《微積分09 空間直角坐標系與向量的概念》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《微積分09 空間直角坐標系與向量的概念（105頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,第一節(jié) 空間直角坐標系與向量的概念,一、空間直角坐標系,二、向量的概念及其線性運算,三、向量的坐標表示,,1.,空間直角坐標系,坐標面:在空間直角坐標系中,每兩軸所確定的平面稱為,坐標平面,,簡稱,坐標面,.,面,面,面,一、空間直角坐標系,,在空間直角坐標系中,點與三元數(shù)組之間有一一對應關系.,,各卦限中點的坐標情況:,,2.兩點間的距離,,例1,已知兩點 與 ,在 軸上求一點 ,,,使,解,因為 在 軸上,所以設 點的坐標為,由題設

2、 ,得,解得,所求點 為,,1.向量的概念,向量的模:向量的大小(有向線段的長度),,,記作 , ,,,單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,記為,0,或,向量的表示: 或,,或,二、向量的概念及其線性運算,,2.向量的線性運算,(1),向量的加法,b,a,a+b,a,b,a+b,d,a,b,c,a,+,b,+,c,+,d,,向量的加法滿足下列運算規(guī)律:,（,1,）,,（,2,）,（,3,）,（,4,）,,(2)數(shù)與向量的乘積(數(shù)乘向量),定義2,設 是一個非零向量, 是一個非零實數(shù),則,,與 的乘積

3、仍是一個向量,記作 ,且,,①,②,,數(shù)與向量的乘積滿足下列運算規(guī)律:,（,1,）,,（,2,）,,（,3,）,,（,4,）,,,1.向徑及其坐標表示,,向徑,:在空間直角坐標系中,起點在原點 ,終點為 的向量 稱為點 的向徑.記為 或,基本單位向量:,稱上式為向量 的坐標表達式,記作,三、向量的坐標表示,,2.向量 的坐標表示式,,3.向量的模與方向余弦的坐標表示式,,,4.向量線性運算的坐標表示,,例2,設 ,求 的方向余弦.,解,,,例3,設向量 的兩個方向余弦為,,,又 ,求向量 的坐標.,解,由

4、 得,,所以,即,或,,第二節(jié) 向量的數(shù)量積與向量積,,一、向量的數(shù)量積,,二、向量的向量積,,一、向量的數(shù)量積,,1.數(shù)量積的概念,,,定義1,兩向量 的模及其夾角余弦的乘積，稱為向量的數(shù)量積,記為,,,即,,說明:,(1)向量的數(shù)量積是一個數(shù)量而不是向量；,(3),(2)兩非零向量,,夾角的余弦,(4)設,,為兩個非零向量,由定義1,有,,,數(shù)量積滿足如下運算規(guī)律：,(1)交換律：,,(2)結合律：,,(其中 為常數(shù)),,(3)分配律：,,另外,由(2)(3)可得,,2.數(shù)量積的坐標表示式,,,３.兩非零向量夾角余弦的

5、坐標表示式,,設 均為非零向量,由兩向量的數(shù)量積定義可知,,解,,例1,已知,,求,,例2,設力,,作用在一質點上,質點由 沿直線移動到,,.求,:(1)力 所作的功;,,(2)力,,與位移 的夾角(力的單位為 ,位移的單位為,,).,,解,因為,,又因為,,所以,,所以,力,,所作的功,(,J,),,例3,求在 坐標面上與向量,,垂直的單位向量,,解,設所求向量為 ,因為它在 坐標面上,所以 ,又因為,,是單位向量且與,,垂直,所以,即

6、,,解之得,,故所求向量,或,,,二、向量的向量積,1.向量積的概念,,,定義2 兩向量 的向量積定義為,記作,;,其中,,是同時垂直于,,和 的單位向量,其方向按從,,到 的右手規(guī)則確定.,,說明:,(1)兩向量的向量積是一個向量而不是數(shù);,(4),(2),,的模等于以,,為鄰邊的平行四邊形的面積,(3)設,,為兩個非零向量,則,a,∥,b,,向量積滿足下列運算規(guī)律:,,(1) 反交換律：,,(2) 結合律:,,(其中 為常數(shù)),,(3) 分配律:,,,2.向量積的坐標表示式,,,a,∥,對于兩個非零向量,,解,,例4 設 求,,,例5,求垂直于

7、 和 的單位向量.,,解,因為 同時垂直 和 ,所以,,,=,=,例6,已知三角形 的頂點是,,,求三角形的面積.,解,根據(jù)向量積的定義,可知三角形 的面積,,第三節(jié) 平面與直線,一、平面的方程,二、直線的方程,三、平面、直線的位置關系,,,,,1．平面的點法式方程,法向量,,因為,,所以有,,該方程稱為平面 的,點法式方程,,,一、平面的方程,,解,由平面方程的點法式得所求平面方程為,例1,求過點,,且垂直于向量,的平面方程,即,,且和平面,,例2,求過點,,垂直的平面方程．,,解,因為 在該平面上,已知平面的法向

8、量,故,,所求平面的法向量 與向量 和 都垂直,,即,,由公式得該平面的方程為,,,例3,求過點 和 三點的平面方程,,故,,解,所求平面的法向量 與向量 和 都垂直，而,,由公式 得該平面方程為,,即,,從平面的點法式方程得,令,該方程稱為平面的,一般式方程.,則,———,①,2．平面的一般式方程,,①,—,②,得,它表示過點 且以 為法向量的平面,可見，任一三元一次方程①（ 不全為零）都表示一個平面.系數(shù) 為平面法向量的坐標,設

9、 是其任一組解，即,———,②,,,平面通過原點(圖9.16),,圖,9.16,(2)當 時，,,圖9.17,,方程 的特殊情況:,(,1)當 時，,,該平面平行于 軸（圖9.17）,,,圖,9.18,(3)當 時,,,表示的平面通過 軸(圖9.18),,同理,方程,,分別表示平行于 軸和 軸的平面;,,分別表示通過,,軸和,,軸的平面.,,(4)當,,時,，,圖,9.19,當 時,,該平面平行于 坐標面(圖9.19),,它表示 坐標面,

10、,同理，方程 和 分別表示平行 面和 面的平面;方程 和 分別表示 面和 面.,方程為,,,,代入原方程并化簡,得所求平面方程為,例4,求通過 軸和點 的平面方程.,解,因平面通過,,軸,由以上討論,可設其方程為,,又點 在平面上,因此,即,,解,設所求平面方程為,,例5,一平面經過 三點，求此平面的方程.,,又因,,三點都在平面上,所以有,,后兩個方程分別減去第

11、一個方程,得,,所以,,代入第一個方程得,即,因為,,不能同時為零,所以,,,于是有,即得所求平面方程為,,,3．平面的截距式方程,,解此方程組得,,,,,設一平面過三點 (圖9.20),求此平面方程．,,圖9.20,,設平面方程為 ，,因為,,三點在該平面上,所以有,,,即得所求平面方程為,,,此方程稱為平面的,截距式方程,,其中,,分別稱為平面在,,軸、,,軸、,,軸上的截距.,,代入所設方程(因平面不過原點,,),得,,解,方程兩邊同除以5,得平面的截距式方程為,,其中,,例6,將平面

12、化為截距式方程．,,得,,由,,1．直線的點向式方程與參數(shù)方程,方向向量:,向向量為,,,它的一個方,,,已知直線,L,上任意一點,求直線,L,的方程（圖9.21）．,,圖9.21,二、直線的方程,,所以由兩向量平行的充要條件可知,,,此方程組稱為直線的,點向式方程,（或稱,標準方程,）,,,設點,,為直線,L,上任意一點則點 在直線 上的充要條件是,∥,因為,注：,當 中有一個或兩個為零時，就理解為相應的分子也為零．,,記其比值為,t,,則有,,此式稱為直線,L,的,參數(shù)方程,，,t,為參數(shù)．,,例7,求過點,的直線方程．,方向向量,,故所求直線的方程為,,上式也稱為直線的,

13、兩點式方程,．,,解,,解,因所求直線平行于兩平面.故直線的方向向量,s,垂直于兩平面的法向量 及,例8,求過點 且平行于兩平面 及,,的直線方程.,所以取,,因此,所求直線方程為,即,,,2．直線的一般方程,,設平面 的方程分別為：,,,則兩個平面 的交線,L,的方程為,,,,此方程稱直線的,一般方程,．,,,例10,將直線方程,,化為點向式方程及參數(shù)方程．,,解,先求直線上的一點,不妨令 ,代入原方程組得,,解得,，即點 在直線上,,再求該直線的一個方向向量,,因為 分別垂直于,平面,及,

14、的法向量,,所以可取,,所以直線的點向式方程為,,,令上式為,,,可得已知直線的參數(shù)方程為,,,1．平面與平面的位置關系,,兩平面的夾角:兩平面法向量的夾角(通常取銳角).,法向量,,三、平面、直線的位置關系,,因此 與 的夾角的余弦為：,,特別地,,∥,∥,,例11,求兩平面,,的夾角．,兩平面的法向量分別為,,所以兩平面的夾角的余弦為,,所以兩平面夾角,,解,,2．直線與直線的位置關系,,兩直線的夾角:兩直線方向向量的夾角(取銳角).,方向向量,,因此 與 的夾角的余弦為,,∥,∥,,例12,求直線,,和直線,,的夾角．,的方向向量分別為,解,則兩直線 與 的夾角的余弦為,,所

15、以兩直線的夾角,,,3．直線與平面的位置關系,,直線與平面的夾角:直線和它在平面上的投影直線的夾角,,設直線 與平面 的垂直線的夾角為 ，與 的夾角為 ,則 .求直線與平面夾角．,,設直線 的方向向量為,,,平面,的法向量為,,由兩向量夾角的余弦公式,有,,∥,,∥,,例13,已知直線,和平面,,求 與 的夾角．,,的方向向量為,,解,,與 的垂線的夾角 的余弦為,因此， 與 的夾角,,,第四節(jié) 曲面與空間曲線,一、曲面方程的概念,二、旋轉曲面,三、幾種常見的二次曲面,四、空間曲線,,定義:如果曲面 上每一點的坐標都滿足方程

16、,,而不在曲面 上的點的坐標都不滿足這個方程,則稱方程,,為曲面 的方程,而稱曲面,,為此方程的圖形.,圖9.23,一、曲面方程的概念,,圖9.24,例1,建立球心在點 ,半徑為 的球面方程.,解,設 是球面上的任一點,則,而,所以,這就是球心在點 ,,,半徑為 的球面方程.,當 時,得球心在原點,半徑為 的球面方程為,,柱面:直線 沿定曲線 平行移動所形成的曲面稱為,柱面,.定曲線 稱為柱面的,準線,,動直線 稱為柱面的,母線,.,,例2,建立母線平行于 軸的柱面方程

17、.,圖9.26,解,設準線 是 面上的一條曲線,,,是柱面上的任意一點.過點 的母線與 面的交點 一定在準線 上,點 的坐標為 ,不論點 的豎坐標 取何值,它的橫,,坐標 和縱坐標 都滿足方程,,,因此所求柱面方程為,,在空間直角坐標系中,方程 表示以 面上的曲線 為準線,母線平行于 軸的柱面.,類似地,方程 表示以 面上的曲線,,為準線,母線平行于 軸的

18、柱面.,方程 表示以 面上的曲線,,為準線,母線平行于 軸的柱面.,,用 面和 面去截曲面,其截痕為,,它們都是雙曲線.,,也表示單葉雙曲面,中心軸分別是 軸、 軸.,,旋轉曲面:平面曲線 繞同一平面上定直線 旋轉一周所形成的曲面稱為,旋轉曲面,.定直線 稱為,旋轉軸,.,圖9.31,二、旋轉曲面,,例3,建立 面上一條曲線 繞 軸旋轉一周所形成的旋轉曲面的方程.,因為,所以,又因為 在曲線 上,所以,解,設 為旋轉曲面上任一點,過點 作平面垂直于 軸,交 軸于點

19、 交曲線 于點 則,所以旋轉曲面方程為,,同理,曲線 繞 軸旋轉的旋轉曲面方程為,面上的曲線 繞 軸旋轉的旋轉曲面方程為 繞 軸旋轉的旋轉曲面方程為,面上的曲線 繞 軸旋轉的旋轉曲面方程為 繞 軸旋轉的旋轉曲面方程為,,例4,將 坐標面上的直線 繞 軸旋轉一周,試求所得旋轉曲面方程.,解,將 保持不變, 換成

20、 得,即所求旋轉曲面方程為,圖9.32,由上時表示的曲面稱為圓錐面.點 稱為圓錐的頂點.,,二次曲面:在空間直角坐標系中,若 是二次方程,則它的圖形稱為,二次曲面,.,截痕法:用一系列平行于坐標面的平面去截曲面,求得一系列的交線,對這些交線進行分析從而把握曲面的輪廓特征,這種方法稱為,截痕法,.,,三、幾種常見的曲面,,1.橢球面,,用三個坐標面分別去截橢球面,交線為:,圖9.33,這些交線都是橢圓.,,用平行于 面的平面 截橢球面,交線為,是平面 上的橢圓.,用平行其它兩個坐

21、標面的平面去截橢球面,分析的結果類似.,,,2.單葉雙曲面,,用三個坐標面截曲面,所得截線分別為,,圖9.34,,3.雙葉雙曲面,,圖9.35,用 和 面截曲面,所得截線分別為,它們都是以 軸為實軸,虛軸分別為 軸和 軸的雙曲線.,,,用平行于 面的平面 截曲面,得,當 時,其截痕是一橢圓;,,當 時,其截痕縮為一點 和 ;,當 時,沒有圖形.,也表示雙葉雙曲面.,,4.橢圓拋物面,圖9.36,用 和 面截曲面,所得截線分別為,它們都是開口向上的拋物線.,,,用平面 截曲面,得,當 時,沒有圖形;,當

22、 時,相交于一點 ;,當 時,所得截線為,,,5.雙曲拋物面,,用三個坐標面截曲面,所得截線分別為,,它們分別表示兩條相交直線、開口向上的拋物線和開口向下的拋物線.,圖9.37,,用平行于 和 面的平面 和 截曲面,所得截線分別為,用平行于 面的平面 截曲面,所得截線為,,1.空間曲線的一般方程,四、空間曲線,,例5,下列方程組表示什么曲線？,(1),,(2),,解,(1) 是球心在原點,半徑為5的球面. 是平行于 面的平面,它們的交線是在平面 上的

23、圓,,(2)方程 表示球心在坐標原點 ,半徑為 的上半球面;方程 表示母線平行于 軸的圓柱面,方程組表示上半球面與圓柱面的交線.,,圖9.39,,2.空間曲線的參數(shù)方程,,( 為參數(shù)),例6,設空間一動點 在圓柱面 上以角速度 繞 軸旋轉,同時又以線速度 沿平行于 軸的正方向上升(其中 都是常數(shù)),則動點 的軌跡叫做螺旋線,試求其參數(shù)方程.,,則動點的運動方程即螺旋線的參數(shù)方程為:,圖9.40,如果令 ,以 為參數(shù), 則螺旋線的參數(shù)方程為,其中 ．,,解,取時間 為參數(shù),設 時,動點在 處,經過時間 ,動點由 運動到,,3.空間曲線在坐標面上的投影,設空間曲線 的一般方程為,消去 ,得,,稱為曲線 關于 面的,投影柱面,.,,它與 面的交線就是空間曲線在 面上的,投影曲線,,簡稱,投影,,其方程為,,同理,分別消去 和 ,得到 和 ,則曲線 在 和 面上的投影曲線方程分別為,,圖9.41,,,例7,求曲線,在 面上的投影曲線方程.,解,從曲線 的方程中消去 得,曲線 在 面上的投影曲線,,方程為,,