《高中數(shù)學《生活中的優(yōu)化問題舉例》學案1新人教A版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學《生活中的優(yōu)化問題舉例》學案1新人教A版選修1-1（26頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.4 生活中的優(yōu)化問題舉例 【成功細節(jié)】 本節(jié)主要研究導數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，在學習時，我認為應(yīng)該注意以下幾個方面的細節(jié)：（ 1）要 細致分析實際問題中各個量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大值或最小值的變量 y 與自變量 x ，把實際問題 轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即列出函數(shù)解析式 y f ( x) ，根據(jù)實際問題確定函數(shù) y f (x) 的定義域；（ 2 要熟練 掌握應(yīng)用導數(shù)法求函數(shù)最值的步驟，細心運算，正確合理地做答；（ 3）求實際問題的最值時，一定要從 問題的實際意義去考察，不符合實際意義的理論值應(yīng)予舍去；（ 4）在實際問題中，有

2、f ( x) 0 常常僅解 到一個根，若能判斷函數(shù)的最大（?。┲翟?x 的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個根處的函數(shù)值就是所求的最大 （?。┲?。如， 本題主要考查長方體體積的計算以及用導數(shù)解決最值問題，可設(shè)長方體的寬為 x（m），則長為 2x(m) ， 高 為 18 12x （2007 年重慶市文科 20 題） 用長為 18 cm 的鋼條圍成一個長方體形狀的框架， h 4.5 3x 要求長方體的長與寬之

3、4 比為 2： 1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？ . 故長 方體的體積為 V ( x) 2 x2 (4.5 3x) 9 x 2 6 x3 (m 3 )(0＜ x＜ 3). 2 從而 V ( x ) 18 x 18 x 2 (4.5 3 x ) 18 (1 x ). x

4、 令 V′（ x）＝ 0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1. 當 0＜x＜ 1 時， V′（ x）＞ 0；當 1＜ x＜ 2 時， V′（ x）＜ 0， 3 故在 x=1 處 V（x）取得極大值，并且這個極大值就是 V（ x）的最大值。 從而最大體積 V＝ V′（ x）＝ 9 12-6 13（ m3），此時長方體的長為 2 m，高為 1.5 m. 答：當長方體的長為 2 m 時，寬為 1 m，高為 1.5 m 時，體積最大，最大體積為 3 m3。 【高效預(yù)習】（核心欄目） 【粗讀概括】 【關(guān)注 .思考】 ,

5、從中提 1. 認真閱讀教材中的例題 1.了解優(yōu)化問題的類型； 煉解答優(yōu)化問題的解題步驟 . 2.實際問題中為什么極值點 一般就是最值點 . 【學習細節(jié)】（核心欄目） A．基礎(chǔ)知識 一、 利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題 【情景引入】 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問 用心 愛心 專心 1 題．通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題． 【例題 1】 海報版面尺寸的設(shè)計

6、學校或班級舉行活動， 通常需要張貼海報進行宣傳。 現(xiàn)讓你設(shè)計一張如圖所 示的豎向張貼的海報，要求版心面積為 128dm2, 上、下兩邊各空 2dm,左、右兩邊各空 1dm。如何設(shè)計海報的尺寸，才能使四周空心面積最?。? 【引導】 先建立目標函數(shù)，然后利用導數(shù)求最值 . 解：設(shè)版心的高為 xdm，則版心的寬為 128 dm,此時四周空白面積為 x S(x) (x 4)(128 2) 128 2x 512 8, x 0 。 x x 求導數(shù)，得 S ( x)

7、2 512 。 x2 令 S ( x) 2 512 0 ，解得 x 16(x 16 舍去）。 x2 于是寬為 128 128 8 。 x 16 當 x (0,16) 時， S ( x) <0；當 x (16, ) 時， S ( x) >0. 因此， x 16 是函數(shù) S( x) 的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為 16dm，寬為 8dm時，能使四周 空白面積最小。 答：當版心高為 16dm，寬為 8dm時，

8、海報四周空白面積最小。 【思考】 在課本例 1 中，“ x 16 是函數(shù) S x 的極小值點， 也是最小值點。 ”為什么？是否還有別的解法？ 【探究】 在實際問題中，由于 f x =0 常常只有一個根，因此若能判斷該函數(shù)的最大（小）值在 x 的變化 區(qū)間內(nèi)部得到，則這個根處的極大（?。┲稻褪撬蠛瘮?shù)的最大（?。┲怠? 由課本例 1 可得， S( x) 4x 256 8 2 4x 256 8 2 32 8 72 。 x x 當且僅當 4x 256 8( x 0)時 S取最小值 12

9、8 16。 ,即 x ， 此時 y= x 8 【例題 2】 飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 （ 1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？ （ 2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？ 【背景知識】 某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是 0.8 r 2 分， 其中 r 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售 1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分 , 且制造商能制作的 瓶子的最大半徑為 6cm 問題：（１）瓶子的半徑多大時

10、，能使每瓶飲料的利潤最大？ （２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最?。? 【引導】 先建立目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，然后利用導數(shù)求最值 . 解：由于瓶子的半徑為 r ，所以每瓶飲料的利潤是 用心 愛心 專心 2 y f r 0.2 4 r 3 0.8 r 2 0.8 r 3 r 2 , 0 r 6 3 3 令 f r 0.8 ( r 2 2r ) 0 解得 r 2 （ r 0 舍去） 當 r 0, 2 時，

11、 f r 0 ；當 r 2, 6 時， f r 0 ． 當半徑 r 2 時， f r 0 它表示 f r 單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤越高； 當半徑 r 2 時， f r 0 它表示 f r 單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤越低． （ 1）半徑為 2 cm 時，利潤最小，這時 f 2 0 ，表示此種瓶內(nèi)飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時 利潤是負值． （ 2）半徑為 6 cm時，利潤最大． 【引導】 我們已經(jīng)求出利潤和瓶子半徑之間的關(guān)系式： f r 0.8 r 2 r 2 ,0

12、r 6 。圖象如圖， 3 能否根據(jù)它的圖象說出其實際意義？ 【探究】 當 r 0, 2 時，， f r 為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半 徑小于 2cm 時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為 2 cm 時，利潤最??；當 r 2,6 時， f r 為增函 數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑大于 2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越大。 特別的，當 r 3 時， f 3 0 ，即瓶子的半徑為 3cm 時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等，r 3 時，利潤才為正值．當 r 2 時， f 2

13、 0 ，即瓶子的半徑為 2cm 時，飲料的利潤最小，飲料利潤還不 夠飲料瓶子的成本，此時利潤是負值。 【例題 2】 磁盤的最大存儲量問題 計算機把數(shù)據(jù)存儲在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。 磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長弧段可作為 基本存儲單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù) 0 或 1，這個基本單元通常被稱為比特（ bit ）。 為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于 m ，每比特所占用的磁道長度不得小于 n 。為了數(shù) 據(jù)檢索便利，磁盤格式化時要求所有

14、磁道要具有相同的比特數(shù)。 問題：現(xiàn)有一張半徑為 R 的磁盤，它的存儲區(qū)是半徑介于 r 與 R 之間的環(huán)形區(qū)域． （ 1） 是不是 r 越小，磁盤的存儲量越大？ （ 2） r 為多少時，磁盤具有最大存儲量（最外面的磁道不存儲任何信息）？解：由題意知：存儲量 =磁道數(shù)每磁道的比特數(shù)。 設(shè)存儲區(qū)的半徑介于 r 與 R 之間，由于磁道之間的寬度必需大于 m ，且最外面的磁道不存儲任何信息，故磁道數(shù)最多可達 R r 。由于每條磁道上的比特數(shù)相同，為獲得最大存儲量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿， m 即每條磁道上的比特數(shù)可達 2 r 。所以，磁盤總存儲量 n 用心 愛心

15、 專心 3 f (r ) R r 2 r 2 r (R r ) m n mn （ 1）它是一個關(guān)于 r 的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是 r 越小，磁盤的存儲量越大． （ 2）為求 f ( r ) 的最大值，計算 f ( r ) 0 ． 2 R 2r f ( r ) mn 令 f (r ) R 0 ，解得 r

16、 2 當 r R 時， f ( r ) 0 ；當 r R 時， f (r ) 0 ． 2 2 因此 r R 2 R2 時，磁盤具有最大存儲量。此時最大存儲量為 mn 4 2 【思考】 根據(jù)以上三個例題，總結(jié)用導數(shù)求解優(yōu)化問題的基本步驟 . 【總結(jié)】（ 1）認真分析問題中各個變量之間的關(guān)系，正確設(shè)定最值變量 y 與自變量 x ，把實際問題轉(zhuǎn)化為

17、 數(shù)學問題，列出適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式 y f x ，并確定函數(shù)的定義區(qū)間； （ 2）求 f x ，解方程 f x 0 ，得出所有實數(shù)根； （ 3）比較函數(shù)在各個根和端點處的函數(shù)值的大小，根據(jù)問題的實際意義確定函數(shù)的最大值或最小值。  關(guān)鍵細節(jié) 由問題的實際意義來判斷函數(shù)最值時， 如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點， 那么這個極值就是所求最值，不必再與端點值比較．

18、 用心 愛心 專心 4 思維拓展： 1．導數(shù)在實際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾種類型： （ 1）與幾何（長度、面積、體積等）有關(guān)的最值問題； （ 2）與物理學有關(guān)的最值問題； （ 3）與利潤及其成本（效益最大、費用最小等）有關(guān)的最值問題； （ 4）效率最值問題。 2. 利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路： 建立數(shù)學模型 優(yōu)化問題 用函數(shù)表示數(shù)學問題 解決數(shù)學模型 優(yōu)化問題的答案 作答 用導數(shù)解決數(shù)學問題

19、【例 4】 10. 某旅行社在暑假期間推出如下旅游團組團辦法：達到 100 人的團體，每人收費 1000 元。如果 團體的人數(shù)超過 100 人，那么每超過 1 人，每人平均收費降低 5 元，但團體人數(shù)不能超過 180 人，如何組 團可使旅行社的收費最多 ? ( 不到 100 人不組團 ) 【解析】先列出問題的文字模型 ( 標準收費數(shù) - 降低的收費數(shù) ), 再轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型 . 【答案】設(shè)參加旅游的人數(shù)為 x，旅游團收費為 y 則依題意有 f (x)

20、 =1000 x -5 （ x -100 ） x （ 100≤ x ≤ 180），令 f (x) 1500 10 x 0 得 x =150。又 f (100) 100000 ， f (150) 112500 ， f (180) 108000 所以當參加人數(shù)為 150 人時，旅游團的收費最高，可達 112500 元。 B．綜合拓展 例 1 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品 , 已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量 (t) 與每噸產(chǎn)品的價格 p ( 元 /t) 之間的關(guān)系式

21、 x 為 : p=24200－ 1 x2 , 且生產(chǎn) x t 的成本為 : R=50000+200x( 元 ). 問該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少噸才能使利潤達到最大 ? 5 最大利潤是多少 ? 解析：利潤 =收入－成本，列出利潤的函數(shù)關(guān)系式，利用導數(shù)解決優(yōu)化問題 . 答案 : 每月生產(chǎn) x 噸時的利潤為 f ( x) (24200 1 x2 )x (50000 200 x) 1 x3 24000x 50000(x 0) 5 5 由 f ( x) 3 x2 24000 0 解得

22、： x 200 或 x 200（舍去）．因為 f (x) 在 [0, ) 內(nèi)只有一個點 x 200 5 使得 f ( x) 0 ，故它就是最大值點，且最大值為： 因 f (x)在[ 0, )內(nèi)只有一個點 x 200使 f (x) 0 ， 故 它 就 是 最 大 值 點 ， 且 最 大 值 為 ： f (200) 1 (200)3 24000 200 50000 3150000 （元） 5 答：每月生產(chǎn) 200 噸產(chǎn)品時利潤達到最大，

23、最大利潤為 315 萬元 . 用心 愛心 專心 5 例 2 已知某商品生產(chǎn)成本 C 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關(guān)系式為 C=100+4q，價格 p 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關(guān)系式為 1 p 25 q ．求產(chǎn)量 q 為何值時，利潤 L 最大？ 8 分析：利潤 L 等于收入 R減去成本 C，而收入 R等于產(chǎn)量乘價格．由此可得出利潤 L 與產(chǎn)量 q 的函數(shù) 關(guān)系式，再用導數(shù)求最大利潤． 解：收入 R q p q 25 1 q 2

24、5q 1 q2 ， 8 8 利潤 L R C 25q 1 q2 (100 4q) 1 q2 21q 100 (0 q 100) 8 8 L 1 21 q 4 1 令 L 0，即 0 ，求得唯一的極值點 q 84 q 21 4 答：產(chǎn)量為 84 時，利潤 L 最

25、大 例 3 甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊 A 處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸 40 km 的 B 處，乙廠到河岸的垂足 D與 A 相距 50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站 C，從供水站到甲廠 和乙廠的水管費用分別為每千米 3 a 元和 5 a 元，問供水站 C建在岸邊何處才能使水管費用最?。? 解析：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當選定變元，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導的方法或其 他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點 C的位置．

26、 答案 : 解法一 根據(jù)題意知，只有點 C 在線段 AD上某一適當位置， A C D 才能使總運費最省，設(shè) C 點距 D 點 x km, 則 ∵ =40,AC=50－ x , ∴ BD BC= BD 2 CD 2 x2 40 2 又設(shè)總的水管費用為 y 元，依題意有： B y =3 a (50 － x)+5 a x

27、2 402 (0 x 50) y′ =－3 a + 5ax , 令 y′ =0, 解得 x =30 x2 402 在 (0,50) 上， y 只有一個極值點，根據(jù)實際問題的意義， 函數(shù)在 x =30(km) 處取得最小值，此時 AC=50－ x =20(km) ∴供水站建在 、 之間距甲廠 20 km 處，

28、 A D 可使水管費用最省 . 解法二：設(shè)∠ = , 則 = 40 , = 40 cot , (0 ) , AC 50 40cot BCD BC sin CD 2 設(shè)總的水管費用為 f ( θ ),

29、 依題意，有 f ( θ )=3 a (50 － 40 cot θ )+5 a 40 =150 a +40 a 5 3cos sin sin ∴ f ( θ )=40 a (5 3cos ) sin (5 3cos ) (sin ) 40a 3 5cos sin2 sin2 令 f ( θ )=

30、0, 得 cos θ = 3 5 根據(jù)問題的實際意義，當 cos θ = 3 時，函數(shù)取得最小值，此時 sin θ= 4 , ∴ cot θ = 3 , 5 5 4 用心 愛心 專心 6 ∴ AC=50－ 40cot θ =20(km), 即供水站建在 、 D 之間距甲廠 20 km 處，可使水管費用最省 . A 例 4 在邊長為 60 cm 的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起 ( 如圖 ) ，做 成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少 時，箱底的容積最大？最大容積是多少

31、？ 解析：先建立起目標函數(shù)，再求最值 . 答案 解法一：設(shè)箱底邊長為 xcm，則箱  x x x 60 x 60 x 高 h cm，得箱子容積 2 V ( x) x2 h 60 x2 x3 2 60 (0 x 60) ． V ( x) 3x

32、2 (0 x 60) 60 x 2 令 V ( x) 60x 3x2 ＝0，解得 x=0 （舍去）， x=40， 2 并求得 V(40)=16 000 由題意可知， 當 x 過?。ń咏? 0）或過大 （接近 60）時， 60-2x 箱子容積很小，因此， 16 000 是最大值 x 答：當 x=40cm 時，箱子

33、容積最大， 最大容積是 16 000cm3 60-2x 解法二：設(shè)箱高為 cm，則箱底長為 (60-2 x )cm，則得 60-2x x 箱子容積 60 60-2x x V ( x) (60 2x) 2 x (0 x 30) ．（后面同解法一，略） 由題意可知， 當 x 過小或過大時箱子容積很小， 所以最

34、 60 大值出現(xiàn)在極值點處． 事實上，可導函數(shù) V (x) x 2h 60 x2 x3 、V (x) (60 2x) 2 x 在各自的定義域中都只有一個極值 2 點，從圖象角度理解即只有一個波峰，是單峰的，因而這個極值點就是最值點，不必考慮端點的函數(shù)值 例 5 圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？解析：轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題就是，圓柱的體積是一個定值時，求表面積最小時，高與半徑的比值。 答案 : 設(shè)圓柱的高為 h，底半徑為 R，則表面積

35、 S=2π Rh+2π R2 由 V=π R2h，得 h V 2 ，則 R S(R)= 2 π R V 2 + 2 π R2= 2V +2π R2 R R 用心 愛心 專心 7 令 s ( R) 2V +4π R=0 R2 解得， R= 3 V ，從而 h= V 2 = V = 3 4V =2 3 V 2 R ( 3 V ) 2

36、 2 即 h=2R 因為 S(R) 只有一個極值，所以它是最小值 答：當罐的高與底直徑相等時，所用材料最省 思考： 當圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值 S 時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最 ?。? 2 2 S 2 R 提示： S=2 Rh + 2 R h= V( R)= S 2 R 2 R2 = 1 ( S 2 R2 )R 1 SR R 3 2 R 2 2 V ( R) )=0 S 6 R 2 6 R2 2

37、Rh 2 R 2 h 2R ． 例 6．已知矩形的兩個頂點位于 x 軸上，另兩個頂點位于拋物線 y ＝ 4－ x2 在 x 軸上方的曲線上， 求這 種矩形中面積最大者的邊長． 解：設(shè)位于拋物線上的矩形的一個頂點為（ x， y），且 x ＞ 0，y ＞ 0， 則另一個在拋物線上的頂點為（－ x， y）， 在 x 軸上的兩個頂點為（－ x， 0）、（x， 0），其中 0＜ x ＜ 2．設(shè)矩形的面積為 S，則 S ＝ 2 x（ 4－x2）， 0＜ x ＜ 2． 由 S′（ x）＝ 8－ 6 x2＝ 0，得 x ＝ 2 3

38、，易知 3 x ＝ 4 是 S 在（ 0， 2）上的極值點， 3 即是最大值點， 所以這種矩形中面積最大者的邊長為 2 3 和 8 ． 3 3 例 7 要建一個圓柱形無蓋的糧倉，要求它的容積為 500m3 ，問如何選擇它的直徑和高，才能使所用 材料最??？ 解析：欲使材料最省，實際上是使表面積最小。 d 2 2000 答案： 設(shè)直徑為 d ，高為 h ，表面積為 S ，由 h ，得

39、 2 500h d 2π ． π d 2 πd 2 2000 π 2000 又 S π dπh ，而 S d 2 ． 2 4 d 2 d 令 S 0 ，即 πd 2000 0 ，

40、得 d 3 500 3 500 ． 2 ，此時 h 2 d 2 π π ∵ 0 d 2 3 500 時， S 0 ； d 2 3 500 時， S 0 ， π π 用心 愛心 專心 8 所以，當 d 2 3 500 ， d 3 500

41、 ，用料最省． π π 點評：用料最省、造價最低一般都是與表面積有關(guān)，此類問題的求解思路是找到變量之間的關(guān)系，再 借助關(guān)系列出函數(shù)式，然后通過導數(shù)予以求解． 例 8用寬為 a、長為 b 的三塊木板，做成一個斷面為梯形的水槽（如 圖 2），問斜角 多大時，槽的流量最大？最大流量是多少？ 解析：槽的流量與槽的橫截面面積有關(guān)，橫截面面積越大，槽的流量就 越大，因此，求槽的流量最大，其實就是求橫截面面積的最大值．設(shè)橫截面 面積為 ，則 1 ( AB ED )CD ． S S

42、 2 答案：由于 AB a 2a cos ， CD asin ， 因此 S 1 [ a ( a 2a cos )]a sin a2 sin (1 cos ) 0 π ． 2 2 又 S a2 (2cos2 cos 1) ， 令 S 0 ，即 a2 (2cos 2 cos 1) 0 ， 得 cos 1 或 cos 1 ． 2

43、 由于 0 π，得 cos 1 ， 2 那么 cos 1 ，此時 π． 2 3 ∵ 當 0 π時， S 0；當 π π時， S 0 ， 3 3 2 所以，當 π時，橫截面的面積最大；此時，槽的流量最大． 3 點評：流量最大、橫梁的強度最大等都與橫截面的面積有關(guān)，而面積又往往與三角聯(lián)系在一起，根據(jù) 題目條件找出各量之間的關(guān)系是求解此類問題的關(guān)鍵． 例 9 一

44、書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書 15 萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費 30 元，每千冊書存放一年要耗庫費 40 元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分幾次進貨、每次進多少冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少？ 解：設(shè)每次進書 x 千冊 (0 x 150) ，手續(xù)費與庫存費之和為 y 元， 由于該書均勻投放市場，則平均庫存量為批量之半，即 x ，故有 2 x (0,15) 15 (15,150) y y

45、 極小值 150 30＋ x 40， y 4500 20( x 15)( x 15) y 2 2 20 2 ，令 y′＝ 0，得 x ＝ 15，列表如右： x x x 所以當 x ＝ 15 時， y 取得極小值，且極小值唯一， 故當 x ＝ 15 時， y 取得最小值，此時進貨次數(shù)為 150 （次）． 10 15 用心 愛心 專心 9 即該書店分

46、10 次進貨，每次進 15000 冊書，所付手續(xù)費與庫存費之和最少． 【作業(yè)】 □ 課堂作業(yè) 1． ( 知識點 1) 一質(zhì)點做直線運動 , 由始點起經(jīng)過 ts 后的距離為 s= 1 t 4 5 t3 3t 2 , 則速度為零的時刻是 4 3 （ ） A. 0s 與 2s 末 B.3s 末 C.0s 與 3s 末 D.0s,2s,3s 末 2．（知識點 1）用邊長為 48cm 的正方形鐵

47、皮做一個無蓋的鐵盒時，在鐵皮的四角各截去一個面積相等的小 正方形，然后把四邊折起， 就能焊接成鐵盒， 所做鐵盒容積最大時， 在四角截去的正方形的邊長為 （ ） A． 6cm B ． 8cm C ． 10cm D ． 12cm 3． ( 知識點 1) 要做一個圓錐形漏斗，其母線長為 20cm，要使其體積最大，則其高應(yīng)為（ ） A 20 3 cm B 100cm C 20cm D 20 cm 3 3

48、 4. 若一球的半徑為 r , 作內(nèi)接于球的圓柱 , 則其側(cè)面積最大為 A.2 π r 2 B. π r 2 C.4 π r 2 D. 1 π r 2 2 5. 以長為 10 的線段 AB為直徑作半圓 , 則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為 A.10 B.15 C.25 D.50 6. ( 知識點 1) 如圖 , 將邊長為 1 的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形 , 再沿虛線折起 , 做成一 個無蓋的正六棱柱容器．當這個正六棱柱容器的底面邊長為 _______ 時,

49、其容積最大． 7. ( 知識點 1) 一面靠墻三面用欄桿，圍成一個矩形場地，如果欄桿長 40cm，要使圍成的場地面積最大， 靠墻的邊應(yīng)該為 cm 8． ( 知識點 1) 某商場從生產(chǎn)廠家以每件 20 元購進一批商品 , 若該商品的零售價定為 p 元，則銷售量 Q（單 位：件）與零售價 （單位：元）有如下關(guān)系 2 p Q 8300 170 p p ．問該商品零售價定為多少元時，毛利 潤 L 最大，并求出最大毛利潤． □ 課后作業(yè) 9. 當室內(nèi)的有毒細菌開始增加時 , 就要使用殺菌劑 . 剛開始使用的

50、時候 , 細菌數(shù)量還會繼續(xù)增加 , 隨著時間的增加 , 它增加幅度逐漸變小 , 到一定時間 , 細菌數(shù)量開始減少 . 如果使用殺菌劑 t 小時后的細菌數(shù)量為 b(t)=105+104t-103t2. (1) 求細菌在 t=5 與 t=10 時的瞬時速度； (2) 細菌在哪段時間增加 , 在哪段時間減少 ?為什么 ? 10. 一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在 A E D 斷面 ABCD的面積為定值 S 時，使得濕周 l =AB+BC+CD最小，這樣可使水流 h 阻力小，滲透少，求此時的

51、高 h 和下底邊長 b. 60 0 B C 11. 有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸 40 千米，乙城到岸 b 的垂足與甲城相距 50 千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲 用心 愛心 專心 10 城和乙城的水管費用分別為每千米 500 元和 700 元，問水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費用最省？ □ 家庭作業(yè) 12. 請你的父母與你一起圍建一個面積為512 平方米的矩形堆料場 , 為充分利用已有資源，可以利用 原有的墻壁作為一邊，其他三邊需要砌新的墻壁. 如何設(shè)

52、才能使砌壁所用的材料最??？ 【作業(yè)參考答案】 □ 課堂作業(yè) 1.D s t3 5t2 6t t (t 2)( t 3) ，令 s 0，得 t 0,2,3 . 2.A 設(shè)箱底邊長為 xcm，則箱高 h 48 x cm，得箱子容積 V ( x) x2h 48 x2 x3 (0 x 48) ．則 2 2 V ( x) 48x 3x2 (0 x 48) ，令 V ( x) 0 ，解得

53、 x 32 ， x 0 （刪掉） ，所以當 x 32 ，即 2 h 48 32 時，體積取得最大值 . 2 6 cm 3.A 設(shè)母線和底面所成的角等于 (0, ) ， 1 2 1 8000

54、 則 r 20cos ， h 20sin ， v r 2 h (20cos )2 20sin = (sin sin3 ) 3 3 3 v 8000 cos (1 3sin 2 ) ，令 v 0 ，得 sin 3 ，所以當 h 20 3 時，取得最大值 . 3 3 3 4. A 如圖 , 設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為 R, 母線長為 l , 則 R=r cosθ , l =2

55、r sin θ . ∴ S 側(cè) =2πr cos θ 2r sin θ =4π r 2sin θ cosθ . ∴ S′ =4π r 2(cos 2 θ－ sin 2θ )=0. ∴ θ = . 當 θ = , 即 = 2 時 , S 側(cè)最大且 S 側(cè) max=2π r 2. R r 2 5.C 如圖 , 設(shè)∠ NOB=θ , 則矩形面積 S=5sin θ 2 5cosθ =50sin

56、 θ cos θ =25sin2 θ , 故 Smax=25. 用心 愛心 專心 11 6. 解：設(shè)被切去的全等四邊形的一邊長為 x , 則正六棱柱的體積 V=6 3 (1-2 x ) 2 3 (0< x < 1 ), 利用導數(shù) 4 x 2 1 2

57、 知識可求得 : 當 x=6時 ,V 有最大值 , 此時正六棱柱的底面邊長為 3. 7.20cm 8．答案： 由題意知 L ( p ) pQ 20Q Q( p 20) (8300 170 p p2 )( p 20) p3 150 p2 11700 p 166000 ，

58、 所以 L ( p) 3p 2 300 p 11700 ． 令 L ( p) 0 ，解得 p 30 或 p 130 （舍去）． 此時， L(30) 23000 ． 因為在 p 30 附近的左側(cè) L ( p) 0 右側(cè) L ( p ) 0 ． 所以 L (30) 是極

59、大值，根據(jù)實際問題的意義知， L (30) 是最大值，即零售定為每件 30 元時，最大毛利 潤為 23000 元． □ 課后作業(yè) 9. 解： (1)b ′ (t)=-2 000t+10 000, b′ (t)|t=5=-2 000 5+10 000=0, b

60、′ (t)|t=10=-2 000 10+10 000=-10 000, 即細菌在 t=5 與 t=10 時的瞬時速度分別為 0 和-10 000. (2) 由 -2 000t+10 000>0, 得 t<5, 由 -2 000t+10 000<0, 得 t>5, 即細菌在 t ∈ (0,5) 時間段數(shù)量增加 , 在 t ∈ (5,+ ∞ ) 時間段數(shù)量減少 10. 解：由梯形面積公式，得

61、 S= 1 ( AD+BC) h, 其中 AD=2DE+BC， DE= 3 h, BC=b 2 3 ∴ AD= 2 3 h+b, ∴ S= 1 2 3 h b h 3 h b)h ① 3 ( 3 2 ) ( 2 3

62、 ∵ CD= h 2 h , AB=CD. ∴l(xiāng) = 2 h 2+b ② cos30 3 3 由①得 b= S 3 h, 代入② , ∴ l = 4 3 h S 3 h 3h S h 3 3 h 3 h

63、 l ′ = 3 S =0, ∴ h S , 當 h< S 時， l ′ <0, h> S 時， l ′>0. 2 h = 4 3 4 3 4 3 用心 愛心 專心 12 ∴ h=

64、 S 時， l 取最小值，此時 b= 24 3 S 4 3 3 11 設(shè)水廠 D點與乙城到岸的垂足 B 點之間的距離為 x 千米，總費用為 y 元， 則 CD ＝ x2 402 ． y ＝ 500（ 50－ x）＋ 700 x2 1600 ＝ 25000－ 500 x ＋ 700 x2 1600 ， 1 1 y′＝－ 500＋700 ( x 2＋ 1600) 2 2 x 2 700x ＝－ 500＋ ， 2 x 1600 5

65、0 6 令 y′＝ 0，解得 x ＝ ． 答：水廠距甲距離為 50－ 50 6 千米時，總費用最省． 3 □ 家庭作業(yè) 12 答案 :32 米 ,16 米 要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長度最短 , 如右圖所示 , 設(shè)場地寬為 x 米 , 則長為 512 米 , x 因此新墻總長度 L=2x+ 512 ( x>0), 則 L′ =2－ 512 . x x2 令 L′=0, 得 x= 16. ∵ x>0, ∴ x=16. 當 x=16 時 , L 極小值 =Lmin =64, ∴堆料場的長為 512 =32 米 . 16 用心 愛心 專心 13