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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,一、,函數(shù)的極值,第四節(jié),函數(shù)的極值與,最值的應(yīng)用,第,四,章,三、,經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例,二、,函數(shù)的最值,一、函數(shù)的極值及其求法,x,y,o,x,2,x,3,x,5,x,4,x,1,a,b,y,=,f,(,x,),x,0,x,0,極 值 的 定 義,設(shè)函數(shù),y,=,f,(,x,),在,x,0,的某一鄰域內(nèi)有定義,定義,如果對(duì)任意的,x,x,0,恒有,則稱,f,(,x,0,),為,f,(,x,),的一個(gè),極大,(,小,),值,.,f,(,x,),f,(,x,0,),x,0,x,0,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為,極值

2、,函數(shù)取得極值,的點(diǎn)稱為,極值點(diǎn),.,例,y,=sin,x,x,0,2,sin,x,在 取極大值,2,3,2,sin,x,在 取極小值,注意,:,0,和,2,不是,sin,x,的極值點(diǎn),極值存在的必要條件,x,0,x,0,定理,設(shè)函數(shù),y,=,f,(,x,),在極值點(diǎn),x,0,可導(dǎo),則,f,(,x,0,),=0,.,注,1,:,如果,f,(,x,),=0,那么稱,x,0,為,f,(,x,),的,駐點(diǎn),.,極值存在的必要條件,定理,設(shè)函數(shù),y,=,f,(,x,),在極值點(diǎn),x,0,可導(dǎo),則,f,(,x,0,),=0,.,注,1,:,如果,f,(,x,),=0,那么稱,x,0,為,f,(,x,),

3、的,駐點(diǎn),.,注,2,:,駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn),.,x,y,o,y,=|,x,|,x,y,o,y=x,3,x,y,o,y=x,2,注,3,:,不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn),.,極值可疑點(diǎn),不可導(dǎo)點(diǎn),駐點(diǎn),?,兩個(gè)充分條件,極值存在的第一充分條件,定理,設(shè)函數(shù),x,0,是,f,(,x,),的極值可疑點(diǎn),f,(,x,),在,x,0,的某一,鄰域內(nèi),(,x,0,d,x,0,+,d,),連續(xù)且可導(dǎo),(,在,x,0,可以不可導(dǎo),):,(1),當(dāng),x,(,x,0,d,x,0,),時(shí),f,(,x,),0,當(dāng),x,(,x,0,x,0,+,d,),時(shí),f,(,x,),0,則,x,0,是,f,(,x,),的,極大值,點(diǎn),

4、.,(2),當(dāng),x,(,x,0,d,x,0,),時(shí),f,(,x,),0,則,x,0,是,f,(,x,),的,極小值,點(diǎn),.,(3),在上述兩個(gè)區(qū)間,f,(,x,),同號(hào),則,x,0,不是極值點(diǎn),.,+,x,0,+,x,0,x,0,+,+,x,0,一階導(dǎo)數(shù)變號(hào)法,例,1,解,f,(,x,)=3,x,2,6,x,9,=3,(,x,+,1)(,x,3),求函數(shù),f,(,x,)=,x,3,3,x,2,9,x+,5,的極值,.,f,(,x,),x,1,=,1,x,2,=3,x,f,(,x,),1,3,(,1),(,1,3),(3,+,),令,f,(,x,)=0,得,:,+,0,+,0,極大,極小,極大值

5、,f,(,1),=10,極小值,f,(3),=,22,例,1,求函數(shù),f,(,x,)=,x,3,3,x,2,9,x+,5,的極值,.,M,m,圖形如下,:,例,2,解,求函數(shù),的極值,.,當(dāng),x,=2,時(shí),f,(,x,),不存在,但,f,(,x,),在,R,上連續(xù),.,當(dāng),x,0,當(dāng),x,2,時(shí),f,(,x,),0,則,f,(,x,),在,x,0,取極,小,值,;,+,x,0,+,x,0,(2),如果,f,(,x,0,),0,則,f,(,x,),在,x,0,取極,大,值,.,稱為“二階導(dǎo)數(shù)非零法”,1.,記憶,特例法,:,y,=,x,2,y,=,x,2,說(shuō)明：,2.,只適用于駐點(diǎn),不能用于判斷

6、不可導(dǎo)點(diǎn),3.,f,(,x,0,)=0,時(shí)不可使用,.,x,y,o,y=x,3,例,3,求函數(shù),f,(,x,)=,x,3,+,3,x,2,24,x,20,的極值,.,解,f,(,x,)=3,x,2,+,6,x,24,f,(,x,)=6,x,+,6,=3,(,x,+,4)(,x,2),令,f,(,x,)=0,得,:,極大值,f,(,4),=60,=,48,f,(,4)=,x,1,=,4,x,2,=2,18,0,極小值,f,(2),M,m,例,3,求函數(shù),f,(,x,)=,x,3,+,3,x,2,24,x,20,的極值,.,圖形如下,:,1.,確定函數(shù)的定義域；,4.,用極值的第一或第二充分條件判

7、定.,注意,:,第二充分條件只能判定駐點(diǎn)的情形.,求極值的步驟,:,2.,求導(dǎo)數(shù),f,(,x,);,3.,求定義域內(nèi)的極值可疑點(diǎn),(,即駐點(diǎn)和一階,不可導(dǎo)點(diǎn),),；,二、函數(shù)的最值及其求法,極值是,局部,的,而最值是,全局,的,.,若函數(shù),f,(,x,),在,a,b,上連續(xù),則函數(shù),f,(,x,),在,a,b,上,存在,最大值,和,最小值,.,求閉區(qū)間,a,b,上,最值的步驟,:,3.,最大值,M,=max,f,(,x,1,),f,(,x,k,),f,(,a,),f,(,b,),最小值,m,=min,f,(,x,1,),f,(,x,k,),f,(,a,),f,(,b,).,1.,求出定義域內(nèi)所

8、有的極值可疑點(diǎn),(,駐點(diǎn)和一階,不可導(dǎo)點(diǎn),),x,1,x,2,x,k,并算出相應(yīng)函數(shù)值,f,(,x,k,);,2.,計(jì)算,f,(,a,),f,(,b,),；,例,4,求函數(shù),f,(,x,)=,在,1,0.5,上的最值,.,解,x,=0,是,f,(,x,),的不可導(dǎo)點(diǎn),.,令,f,(,x,)=0,得,:,最大值是,0,x,1,=,2,5,f,(0)=0,f,(,1)=,2,最小值是,2,例,5,求函數(shù),y,=,在,上的最值,.,解,當(dāng) 時(shí),y,0,又,y,在 上是連續(xù)的,y,在 上單調(diào)遞增,最小值是,y,沒有最大值,更進(jìn)一步,若,實(shí)際問(wèn)題,中有最大(小)值,且有唯一駐點(diǎn),則不必判斷極大還是極小,

9、立即可以斷定該駐點(diǎn)即為最大(小)值點(diǎn).,說(shuō)明:,1.,如果,f,(,x,),在,a,b,上單調(diào),則它的最值必定在,端點(diǎn),a,和,b,處取得,;,2.,如果,f,(,x,),在,a,b,上連續(xù),在,(,a,b,),內(nèi)可導(dǎo),且有,唯一,駐點(diǎn),x,0,為極值點(diǎn),則,f,(,x,0,),必定是最大值,或最小值,;,例,6,當(dāng),0,x,1,p,1,時(shí),證明,證,令,f,(,x,)=,x,p,+(1,x,),p,結(jié)論成立,.,f,(0)=,f,(1)=1,f,(,x,)=,p,x,p,1,p,(1,x,),p,1,令,f,(,x,)=0,得駐點(diǎn),x,=1/2,例,7,解,將邊長(zhǎng)為,a,的正方形鐵皮,四角各

10、截去,相同的小正方,形,折成一個(gè)無(wú)蓋方盒,問(wèn)如何,截,使方盒的容積最大？為多少？,a,x,a,-,2,x,設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為,x,，,則方盒的容積為,例,7,解,將邊長(zhǎng)為,a,的正方形鐵皮,四角各截去,相同的小正方,形,折成一個(gè)無(wú)蓋方盒,問(wèn)如何,截,使方盒的容積最大？為多少？,設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為,x,，,則方盒的容積為,a,-,2,x,求導(dǎo)得,:,V,=,x,(,a,2,x,),2,V,=(,a,2,x,)(,a,6,x,),唯一駐點(diǎn),x,=,a,/,6,三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例,1.平均成本(,AC),最低問(wèn)題,例,8,設(shè)成本函數(shù)為,則平均成本為,得唯一駐點(diǎn),x,=400,此時(shí)平均成本和邊際成本均為

11、4.,一般,當(dāng)平均成本最低時(shí),平均成本與邊際成本相等.,所以當(dāng),x,=400,時(shí),平均成本最低,.,2.最大利潤(rùn)問(wèn)題,例,9,利潤(rùn)函數(shù)為,解,故當(dāng)產(chǎn)量,x,=7,時(shí),利潤(rùn)最大,.,此時(shí)價(jià)格,p,=44.,設(shè)某產(chǎn)品的需求量,x,是價(jià)格,p,(,元,),的函數(shù),:,每天生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本函數(shù)為,C,(,x,)=120+2,x,+,x,2,問(wèn)工廠每天產(chǎn)量為多少時(shí),利潤(rùn)最大,?,此時(shí)價(jià)格多少,?,令,L,(,x,),=70,10,x,=0,而,L,(,x,),=,10,0,得唯一駐點(diǎn),x,=7,某廠生產(chǎn)某種商品,其年銷售量為100萬(wàn)件,每批生產(chǎn)需增加準(zhǔn)備費(fèi)1000元,而每件商品的庫(kù)存費(fèi)為0.05元.如果年銷售率是均勻的(即商品庫(kù)存數(shù)為批量的一半),問(wèn)應(yīng)分幾批生產(chǎn),能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和庫(kù)存費(fèi)之和最?。?3.最優(yōu)批量庫(kù)存問(wèn)題,例,10,解,設(shè)分,x,批生產(chǎn),則生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)和庫(kù)存費(fèi)之和為,得唯一駐點(diǎn),x,=5,作業(yè),P182,1(2),(5),3(1),(2),4,8,