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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,上頁,下頁,鈴,結(jié)束,返回,首頁,一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì),二、對弧長的曲線積分的計算,11.1 對弧長的曲線積分,上頁,下頁,鈴,完畢,返回,首頁,把曲線弧,L,分成,n,個小段,s,1,s,2,s,n,(,s,i,也表示弧長,),一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì),曲線形構(gòu)件的質(zhì)量,下頁,設(shè)曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上 曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x y)處的線密度為(x y),任取,(,i,i,),s,i,得第,i,小段質(zhì)量的近似值,(,i,i,),s,i,令,max,s,1,s,2,s,n,0,則整個曲線形構(gòu)件的質(zhì)量為,整個曲線形構(gòu)件的質(zhì)量近似為

2、,下頁,一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì),設(shè)曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上 曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x y)處的線密度為(x y),曲線形構(gòu)件的質(zhì)量,把曲線弧,L,分成,n,個小段,s,1,s,2,s,n,(,s,i,也表示弧長,),任取,(,i,i,),s,i,得第,i,小段質(zhì)量的近似值,(,i,i,),s,i,將,L,任意分成,n,個小弧段,s,1,s,2,s,n,(,s,i,也表示第,i,個小弧段的長度),在每個小弧段,s,i,上任取一點(diǎn)(,i,i,),作和,對弧長的曲線積分,下頁,設(shè),L,為,xOy,面內(nèi)的一條光滑曲線弧,函數(shù),f,(,x,y,)在,L,上有界,如果當(dāng),max

3、,s,1,s,2,s,n,0時,這和的極限總存在,則稱此極限為函數(shù),f,(,x,y,)在曲線弧,L,上對弧長的曲線積分,記作,其中,f,(,x,y,)叫做被積函數(shù),L,叫做積分弧段,光滑曲線,下頁,對弧長的曲線積分,說明,當(dāng)函數(shù),f,(,x,y,),在光滑曲線弧,L,上連續(xù)時,函數(shù),f,(,x,y,),在曲線弧,L,上對弧長的曲線積分是存在的,以后我們總假定,f,(,x,y,),在,L,上是連續(xù)的,對弧長的曲線積分也稱為第一類曲線積分,曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分 的值,類似地可以定義函數(shù),f,(,x,y,z,),在空間曲線弧,上對弧長的曲線積分,下頁,對弧長的曲線積分,假設(shè)L(或)是分段光滑

4、的 則規(guī)定函數(shù)在L(或)上的曲線積 分等于函數(shù)在光滑的各段上的曲線積分的和,例如 設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧L1及L2 則規(guī)定,函數(shù),f,(,x,y,),在閉曲線,L,上對弧長的曲線積分記作,說明,對弧長的曲線積分的性質(zhì),首頁,性質(zhì),1,設(shè),c,1,、,c,2,為常數(shù),則,性質(zhì)2 假設(shè)積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧L1和L2 則,性質(zhì),4,設(shè)在,L,上,f,(,x,y,),g,(,x,y,),則,特殊地 有,(,l,曲線弧,的長度),性質(zhì),3,提示,二、對弧長的曲線積分的計算,下頁,依據(jù)對弧長的曲線積分的定義 假設(shè)曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x y)則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為,另一方面 假設(shè)曲線L是光

5、滑的 其參數(shù)方程為,x(t)y(t)(t),則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為,曲線形構(gòu)件,L,的質(zhì)量元素為,二、對弧長的曲線積分的計算,依據(jù)對弧長的曲線積分的定義 假設(shè)曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x y)則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為,下頁,另一方面 假設(shè)曲線L是光滑的 其參數(shù)方程為,x(t)y(t)(t),則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為,二、對弧長的曲線積分的計算,定理,下頁,設(shè),f,(,x,y,)在曲線弧,L,上有定義且連續(xù),L,的參數(shù)方程為,x,(,t,),y,(,t,)(,t,),其中,(,t,)、,(,t,)在,上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,2,(,t,),2,(,t,),0,應(yīng)留意的問題 1.定積分的下限肯定要小于

6、上限,下頁,設(shè)曲線,L,的參數(shù)方程為,x,(,t,),y,(,t,)(,t,),則,爭論,提示,(1),L,的參數(shù)方程為,x,x,y,(,x,)(,a,x,b,),下頁,設(shè)曲線,L,的參數(shù)方程為,x,(,t,),y,(,t,)(,t,),則,爭論,提示,(2),L,的參數(shù)方程為,x,(,y,),y,y,(,c,y,d,),下頁,設(shè)曲線,L,的參數(shù)方程為,x,(,t,),y,(,t,)(,t,),則,爭論,(3)假設(shè)曲線方程為極坐標(biāo)形式,則,提示,下頁,設(shè)曲線,L,的參數(shù)方程為,x,(,t,),y,(,t,)(,t,),則,爭論,(4)若曲線,的參數(shù)方程為,x,(,t,),y,(,t,),z,(

7、,t,)(,t,),提示,下頁,設(shè)曲線,L,的參數(shù)方程為,x,(,t,),y,(,t,)(,t,),則,B,(1,1)之間的一段弧,曲線,L,的參數(shù)方程為,x,x,y,x,2,(0,x,1),因此,解,例2,解:,例3.,計算,其中,L,為雙紐線,解:,在極坐標(biāo)系下,它在第一象限局部為,利用對稱性,得,x,a,cos,t,、,y,a,sin,t,、,z,kt,上相應(yīng)于,t,從0到達(dá)2,的一段弧,解,x,2,y,2,z,2,(,a,cos,t,),2,(,a,sin,t,),2,(,kt,),2,a,2,k,2,t,2,在曲線,上有,并且,下頁,例,4,計算曲線積分,ds,z,y,x,),(,2

8、,2,2,+,+,G,其中,G,為螺旋線,完畢,x,a,cos,t,、,y,a,sin,t,、,z,kt,上相應(yīng)于,t,從0到達(dá)2,的一段弧,解,在曲線,上有,并且,x,2,y,2,z,2,(,a,cos,t,),2,(,a,sin,t,),2,(,kt,),2,a,2,k,2,t,2,例,4,計算曲線積分,ds,z,y,x,),(,2,2,2,+,+,G,其中,G,為螺旋線,例5.,計算,其中,為球面,被平面 所截的圓周.,解:,由對稱性可知,例6.設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為,(1)求它關(guān)于,z,軸的轉(zhuǎn)動慣量,(2)求它的質(zhì)心.,解,:,設(shè)其密度為,(常數(shù)).,(2),L,的質(zhì)量,而,(1),故重心坐標(biāo)為,例7.,L為球面,面的交線,求其形心.,在第一卦限與三個坐標(biāo),解:如下圖,交線長度為,由對稱性,形心坐標(biāo)為,機(jī)動 名目 上頁 下頁 返回 完畢,內(nèi)容小結(jié),1.定義,2.性質(zhì),(,l,曲線弧,的長度),3.計算,對光滑曲線弧,對光滑曲線弧,對光滑曲線弧,