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1、,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),#,一,.,概念,:,1.,特征值,特征向量,:,設(shè),A,是,n,階矩陣，如果數(shù) 和,n,維非零列向量,x,使,關(guān)系式 成立，那么，這樣的數(shù) 稱為方陣,A,的,特征值,，非零向量,x,稱為,A,的對(duì)應(yīng)于特征值,的,特征向量,。,2.,特征方程,特征多項(xiàng)式,特征矩陣,:,齊次線性方程 有非零解,稱 為方陣,A,的,特征方程,，顯然特征方程,的,n,個(gè)根即為,A,的,n,個(gè)特征值,(,實(shí)根或復(fù)根,),。,記,稱為,A,的,特征多項(xiàng)式,。,稱為,A,的,特征矩陣,。,設(shè) 為 的一個(gè)特征值，為其對(duì)應(yīng)的特征向量，則,是

2、 的解,求 的特征值,求 的根,求 的對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量,求 的解,注,：一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量可能有無(wú)窮多個(gè)。,例1：求矩陣 特征值和特征向量。,二,.,計(jì)算方法,:,解：,A,的特征多項(xiàng)式為,所以,A,的特征值為,當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足,即,令 ，得到對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為,當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量應(yīng)滿足,即,令 ，得到對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為,例2：求矩陣 的特征值和特征向量,.,解：,A,的特征多項(xiàng)式為,所以,A,的特征值為,當(dāng) 時(shí)，解方程,令 ，得到對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為,由,當(dāng) 時(shí)，解方程,由,令 ，得到對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為,例3：求矩陣 特征值和特征向量。,所

3、以,A,的特征值為,當(dāng) 時(shí)，解方程,解：,A,的特征多項(xiàng)式為,即,令 ，得到對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為,當(dāng) 時(shí)，解方程,即,令 ，得到對(duì)應(yīng)于 的全部特征向量為,三,.,特征值的性質(zhì),：,1.,定理,1,:,設(shè) 的特征值為 ，則,(1),(2),推論,方陣,A,可逆,A,有,n,個(gè)非零的特征值,四,.,特征向量的性質(zhì)：,1.,定理,2:,若 是,A,對(duì)應(yīng)于特征值 的兩個(gè)特征向量則,也是,A,對(duì)應(yīng)于 的特征向量。,2.,定理,3:,矩陣,A,的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量是線性無(wú)關(guān)的,.,五,:,說(shuō)明,:,1.,對(duì)數(shù)值矩陣,一般用,求其特征值,.,2.,求非數(shù)值矩陣的特征值,則需用定義求解,.,3.,重

4、根只對(duì)應(yīng)一組線性無(wú)關(guān)的特征向量,.,例,:,設(shè),n,階方陣,A,滿足,證明,A,的特征值為,1,或,0.,六,.,補(bǔ)充定理,定理,:,設(shè) 是方陣,A,對(duì)應(yīng)于特征向量,x,的特征值,則,:,1.,對(duì)數(shù)值,k,則 是矩陣,kA,對(duì)應(yīng)于特征向量,x,的特征值,.,2.,對(duì)于正整數(shù),(2),則 是矩陣 對(duì)應(yīng)于特征向量,x,的特征值,.,3.,若,A,為可逆陣,.,則 是矩陣 對(duì)應(yīng)于特征向量,x,的特征值,.,4.,是 的特征值,.,例,:,設(shè)三階方陣,A,的三個(gè)特征值為,1.2.-1,(1),求矩陣 的特征值,;,(2),求矩陣 的特征值,;,第二節(jié) 矩陣相似于對(duì)角陣,一,.,矩陣相似,1.,定義,:

5、,設(shè),A、B,都是,n,階矩陣，若有可逆矩陣,P，,使,稱,B,是,A,的,相似矩陣,記為,A,B,矩陣,P,稱為,相似變換矩陣,2.,性質(zhì),:,(1),相似關(guān)系是等價(jià)關(guān)系,(,自反性,對(duì)稱性,傳遞性,),(2),定理,4,：若,A,與,B,相似，則,(1)r(A)=r(B),(2)|A|=|B|,(3)A,與,B,的特征多項(xiàng)式相同,則,A,與,B,特征值也相同。,例,1.,設(shè)三階矩陣,與,B,相似,求 的特征值,.,例,2.,設(shè),n,階方陣,A,與,B,相似,且 是,A,對(duì)應(yīng)于特征值 的特征向量,證明,:,為,B,對(duì)應(yīng)于 的特征向量,.,1.,概念,:,若,n,階矩陣,A,與對(duì)角陣,相似，則

6、 稱,A,可對(duì)角化。,二,.,方陣相似對(duì)角陣的條件,:,注,：設(shè),A,的,n,個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為 ，,記矩陣 ，則,P,即為相似變換,矩陣，使 為對(duì)角陣。,即,P,為,A,的,n,個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣,證,:,2.,條件,:,(1),定理,5:,n,階矩陣,A,與對(duì)角陣相似,(,即,A,能對(duì)角化,),A,有,n,個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,(3),推論,2:,若,A,的每一個(gè) 重特征值有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,則,A,可對(duì)角化,(2),推論,1:,若,n,階矩陣,A,有,n,個(gè)相異的特征值,則,A,可對(duì)角陣化。,注,:1),其逆命題不成立,.,2),若 為單根,必對(duì)應(yīng)一個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征

7、向量,.,若 為重根,當(dāng) 對(duì)應(yīng)線性無(wú)關(guān)向量個(gè)數(shù),n,A,不能對(duì) 角化,.,3),對(duì)角陣主對(duì)角線元素可由 構(gòu)成,其順序同,P,陣,.,例,3.,判別下面矩陣能否相似于對(duì)角陣,.,若能相似于對(duì)角矩陣,求出,P,和對(duì)角陣,.,三,.,可對(duì)角化矩陣的冪,:,結(jié)論,:,求 轉(zhuǎn)化為求特征值及特征向量,.,例,4.,設(shè)三階矩陣,A,的特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量為,求,A.,第三節(jié) 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形,一,.,二次型及其矩陣,:,1.,定義,:1),含有,n,個(gè)變量 的二次齊次函數(shù),稱為,二次型,。當(dāng) 為復(fù)數(shù)時(shí)，稱為,復(fù)二次型,；,當(dāng) 為實(shí)數(shù)時(shí)，稱為,實(shí)二次型,。,2),：只含平方項(xiàng)的二次型，稱為二次型的,標(biāo)準(zhǔn)形,（

8、或,法式,）,若標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù) 只在 1，1，0 中取值，,則稱為二次型的,規(guī)范形,。,取 ，則,此時(shí),2.,二次型與矩陣關(guān)系,:,其中,即二次型 可記作,其中,A,為對(duì)稱陣。,二次型,對(duì)稱陣,一一對(duì)應(yīng),故稱對(duì)稱陣,A,為,二次型 的矩陣,，為,對(duì)稱陣,A,的二次型,，,對(duì)稱陣,A,的秩叫做,二次型 的秩,。,結(jié)論,:,3.,二次型與對(duì)稱陣互表方法,1),已知二次型求對(duì)稱陣,A:,A,的主對(duì)角線元素 為 項(xiàng)系數(shù),其它元素 為 項(xiàng)系數(shù)的一半,.,2),已知對(duì)稱陣,A,求二次型,:,上述步驟的逆過(guò)程,.,例,1,：二次型,的矩陣為,二次型,的矩陣為,例,2.,求,的二次型,二,.,可逆變換化二次型為

9、標(biāo)準(zhǔn)型,1.,概念,:,(1),可逆線性變換,:,設(shè)一組變量 與另一組變量 的變換式為,簡(jiǎn)記為,x=Py,其中,為可逆陣,稱上式為,可逆線性變換,.,(2),合同,定義3,：設(shè),A,和,B,是,n,階矩陣，若有可逆矩陣,C,使,，則稱矩陣,A,和,B,合同,。,性質(zhì),:1),A,與,B,合同,則,A,為對(duì)稱陣,2),合同不改變矩陣的秩,.,3),合同是方陣之間又一等價(jià)關(guān)系,.,B,為對(duì)稱陣,2.,化標(biāo)準(zhǔn)型方法,:,1),定理2,:,任給二次型,有可逆變換,使 化成標(biāo)準(zhǔn)形,其中 是 的矩陣 的特征值。,等價(jià)于對(duì)任一實(shí)對(duì)稱陣,A,總存在可逆陣,P,使,A,合同于對(duì)角陣,2),方法,:(1),拉格朗

10、日配方法,;,(2),正交變換法,.,3).,拉格朗日方法步驟,:,(1)f,中含有某變量平方項(xiàng),:,把含有此變量的項(xiàng)歸并,配方,;,再對(duì)其它變量進(jìn)行配方,直至完全配為平方項(xiàng),.,(2)f,中不含變量的平方項(xiàng),:,用一簡(jiǎn)單逆變換使,f,中含有新變量平方項(xiàng),按第一種方法進(jìn)行,.,例1：用配方法把二次型,:,化為標(biāo)準(zhǔn)形。,例,2,：用配方法把二次型,:,化為標(biāo)準(zhǔn)形。,3.,注,:(1),二次型化標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的,.,(2),標(biāo)準(zhǔn)型中非平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)是惟一的,.,4.,慣性定理,:,(1),定理,:,設(shè)秩為的二次型,經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)型時(shí),正的平方項(xiàng)的個(gè)數(shù),p,一定,負(fù)的平地方項(xiàng)的個(gè)數(shù),q,一定,

11、.,(2),概念,:,正慣性指數(shù),:,正的平方項(xiàng)數(shù),p.,負(fù)慣性指數(shù),:,負(fù)的平方項(xiàng)數(shù),q.,符號(hào)差,:,p-q,第四節(jié) 正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,一,.,正交矩陣與正交變換,:,1.,正交矩陣,:,(1),定義,:,若 稱,C,為正交陣,.,(2),性質(zhì),:,正交陣的行列式等于是或,-1,正交陣的逆陣等于其轉(zhuǎn)置陣,兩正交陣的乘積仍是正交陣,.,2.,正交變換,:,(1),定義,:,設(shè),C,為,n,階正交陣,.X,Y,為,n,維向量,稱線性變換,X=CY,為正交變換,.,(2),性質(zhì),:,保持向量長(zhǎng)度,內(nèi)積,不變,因而兩向量之間的夾角及正交性不變,.,二,.,正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形,:,1.

12、,實(shí)對(duì)稱陣的性質(zhì),:,(1),實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)。,(2),：設(shè) 是對(duì)稱陣,A,的兩個(gè)特征值，是對(duì)應(yīng),的特征向量。若 ，則 與 正交。,2.,定理3,:,實(shí)二次型必存在正交變換,X=CY,化為標(biāo)準(zhǔn)型,等價(jià)于對(duì),n,階實(shí)對(duì)稱陣,A,必存在正交陣,C.,使,A,合同相似于對(duì)角陣。,其中 為,A,的特征值,C,的,n,個(gè)列向量是,A,對(duì)應(yīng)于特征值 的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量,.,3.,化標(biāo)準(zhǔn)形步驟：,(1),寫(xiě)出,f,的矩陣,A,(2),由特征方程求的,n,個(gè)特征值,(3),求關(guān)于 的特征向量,1),當(dāng) 為單根時(shí),取一非零特征向量,單位化,2),對(duì)每個(gè)重特征值 ，求方程 的基,礎(chǔ)解系，得 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。再把它們正,交化、單位化，得 個(gè)兩兩正交的單位特征向量。,（,4,）把這,n,個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣,P，,便,有 。其中 中對(duì)角元的排列次,序應(yīng)與,P,中列向量的排列次序相對(duì)應(yīng)。,例1：設(shè) ，求一個(gè)正交陣,P，,使,為對(duì)角陣。,解,:,于是,A,的特征值為：,對(duì)于 ，解方程,令 ，得基礎(chǔ)解系 ，將 單位化,對(duì)于 ，解方程,令,，得基礎(chǔ)解系,將 正交化：,取,再將 單位化，得,將 構(gòu)成正交矩陣,則有,例2：用正交變換把 化為二次型。,