《高中數(shù)學(xué)《生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例》學(xué)案1新人教A版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)《生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例》學(xué)案1新人教A版選修1-1（26頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例【成功細(xì)節(jié)】本節(jié)主要研究導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，在學(xué)習(xí)時(shí)，我認(rèn)為應(yīng)該注意以下幾個(gè)方面的細(xì)節(jié)：（1）要細(xì)致分析實(shí)際問(wèn)題中各個(gè)量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大值或最小值的變量y 與自變量 x ，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即列出函數(shù)解析式y(tǒng)f ( x) ，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確定函數(shù)yf (x) 的定義域；（ 2 要熟練掌握應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的步驟，細(xì)心運(yùn)算，正確合理地做答；（3）求實(shí)際問(wèn)題的最值時(shí)，一定要從問(wèn)題的實(shí)際意義去考察，不符合實(shí)際意義的理論值應(yīng)予舍去；（4）在實(shí)際問(wèn)題中，有f ( x)0 常常僅解到一個(gè)根，若能判斷函數(shù)的最大（?。┲翟趚 的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的函

2、數(shù)值就是所求的最大（小）值。如，本題主要考查長(zhǎng)方體體積的計(jì)算以及用導(dǎo)數(shù)解決最值問(wèn)題，可設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x（m），則長(zhǎng)為 2x(m) ，高為1812x（2007 年重慶市文科20 題） 用長(zhǎng)為 18 cm 的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，h4.5 3x要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之4比為 2： 1，問(wèn)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大？最大體積是多少？.故長(zhǎng)方體的體積為 V ( x)2 x2 (4.5 3x)9 x 26 x3 (m 3 )(0 x 3).2從而V(x)18x18x2 (4.5 3x) 18(1x).x令 V（ x） 0，解得 x=0（舍去）或x=1，因此 x=1.當(dāng) 0x 1 時(shí)，

3、 V（ x） 0；當(dāng) 1 x 2 時(shí)， V（ x） 0， 3故在 x=1 處 V（x）取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V（ x）的最大值。從而最大體積 V V（ x） 9 12-6 13（ m3），此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 2 m，高為 1.5 m. 答：當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 2 m 時(shí)，寬為 1 m，高為 1.5 m 時(shí)，體積最大，最大體積為 3 m3?！靖咝ьA(yù)習(xí)】（核心欄目）【粗讀概括】【關(guān)注 .思考】, 從中提1. 認(rèn)真閱讀教材中的例題1.了解優(yōu)化問(wèn)題的類(lèi)型；煉解答優(yōu)化問(wèn)題的解題步驟 .2.實(shí)際問(wèn)題中為什么極值點(diǎn)一般就是最值點(diǎn) .【學(xué)習(xí)細(xì)節(jié)】（核心欄目）A基礎(chǔ)知識(shí)一、 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題【情景

4、引入】生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱(chēng)為優(yōu)化問(wèn)用心愛(ài)心專(zhuān)心1題通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題【例題 1】 海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì)學(xué)校或班級(jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳?，F(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為 128dm2, 上、下兩邊各空 2dm,左、右兩邊各空 1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最??？【引導(dǎo)】先建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.解：設(shè)版心的高為 xdm，則版心的寬為128 dm,此時(shí)四周空白面積為xS(x) (x4)(1282) 1282

5、x5128, x 0 。xx求導(dǎo)數(shù)，得S ( x) 2512 。x2令 S ( x)25120 ，解得 x16(x16 舍去）。x2于是寬為 1281288 。x16當(dāng) x (0,16) 時(shí)， S ( x) 0.因此， x16是函數(shù) S( x) 的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為 8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為 8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小?！舅伎肌?在課本例1 中，“ x16 是函數(shù) S x 的極小值點(diǎn)， 也是最小值點(diǎn)。 ”為什么？是否還有別的解法？【探究】 在實(shí)際問(wèn)題中，由于f x =0 常常只有一個(gè)根，因此若能判斷該函數(shù)的最大（?。┲翟?/p>

6、x 的變化區(qū)間內(nèi)部得到，則這個(gè)根處的極大（?。┲稻褪撬蠛瘮?shù)的最大（小）值。由課本例 1 可得， S( x)4x2568 2 4x2568 2 328 72 。xx當(dāng)且僅當(dāng) 4x2568( x0)時(shí) S取最小值12816。,即 x， 此時(shí) y=x8【例題 2】飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響（ 1）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（ 2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？【背景知識(shí)】 某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是0.8 r 2 分，其中r 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利0.2 分 , 且制造商能制作的瓶子的

7、最大半徑為 6cm問(wèn)題：（）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？（）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最小？【引導(dǎo)】 先建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.解：由于瓶子的半徑為 r ，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是用心愛(ài)心專(zhuān)心2yf r0.2 4 r 30.8 r 20.8r 3r 2 , 0 r 633令 fr0.8 ( r 22r )0 解得r2 （ r0 舍去）當(dāng) r0, 2時(shí)， f r0 ；當(dāng) r2, 6時(shí)， f r 0 當(dāng)半徑 r2時(shí)， fr0它表示 fr單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑 r2時(shí)， fr0它表示 fr單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低（ 1）半徑為2 cm

8、 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)f20，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值（ 2）半徑為 6 cm時(shí)，利潤(rùn)最大【引導(dǎo)】 我們已經(jīng)求出利潤(rùn)和瓶子半徑之間的關(guān)系式：f r 0.8r 2r 2 ,0 r 6 。圖象如圖，3能否根據(jù)它的圖象說(shuō)出其實(shí)際意義？【探究】 當(dāng) r0, 2 時(shí)， f r為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑小于 2cm 時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越小，半徑為2 cm 時(shí)，利潤(rùn)最小；當(dāng) r2,6 時(shí)， fr 為增函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑大于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越大。特別的，當(dāng) r 3時(shí)， f30，即瓶子的半徑為 3cm 時(shí)，飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等，r

9、3時(shí)，利潤(rùn)才為正值當(dāng)r2時(shí)，f 2 0 ，即瓶子的半徑為2cm 時(shí)，飲料的利潤(rùn)最小，飲料利潤(rùn)還不夠飲料瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值。【例題 2】 磁盤(pán)的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤(pán)上。磁盤(pán)是帶有磁性介質(zhì)的圓盤(pán)，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0 或 1，這個(gè)基本單元通常被稱(chēng)為比特（bit ）。為了保障磁盤(pán)的分辨率，磁道之間的寬度必需大于m ，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于n 。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤(pán)格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。問(wèn)題：現(xiàn)有一張

10、半徑為R 的磁盤(pán)，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于r 與 R 之間的環(huán)形區(qū)域（ 1） 是不是 r 越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大？（ 2） r 為多少時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息）？解：由題意知：存儲(chǔ)量 =磁道數(shù)每磁道的比特?cái)?shù)。設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于 r 與 R 之間，由于磁道之間的寬度必需大于 m ，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá) R r 。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿(mǎn)，m即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)2 r 。所以，磁盤(pán)總存儲(chǔ)量n用心愛(ài)心專(zhuān)心3f (r )R r 2 r2r (R r )mnmn（ 1）它是一個(gè)關(guān)于 r 的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式

11、上可以判斷，不是r 越小，磁盤(pán)的存儲(chǔ)量越大（ 2）為求 f ( r ) 的最大值，計(jì)算f ( r ) 0 2R2rf ( r )mn令 f (r )R0 ，解得 r2當(dāng) rR時(shí)， f ( r ) 0 ；當(dāng) rR時(shí)， f (r )0 22因此 rR2R2時(shí)，磁盤(pán)具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為mn 42【思考】 根據(jù)以上三個(gè)例題，總結(jié)用導(dǎo)數(shù)求解優(yōu)化問(wèn)題的基本步驟.【總結(jié)】（ 1）認(rèn)真分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，正確設(shè)定最值變量y 與自變量 x ，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，列出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式y(tǒng)fx ，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；（ 2）求 f x ，解方程 f x 0 ，得出所有實(shí)數(shù)根；（ 3）比較

12、函數(shù)在各個(gè)根和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義確定函數(shù)的最大值或最小值。關(guān)鍵細(xì)節(jié) 由問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷函數(shù)最值時(shí)， 如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)， 那么這個(gè)極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較用心愛(ài)心專(zhuān)心4思維拓展：1導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，主要有以下幾種類(lèi)型：（ 1）與幾何（長(zhǎng)度、面積、體積等）有關(guān)的最值問(wèn)題；（ 2）與物理學(xué)有關(guān)的最值問(wèn)題；（ 3）與利潤(rùn)及其成本（效益最大、費(fèi)用最小等）有關(guān)的最值問(wèn)題；（ 4）效率最值問(wèn)題。2. 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型優(yōu)化問(wèn)題用函數(shù)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題解決數(shù)學(xué)模型優(yōu)化問(wèn)題的答案作答用導(dǎo)數(shù)解

13、決數(shù)學(xué)問(wèn)題【例 4】 10. 某旅行社在暑假期間推出如下旅游團(tuán)組團(tuán)辦法：達(dá)到100 人的團(tuán)體，每人收費(fèi)1000 元。如果團(tuán)體的人數(shù)超過(guò) 100 人，那么每超過(guò) 1 人，每人平均收費(fèi)降低5 元，但團(tuán)體人數(shù)不能超過(guò)180 人，如何組團(tuán)可使旅行社的收費(fèi)最多 ? (不到 100 人不組團(tuán) )【解析】先列出問(wèn)題的文字模型( 標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)數(shù) - 降低的收費(fèi)數(shù) ),再轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型 .【答案】設(shè)參加旅游的人數(shù)為x，旅游團(tuán)收費(fèi)為 y則依題意有f (x) =1000 x -5 （ x -100 ） x （ 100 x 180），令 f (x) 150010 x0 得 x =150。又f (100)100000， f

14、 (150)112500 ， f (180)108000所以當(dāng)參加人數(shù)為150 人時(shí)，旅游團(tuán)的收費(fèi)最高，可達(dá)112500 元。B綜合拓展例 1 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品, 已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量(t)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格p( 元 /t)之間的關(guān)系式x為 : p=24200 1 x2 , 且生產(chǎn) x t 的成本為 : R=50000+200x( 元 ). 問(wèn)該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少?lài)嵅拍苁估麧?rùn)達(dá)到最大?5最大利潤(rùn)是多少?解析：利潤(rùn) =收入成本，列出利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題.答案 :每月生產(chǎn) x 噸時(shí)的利潤(rùn)為f ( x)(242001 x2 )x(50000 200 x)1 x324000x 5000

15、0(x 0)55由 f ( x)3x2240000 解得： x200 或 x200（舍去）因?yàn)?f (x) 在 0,) 內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn) x 2005使得 f ( x)0，故它就是最大值點(diǎn)，且最大值為：因 f(x)在 0,)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn) x200使 f (x) 0 ， 故 它 就 是 最 大 值 點(diǎn) ， 且 最 大 值 為 ：f (200)1 (200)324000 200 50000 3150000 （元）5答：每月生產(chǎn) 200噸產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為315 萬(wàn)元 .用心愛(ài)心專(zhuān)心5例 2已知某商品生產(chǎn)成本C 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價(jià)格 p 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關(guān)系式為

16、1p 25q 求產(chǎn)量 q 為何值時(shí)，利潤(rùn) L 最大？8分析：利潤(rùn) L 等于收入 R減去成本 C，而收入 R等于產(chǎn)量乘價(jià)格由此可得出利潤(rùn)L 與產(chǎn)量 q 的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)解：收入 Rqp q 251 q25q1 q2 ，88利潤(rùn) LRC25q1 q2(1004q)1 q2 21q 100 (0 q 100)88L121q41令 L0，即0，求得唯一的極值點(diǎn)q84q 214答：產(chǎn)量為84 時(shí)，利潤(rùn) L 最大例 3甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線(xiàn)河岸的岸邊A 處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40 km 的 B 處，乙廠到河岸的垂足D與 A 相距 50 km，兩廠要在此岸邊合建一個(gè)

17、供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3 a 元和 5 a 元，問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最??？解析：根據(jù)題設(shè)條件作出圖形，分析各已知條件之間的關(guān)系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯(lián)系方式，適當(dāng)選定變?cè)?，?gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)求導(dǎo)的方法或其他方法求出函數(shù)的最小值，可確定點(diǎn)C的位置答案 :解法一 根據(jù)題意知，只有點(diǎn)C 在線(xiàn)段 AD上某一適當(dāng)位置，ACD才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)xkm, 則 =40,AC=50 x , BDBC= BD 2CD 2x240 2又設(shè)總的水管費(fèi)用為y 元，依題意有：By =3 a (50 x)+5 ax 2402(0x50)y =3

18、 a +5ax, 令 y =0, 解得 x =30x2402在 (0,50) 上， y 只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，函數(shù)在 x =30(km) 處取得最小值，此時(shí)AC=50 x =20(km)供水站建在、之間距甲廠20 km 處，A D可使水管費(fèi)用最省 .解法二：設(shè)=, 則=40, = 40 cot , (0),AC 5040cotBCDBCsinCD2設(shè)總的水管費(fèi)用為f ( ), 依題意，有f ( )=3 a(50 40 cot )+5 a40=150 a +40 a 5 3cossinsin f ( )=40 a(53cos) sin(53cos ) (sin)40a 35coss

19、in2sin2令 f ( )=0, 得 cos = 3 5根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，當(dāng)cos = 3 時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)sin = 4 , cot = 3 ,554用心愛(ài)心專(zhuān)心6 AC=50 40cot =20(km), 即供水站建在、D之間距甲廠20 km 處，可使水管費(fèi)用最省 .A例 4在邊長(zhǎng)為 60 cm 的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線(xiàn)折起( 如圖 ) ，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？解析：先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求最值.答案解法一：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm，則箱xxx60x60x高 hcm，得箱子容積2V ( x) x2 h60

20、 x2x3260(0 x 60) V ( x)3x2(0x60)60 x2令 V ( x)60x3x20，解得 x=0（舍去）， x=40，2并求得 V(40)=16 000由題意可知， 當(dāng) x 過(guò)?。ń咏?）或過(guò)大 （接近 60）時(shí)，60-2x箱子容積很小，因此，16 000是最大值x答：當(dāng) x=40cm 時(shí)，箱子容積最大， 最大容積是 16 000cm360-2x解法二：設(shè)箱高為cm，則箱底長(zhǎng)為 (60-2x)cm，則得60-2xx箱子容積6060-2xxV ( x) (602x) 2 x (0x30) （后面同解法一，略）由題意可知， 當(dāng) x 過(guò)小或過(guò)大時(shí)箱子容積很小， 所以最60大值出

21、現(xiàn)在極值點(diǎn)處事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù) V (x)x 2h60 x2x3、V (x)(602x) 2 x 在各自的定義域中都只有一個(gè)極值2點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，是單峰的，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值例 5 圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？解析：轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題就是，圓柱的體積是一個(gè)定值時(shí)，求表面積最小時(shí)，高與半徑的比值。答案 : 設(shè)圓柱的高為 h，底半徑為 R，則表面積S=2 Rh+2 R2由 V= R2h，得 hV 2 ，則RS(R)= 2 R V 2+ 2 R2= 2V +2 R2RR用心愛(ài)心專(zhuān)心7令 s ( R)2V+4

22、R=0R2解得， R= 3 V，從而 h=V2=V= 3 4V=2 3 V2R( 3 V ) 22即 h=2R因?yàn)?S(R) 只有一個(gè)極值，所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省思考： 當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S 時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最?。?2S2 R提示： S=2 Rh + 2 Rh=V( R)=S2 R 2R2 = 1 ( S 2 R2 )R1 SR R 32 R22V ( R) )=0S 6 R 26 R22 Rh2 R 2h2R 例 6已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x 軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線(xiàn)y 4 x2 在 x 軸上方的曲線(xiàn)上， 求這種矩形

23、中面積最大者的邊長(zhǎng)解：設(shè)位于拋物線(xiàn)上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為（x， y），且 x 0，y 0，則另一個(gè)在拋物線(xiàn)上的頂點(diǎn)為（x， y），在 x 軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為（ x， 0）、（x， 0），其中 0 x 2設(shè)矩形的面積為 S，則 S 2 x（ 4x2）， 0 x 2由 S（ x） 8 6 x2 0，得 x 23 ，易知3x 4 是 S 在（ 0， 2）上的極值點(diǎn)，3即是最大值點(diǎn)，所以這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng)為23 和 833例 7 要建一個(gè)圓柱形無(wú)蓋的糧倉(cāng)，要求它的容積為500m3 ，問(wèn)如何選擇它的直徑和高，才能使所用材料最??？解析：欲使材料最省，實(shí)際上是使表面積最小。d22000答案： 設(shè)直徑為d

24、，高為h，表面積為S，由h，得2500hd2 d2d 220002000又 S dh，而 Sd224d2d令 S0 ，即 d20000 ，得 d350035002，此時(shí)h2d 2 0d23 500 時(shí)， S0 ； d23 500時(shí)， S0 ，用心愛(ài)心專(zhuān)心8所以，當(dāng) d23 500 ， d3 500 ，用料最省點(diǎn)評(píng)：用料最省、造價(jià)最低一般都是與表面積有關(guān)，此類(lèi)問(wèn)題的求解思路是找到變量之間的關(guān)系，再借助關(guān)系列出函數(shù)式，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)予以求解例 8用寬為 a、長(zhǎng)為 b 的三塊木板，做成一個(gè)斷面為梯形的水槽（如圖 2），問(wèn)斜角 多大時(shí)，槽的流量最大？最大流量是多少？解析：槽的流量與槽的橫截面面積有關(guān)，橫

25、截面面積越大，槽的流量就越大，因此，求槽的流量最大，其實(shí)就是求橫截面面積的最大值設(shè)橫截面面積為 ，則1( ABED )CD SS2答案：由于 AB a2a cos ， CDasin，因此 S1 a( a2a cos )a sina2 sin(1cos ) 0 22又 Sa2 (2cos2cos1) ，令 S0，即 a2 (2cos 2cos 1)0 ，得 cos1 或 cos1 2由于 0，得 cos1 ，2那么 cos1 ，此時(shí)23 當(dāng) 0時(shí)， S0；當(dāng) 時(shí)， S0 ，332所以，當(dāng)時(shí)，橫截面的面積最大；此時(shí)，槽的流量最大3點(diǎn)評(píng)：流量最大、橫梁的強(qiáng)度最大等都與橫截面的面積有關(guān)，而面積又往往與

26、三角聯(lián)系在一起，根據(jù)題目條件找出各量之間的關(guān)系是求解此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵例 9 一書(shū)店預(yù)計(jì)一年內(nèi)要銷(xiāo)售某種書(shū) 15 萬(wàn)冊(cè)，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi) 30 元，每千冊(cè)書(shū)存放一年要耗庫(kù)費(fèi) 40 元，并假設(shè)該書(shū)均勻投放市場(chǎng)，問(wèn)此書(shū)店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊(cè)，可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少？解：設(shè)每次進(jìn)書(shū)x 千冊(cè) (0x 150) ，手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為y 元，由于該書(shū)均勻投放市場(chǎng)，則平均庫(kù)存量為批量之半，即x ，故有2x(0,15)15(15,150)yy極小值15030x40， y450020( x15)( x15)y22202，令 y 0，得 x 15，列表如右：xxx所以當(dāng) x 15

27、時(shí)， y 取得極小值，且極小值唯一，故當(dāng) x 15 時(shí)， y 取得最小值，此時(shí)進(jìn)貨次數(shù)為150（次）1015用心愛(ài)心專(zhuān)心9即該書(shū)店分10 次進(jìn)貨，每次進(jìn)15000 冊(cè)書(shū)，所付手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少【作業(yè)】 課堂作業(yè)1 ( 知識(shí)點(diǎn) 1)一質(zhì)點(diǎn)做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng), 由始點(diǎn)起經(jīng)過(guò) ts 后的距離為 s= 1 t 45 t33t 2, 則速度為零的時(shí)刻是43（）A. 0s 與 2s末B.3s末C.0s與 3s 末 D.0s,2s,3s末2（知識(shí)點(diǎn) 1）用邊長(zhǎng)為 48cm 的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起， 就能焊接成鐵盒， 所做鐵盒容積最大時(shí)， 在四角截

28、去的正方形的邊長(zhǎng)為（）A 6cmB 8cm C 10cmD 12cm3 ( 知識(shí)點(diǎn) 1) 要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線(xiàn)長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，則其高應(yīng)為（）A 203 cmB 100cmC 20cmD20 cm334. 若一球的半徑為 r , 作內(nèi)接于球的圓柱 , 則其側(cè)面積最大為A.2 r 2B. r 2C.4 r 2D. 1 r 225. 以長(zhǎng)為 10 的線(xiàn)段 AB為直徑作半圓 , 則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為A.10B.15C.25D.506.( 知識(shí)點(diǎn) 1) 如圖 , 將邊長(zhǎng)為 1 的正六邊形鐵皮的六個(gè)角各切去一個(gè)全等的四邊形, 再沿虛線(xiàn)折起 , 做成一個(gè)無(wú)蓋的正六棱柱容器當(dāng)這個(gè)正

29、六棱柱容器的底面邊長(zhǎng)為_(kāi) 時(shí), 其容積最大7. (知識(shí)點(diǎn) 1) 一面靠墻三面用欄桿，圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地，如果欄桿長(zhǎng)40cm，要使圍成的場(chǎng)地面積最大，靠墻的邊應(yīng)該為cm8 ( 知識(shí)點(diǎn) 1)某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件 20元購(gòu)進(jìn)一批商品 , 若該商品的零售價(jià)定為p 元，則銷(xiāo)售量 Q（單位：件）與零售價(jià)（單位：元）有如下關(guān)系2pQ 8300 170 p p 問(wèn)該商品零售價(jià)定為多少元時(shí)，毛利潤(rùn) L 最大，并求出最大毛利潤(rùn) 課后作業(yè)9. 當(dāng)室內(nèi)的有毒細(xì)菌開(kāi)始增加時(shí) , 就要使用殺菌劑 . 剛開(kāi)始使用的時(shí)候 , 細(xì)菌數(shù)量還會(huì)繼續(xù)增加 , 隨著時(shí)間的增加 , 它增加幅度逐漸變小 , 到一定時(shí)間 , 細(xì)菌數(shù)量開(kāi)始減

30、少 . 如果使用殺菌劑 t 小時(shí)后的細(xì)菌數(shù)量為b(t)=105+104t-103t2.(1) 求細(xì)菌在 t=5 與 t=10 時(shí)的瞬時(shí)速度；(2) 細(xì)菌在哪段時(shí)間增加 , 在哪段時(shí)間減少 ?為什么 ?10. 一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時(shí)，希望在AED斷面 ABCD的面積為定值 S 時(shí)，使得濕周 l =AB+BC+CD最小，這樣可使水流h阻力小，滲透少，求此時(shí)的高h(yuǎn) 和下底邊長(zhǎng) b.60 0BC11. 有甲、乙兩城，甲城位于一直線(xiàn)形河岸，乙城離岸40 千米，乙城到岸b的垂足與甲城相距50 千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲用心愛(ài)心專(zhuān)心10城和乙城的水管費(fèi)用分別為

31、每千米500 元和 700 元，問(wèn)水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費(fèi)用最?。?家庭作業(yè)12. 請(qǐng)你的父母與你一起圍建一個(gè)面積為512 平方米的矩形堆料場(chǎng) , 為充分利用已有資源，可以利用原有的墻壁作為一邊，其他三邊需要砌新的墻壁. 如何設(shè)才能使砌壁所用的材料最??？【作業(yè)參考答案】 課堂作業(yè)1.Dst35t26t t (t2)( t3) ，令 s0，得 t0,2,3 .2.A設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm，則箱高 h48 x cm，得箱子容積 V ( x) x2h48 x2x3(0x48) 則22V ( x)48x3x2(0 x48)，令 V ( x) 0，解得 x32 ， x0 （刪掉） ，所以當(dāng)x32

32、，即2h4832時(shí)，體積取得最大值 .26 cm3.A設(shè)母線(xiàn)和底面所成的角等于(0,) ，1218000則 r20cos， h20sin， vr 2 h(20cos)220sin=(sinsin3)333v8000 cos (13sin 2) ，令 v0 ，得 sin3，所以當(dāng) h203時(shí)，取得最大值 .3334. A如圖 , 設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為R, 母線(xiàn)長(zhǎng)為 l , 則 R=r cos , l =2r sin . S 側(cè) =2r cos 2r sin =4 r 2sin cos . S =4 r 2(cos 2 sin 2 )=0. =.當(dāng) =, 即 =2時(shí) ,S側(cè)最大且S側(cè) max=2

33、r2.Rr25.C 如圖 , 設(shè) NOB= , 則矩形面積S=5sin 2 5cos =50sin cos =25sin2 , 故 Smax=25.用心愛(ài)心專(zhuān)心116. 解：設(shè)被切去的全等四邊形的一邊長(zhǎng)為x, 則正六棱柱的體積V=63(1-2x) 23 (0x0,得 t5, 由 -2 000t+10 0005,即細(xì)菌在 t (0,5)時(shí)間段數(shù)量增加 , 在 t (5,+ ) 時(shí)間段數(shù)量減少10. 解：由梯形面積公式，得S= 1 (AD+BC) h, 其中 AD=2DE+BC， DE=3 h, BC=b23 AD= 2 3 h+b, S=1 2 3 hbh3 h b)h3(32)(23 CD=h

34、2 h , AB=CD. l = 2 h 2+bcos3033由得 b= S3 h, 代入 , l = 43 hS3 h3hSh33h3hl =3S=0, hS,當(dāng) hS 時(shí)， l S 時(shí)， l 0.2h=434343用心愛(ài)心專(zhuān)心12 h=S 時(shí)， l 取最小值，此時(shí)b= 24 3S43311 設(shè)水廠 D點(diǎn)與乙城到岸的垂足B 點(diǎn)之間的距離為x 千米，總費(fèi)用為y 元，則 CD x2402 y 500（ 50 x） 700 x2 1600 25000 500 x 700x2 1600 ，11y 500700 ( x 2 1600) 2 2 x2700x 500，2x1600506令 y 0，解得 x 答：水廠距甲距離為50 506 千米時(shí)，總費(fèi)用最省3 家庭作業(yè)12 答案 :32 米 ,16 米要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長(zhǎng)度最短, 如右圖所示 , 設(shè)場(chǎng)地寬為x 米 , 則長(zhǎng)為 512 米 ,x因此新墻總長(zhǎng)度L=2x+ 512 ( x0), 則 L =2 512 .xx2令 L=0, 得 x= 16. x0, x=16.當(dāng) x=16 時(shí) , L 極小值 =Lmin =64,堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為512 =32 米 .16用心愛(ài)心專(zhuān)心13