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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,1,作業(yè),18,頁習(xí)題,1,1.,2.(1),(3),(5),(6),4,2,第一章,復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),一、復(fù)數(shù)的表示法,1.1,復(fù)數(shù),二、復(fù)數(shù)的運(yùn)算,3,一、,復(fù)數(shù)的表示法,虛數(shù)單位,方程,的根是,是兩個(gè)實(shí)數(shù),稱為,復(fù)數(shù),為,的,實(shí)部,為,的,虛部,的,共軛,復(fù)數(shù),時(shí),為,實(shí)數(shù),時(shí),為,純,虛數(shù),1.,復(fù)數(shù)的定義,4,例如,2.,復(fù)數(shù)的,幾何,表示,任何一個(gè),復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)平面上的一個(gè),點(diǎn),軸上的點(diǎn),軸,稱為,實(shí),軸,軸上的點(diǎn),軸,稱為,虛,軸,整個(gè)平面,或,z,平面,O,任何一個(gè),復(fù)數(shù),一一對(duì)應(yīng)一個(gè)向量,可以

2、用向量,來表示,向量的,長度,稱為,z,的,模,或,絕對(duì)值,記為,時(shí),以正實(shí)軸為始邊,向量,為終邊,的角的弧度數(shù),稱為,z,的,輻角,記為,任何一個(gè)非零,復(fù)數(shù),有無窮多個(gè),輻角,把滿足,的,稱為輻角的,主值,記為,為整數(shù),對(duì)應(yīng)一個(gè),實(shí),數(shù),對(duì)應(yīng)一個(gè),純虛,數(shù),稱為,復(fù),平面,5,3.,輻角,主值,的算法,零,沒有輻角,O,時(shí),時(shí),時(shí),時(shí),時(shí),時(shí),6,歐拉公式,為實(shí)數(shù),為整數(shù),7,4.,復(fù)數(shù)的三角指數(shù)表示,設(shè),復(fù)數(shù),O,模,輻角主值,稱為復(fù)數(shù),稱為復(fù)數(shù),例,1,設(shè),求,解,的,三角,式,和,指數(shù),式,的,三角,表示式,的,指數(shù),表示式,8,求下列復(fù)數(shù)的三角式、指數(shù)式,9,5.,無窮遠(yuǎn)點(diǎn)與擴(kuò)充復(fù)平

3、面,球面,S,與復(fù)平面切于原點(diǎn),O,ON,為球面的直徑,南極,北極,復(fù)平面,對(duì)于復(fù)平面內(nèi)任何一點(diǎn),z,直線段,Nz,必,相交于球面一點(diǎn),P,對(duì)于球面上異于,N,的一點(diǎn),P,，,直線,NP,必,相交于復(fù)平面一點(diǎn),z,任何一個(gè)復(fù)數(shù)可以用,復(fù)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)表示,因此復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn),z,一一對(duì)應(yīng)球面上,也可以用球面上,若,則,我們規(guī)定,模為,的復(fù)數(shù),對(duì)應(yīng)著復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn),對(duì)應(yīng)著球面上的點(diǎn),N,用球面上的點(diǎn),N,表示,復(fù)數(shù),含有,無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的平面,稱為,擴(kuò)充,復(fù)平面,不含有無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的平面,稱為有限復(fù)平面,簡稱為復(fù)平面,不同于,N,的點(diǎn),P,不同于,N,的點(diǎn),P,表示,10,二、復(fù)數(shù)的運(yùn)算,設(shè),(1),相等,

4、若兩個(gè)復(fù)數(shù)的,實(shí)部,和,虛部,分別相等,則稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,且,且,(2),加法,(3),減法,11,(4),乘法,設(shè),容易證明,例如,12,乘法的幾何意義,設(shè),任何兩個(gè)復(fù)數(shù),等于它們模,任何兩個(gè)復(fù)數(shù),等于它們輻角的,和,特別設(shè),則,則,復(fù)數(shù),z,得到復(fù)數(shù),旋轉(zhuǎn),特別,乘積,的模,的,乘積,乘積,的輻角,13,課本第,5,頁例,1.3,已知,正,三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為,求其第三個(gè)頂點(diǎn),解,或,第三個(gè)頂點(diǎn)為,或,14,(5),倒數(shù),設(shè),15,(6),除法,設(shè),例,1,設(shè),則,16,課本第,7,頁例,1.6,設(shè),求,的三角式指數(shù)式,解,三角式,指數(shù)式,17,除法的幾何意義,設(shè),任何兩個(gè)復(fù)數(shù),商,的模,

5、等于它們模的,商,任何兩個(gè)復(fù)數(shù),商,的輻角,等于它們輻角的,差,18,(7),乘方,設(shè),為正整數(shù),則,19,課本,7,頁例,1.7,設(shè),為實(shí)數(shù),若,則,為實(shí)數(shù),證明,由條件得,代入得,例如,課本第,6,頁例,1.5,設(shè),n,為自然數(shù)，,20,例,2,求,解,例,3,求,解,21,(8),開方,如果,設(shè),則,稱為,的,n,次,方根,則,其中,時(shí),的,n,次方根,共有,n,個(gè)不同的值,22,例,4,求,解,23,例,5,求方程,的所有根,解,方程的所有根為,24,18,頁,11,試證,三點(diǎn)共直線,證明,因此,由,順時(shí)針,旋轉(zhuǎn),180,度,再乘以,得到,故,三點(diǎn)共直線,25,18,頁,11(2),試證,四點(diǎn)共圓周,證明,其中四點(diǎn)在以,為中心、,為半徑的圓周上,根據(jù)條件得到,在虛軸上取一點(diǎn),則,的距離為,的距離為,若,的距離為,則,于是,與,的距離為,條件中四點(diǎn)在以,為中心、,為半徑的圓周上,其中,26,補(bǔ)充例,1,如果,證明,證,上面兩式相加得到,上面兩式相減得到,27,補(bǔ)充例,2,若,試求,n,的值,解,同樣,由條件得到,其中,k,為整數(shù),