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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,結(jié)束語,微積分學(xué)大型案例分析求解,在本學(xué)期開學(xué)的第一堂課中，我們提出了,一個大型案例,?，F(xiàn)在我們根據(jù)本學(xué)期我們學(xué)過的相關(guān)知識來解決。,引例：,一只游船上有800人，一名游客不慎患傳染病，12小時后有3人發(fā)病，由于船上不能及時隔離，問經(jīng)過60小時、72小時，患此傳染病的人數(shù)有多少？,此問題實際上與人口增長問題基本一致。為此引入介紹,人口增長問題模型,。,相關(guān)背景及模型介紹：,認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報，是有效控制人口增長的前提，長期以來人們在這方面作了不少的工作。,18世紀(jì)末，英國

2、人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus，17661834）對百余年的人口統(tǒng)計資料進(jìn)行了研究，于1798年提出人口指數(shù)增長模型。他的基本假設(shè)是：單位時間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時的人口總數(shù)成正比。,設(shè)時間 時的人口總數(shù)為 ，則根據(jù)馬爾薩斯假設(shè)，在時間 時人口總數(shù)為 ，從 到時間 內(nèi)，人口增長 。,令 ，得到 滿足微分方程,這是一個可分離變量的微分方程，容易解得滿足初始條件的解為,時，（1）式表示人口將按指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長，稱為指數(shù)增長模型。,根據(jù)我國國家統(tǒng)計局1990年10月30 日發(fā)表的公報，1990年7月1日我國人口總數(shù)為11.6億，過去8年人口平均增長率為14.8，利用上式，將 ，代入，可以得到2

3、000年我國人口總數(shù)為,（億）,得出的結(jié)果與實際情況基本吻合,。,但是當(dāng) 時，這是不可能的。,從長期來看，任何地區(qū)的人口都不可能無限增長，即指數(shù)模型不能描述、也不能預(yù),測較長時期的人口演變過程。隨著人口的增長，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口的增長的限制越來越顯著，人口較少時，人口的自然增長率基本上是常數(shù)，而當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個增長率就要隨著人口的增加而減少。,為此，必須修改指數(shù)增長模型關(guān)于人口增長率是常數(shù)這個基本假設(shè)。,荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst在19世紀(jì)中葉提出了阻滯增長模型，也稱邏輯斯蒂（Logistic）模型。,用 表示自然資源和環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)，并假定凈增長率

4、等于 ，即凈增長率隨著 的增加而減少，當(dāng) 時，凈增長率趨向于零。這樣，指數(shù)模型中的微分方程變?yōu)?解得,利用初始條件可得，,所以,容易看出，當(dāng) 時，。下圖（一）是邏輯斯蒂（Logistic）模型的大致圖形。,邏輯斯蒂（Logistic）模型不僅能夠大體上描述人口的變化規(guī)律，而且對自然環(huán)境保護(hù)區(qū)中的野生動物的增長情況、森林中的樹木的增長情況、耐用消費(fèi)品的售量等都可以用它來描述。如假定今年在某保護(hù)區(qū)放入野生動物20只，若被精心照料，預(yù)計野生動物增長規(guī)律滿足，在 年內(nèi)，其總數(shù)為,當(dāng)保護(hù)區(qū)中野生動物達(dá)到80只時，沒有精心的照料，野生動物也將會進(jìn)入正常的生長狀態(tài)，即其,群體增長仍然符合上述表達(dá)式中的增長規(guī)

5、律,?，F(xiàn)在的問題是：,（,1）需要精心照料的期限為多少年？,（2）在這一自然保護(hù)區(qū)中，最多能供養(yǎng)多少只野生動物？,將 代入可以得到,解得 （年）,又當(dāng) ，。,所以，只需精心照料9年，這個保護(hù)區(qū)最多能供養(yǎng)220只野生動物。,有了此相關(guān)背景幾知識，我們可解決前面提出的引例,。,解 設(shè) 表示發(fā)現(xiàn)首例病人后 小時的感染人數(shù)，則 表示此時未受感染的人數(shù)，由題意知 。,根據(jù)常理，當(dāng)感染人數(shù) 很小時，傳染病的傳播速度較慢，因為只有很少的游客能接觸感染者；當(dāng)感染人數(shù) 很大時，未受感染的人數(shù) 很小，即只有很小的游,客能被感染，所以此時傳染病的傳播速度也很慢，排除上述兩種極端的情況，當(dāng)有,很多的感染者及很多的未感染者時，傳播速度很快。因此，傳染病的發(fā)病率，一方面受感染人數(shù)的影響，另一方面也受未感染人數(shù)的制約。,根據(jù)以上分析，得,解得,這屬于邏輯斯蒂（Logistic）模型。,由條件 可得,所以,令 ，得,又令 ，得 。,由上我們可以看出，在72小時被感染的人數(shù)將是60小時感染人數(shù)的近2倍。,可見，在傳染病流行時，及時采取措施是相當(dāng)重要的。,