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1、*,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第五章 特征值與特征向量,習(xí)題一 矩陣的特征值和特征向量,一、填空題,1,數(shù)域 上的 階矩陣 的特征值和數(shù)域,有關(guān)。,2,若 是 的屬于特征值 的特征向量,則,則也是,的屬于特征值,的特征向量。,3,若 是矩陣 的特征值,則 是,_,的根,4,階矩陣 與,_,有相同的特征值,二、計算題,求下列矩陣在復(fù)數(shù)域上的特征值和特征向量,解:,解:,三、證明題,1,若,階矩陣滿足,,則,特征值可能是或,證明:設(shè),2,若,階矩陣,,存在自然數(shù),,使得,,則,的特征值是,證明:,3,如果,可逆,,是,的特征值,則,
2、是,的特征值,.,證明:,4,證明:,證明,:,設(shè),習(xí)題二 相似矩陣和矩陣可對角化,一、填空題,1,若,,則,,則,2,若,,則,3,若,4,可對角化當(dāng)且僅當(dāng),與對角陣相似,5,階矩陣,有,個互不相同的特征值是,可對角化的,充分條件。,6,判別矩陣,可對角化的方法是:判斷 是否有 個,線性無關(guān)的特征向量,二、,1,證明:設(shè) 是,階方陣,且至少有一個可逆,則,證明:若 可逆,若 可逆,2,證明:主對角線上的元素互不相同的上三角矩陣,必可對角化,證明:,有,個互不相同的特征值,可對角化,三、判別下列矩陣是否可對角化,復(fù)數(shù)域可對角化,實數(shù)域不可對角化,四、已知,,求,解:,習(xí)題三 實對稱矩陣的對角化
3、,一、求正交矩陣 ,使 為對角矩陣,解:,單位化,解:,二、證明題,1,設(shè) 是 階實對稱矩陣,且 ,證明:,存在正交矩陣,使,證明:設(shè),2,證明:反對稱實矩陣的特征值是零或純虛數(shù),證明:,為 的任意特征值,,為 的屬于 的特征向量,(1),兩邊轉(zhuǎn)置,取共軛,(2),(2),右乘,(1),左乘,(3)+(4),3,是兩個實對稱矩陣,證明:存在正交矩陣,Q,,使,的充分必要條件是 具有相同的特征值,證明:必要性:,因為存在正交矩陣,Q,,使,所以,相似矩陣具有相同的特征值,具有相同的特征值,充分性:,具有相同的特征值,設(shè),實對稱矩陣,存在正交矩陣 ,,實對稱矩陣,存在正交矩陣 ,,令,正交,自測題
4、,一、填空題,1,若 為 階矩陣,有非零解則 必有一特征值為,0,提示:,2,若 是 特征值,則 (為正整數(shù))有特征值為,3,若 為 的特征向量,則 的特征向量為,_,提示:,4,若 階矩陣 有 個屬于特征值 的線性無關(guān)的特征向量,,則,提示:,5,已知三階矩陣 的三個特征值為,1,,,2,,,3,,則,的特征值為,提示:,6,階零矩陣的全部特征向量是,全體非零列向量,7,若 ,則,_,提示:,8,若 階矩陣 與 相似,且 ,則,提示:,9,已知,且,,則,提示:,10,三階矩陣 的三個互異特征值為 ,它們對應(yīng),的特征列向量分別為,則矩陣,的秩為,3,二、選擇題,1,設(shè) 是非奇異矩陣 的特征值
5、,則矩陣,有一特征值等于,(,A,);,(B),;,(C),;,(D).,2,若 階矩陣 的任意行中的 個元素的和都是,,則,的一個特征值為(),(,A,),;,(B),;,(C),;,(D).,提示:,3,設(shè) 是 階矩陣,是 的特征值,是 的分別,對應(yīng)于 的特征向量,則(),(,A,)當(dāng) 時,一定成比例;,(,B,)當(dāng) 時,一定不成比例;,(,C,)當(dāng) 時,一定成比例;,(,D,),當(dāng) 時,一定不成比例;,4,設(shè) 階矩陣 與 相似,則(),.,(,A,),(B),(C),(,D),與 都相似一個對角矩陣,.,5,階矩陣 具有 個特征值是 與對角矩陣相似的,(,A,)充分必要條件;,(B),充
6、分而非必要條件 ;,(C),必要而非充分條件;,(D),既非充分也非必要條件,.,6,矩陣,與下列哪個矩陣相似(),(C),7,階矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是,(,A,)有 個不全相同的特征值 ;,(B),方陣 有 個不相同的特征值;,(C),方陣 一定是對角矩陣;,(D),方陣 有 個線性無關(guān)的特征向量,.,(B),有 個不全相同的特征值;,(C),有 個不相同的特征值 ;,(D),有 個線性無關(guān)的特征向量,.,8,若 階方陣 與某個對角矩陣相似,則(),.,(,A,)方陣 的秩等于 ;,9,實 階矩陣 為滿秩矩陣,則(),.,(,A,)必有 個互不相同的特征值;,(B),必有 個線性
7、無關(guān)的特征向量;,(C),必相似于一個滿秩的對角矩陣;,(D),的特征值必不為零,.,當(dāng) 時,10,設(shè) 是 階矩陣,是 的特征值,是 的分別,對應(yīng)于 的特征向量,對于不全為零的常數(shù),有,(,A,)當(dāng) 時,必為 的特征向量;,(,B,)當(dāng) 時,是 相應(yīng)于 唯一的,兩個線性無關(guān)的特征相量;,(,C,),當(dāng) 時,若 是非零向量,則它必為 的,特征向量;,(,D,)當(dāng) 時,必為 相應(yīng)于 的兩個,線性無關(guān)的特征相量,.,三、計算題,1,設(shè),(,1,)試求矩陣 的特征值;,()利用(,1,)的結(jié)果,求 的特征值,解:,(,1,),(),2,設(shè)實對稱矩陣,求正交矩陣 使 為,對角矩陣,解:,3,設(shè) 為 階實
8、矩陣,滿足 ,試求 的,伴隨矩陣 的一個特征值,證明:,設(shè),A,的一個特征值,即證,方程有非零解,即證,的一個特征值,4,已知三階矩陣 的特征值為 矩陣,(,1,)矩陣 的特征值和與 相似的對角矩陣;,(2),行列式 和,解:,試求,(,1,),的特征值,(2),5,設(shè),,求(,1,)的所有特征值與特征向量;,(,2,)判別 能否對角化,若能對角化,則求出可逆矩陣 ,使 為對角矩陣;,(,3,)計算 ,解:,可對角化,四、證明題,1,若 階矩陣 滿足 ,則 的特征值僅能是,1,或 ,證明:,2,設(shè) 滿足 證明:的特征值只能是,1,或,2,證明:,3,設(shè) ,在 上可對角化,,證明:在 上可對角化,階方陣,多項式,證明:,在 上可對角化,,對角陣的和仍為對角陣,在 上可對角化,