(shù).,,,,,解,(無窮小等價代換),即,,例6,求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,,,解,,當,當,當,不存在.,即,切線方程為,法線方程為,,為斜率,),,在,,表示曲線,處切線,如果函數(shù),處可導(dǎo),，,在點,的斜率，即,,則,四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,軸的直線,，,特別， 當,時,，,切線是平行于,法線是平行于,軸的直線,，,當,時,，,切線是平行于,軸的直線,，,法線是平行于,軸的直線，,,解,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得

4、切線斜率為,所求切線方程為,法線方程為,即,即,例7,求曲線,在(2,4)處的切線的斜率，并,寫出在該點處的切線方程和法線方程.,定理： 可導(dǎo)函數(shù)是連續(xù)函數(shù).,證,五、函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,注意:,反之不成立.即連續(xù)不一定可導(dǎo)。,比如,函數(shù),處連續(xù)但不可導(dǎo).,在,同理可證:,及,在,處連續(xù)但不可導(dǎo).,,解,,由可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,可知:,所以,即,例8,,設(shè),試確定,使得,在,在處可導(dǎo).,1. 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限;,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:切線的斜率;,4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法:由定義求導(dǎo)數(shù).,2.,,,6. 判斷可導(dǎo)性,不連續(xù),一定不可導(dǎo).

5、,連續(xù),直接用定義;,左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,六 小結(jié)與思考判斷題,2.切線問題,切線：割線的極限,M,,T,N,,2.切線問題,切線：割線的極限,M,,T,N,,2.切線問題,切線：割線的極限,M,,T,N,,2.切線問題,切線：割線的極限,M,,T,N,2.切線問題,切線：割線的極限,M,,T,N,2.切線問題,切線：割線的極限,M,,T,N,2.切線問題,切線：割線的極限,M,,T,N,2.切線問題,切線：割線的極限,M,,T,N,2.切線問題,切線：割線的極限,M,,T,N,2.切線問題,切線：割線的極限,結(jié)束,M,,T,N,割線MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.,