《態(tài)和力學(xué)量的表象課件》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《態(tài)和力學(xué)量的表象課件(38頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,#,1,表象,:,量子力學(xué)中的態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象,4.1,態(tài)的表象,一個粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù),(,r,t,),來描述,將,(,r,t,),稱為,坐標(biāo)表象,。下面將討論用動量為,變量,描述波函數(shù)。,c,(,p,t,),為展開系數(shù),,p,(,x,),是動量的本征函數(shù),2,c,(,p,t,),和,(,r,t,),描述的是粒子態(tài)同一個狀態(tài),,(,r,t,),是這個狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的波函數(shù),而,c,(,p,t,),為同一狀態(tài)在動量表象中的波函數(shù)。,表示在,所描寫的態(tài)中測量粒子動量所,結(jié)果在 范圍內(nèi)
2、的幾率,如果,(x,t),描述的狀態(tài)是具有動量,p,的自由粒子的狀態(tài),3,在動量表象中,具有確定動量,p,的粒子波函數(shù)是,函數(shù)。,同樣,在坐標(biāo)表象中,具有確定坐標(biāo),x,的粒子波函數(shù)也是,函數(shù)。,4,解:首先對波函數(shù)進(jìn)行歸一化,例題:一維粒子運動的狀態(tài)是,求:(,1,),粒子動量的幾率分布;,(,2,)粒子的平均動量,5,動量的幾率分布為,6,動量的平均值為,另一種解法,7,考慮任意力學(xué)量,Q,本征值為,1,2,n,對應(yīng)的本征函數(shù),u,1,(x),u,2,(x),u,n,(x),則任意波函數(shù),(,x,)按,Q,的本征函數(shù),展開為,如果,(,x,)和,u,n,(x),都是歸一化的,則,8,所以,在
3、,(,x,)所描寫的量子態(tài)中測量,力學(xué)量,Q,所得的結(jié)果為,Q,n,的幾率,數(shù)列,就是,(,x,)所描寫的量子態(tài)中在,Q,表象中的表示,9,共軛轉(zhuǎn)置矩陣,波函數(shù)的歸一化表示成,10,如果力學(xué)量,Q,除了有分立的本征值,還有連續(xù)的本征值,則,其中,歸一化可表示為,11,直角坐標(biāo)系中,矢量,A,的方向由,i,j,k,三個單位矢量基矢決定,大小由,A,x,A,y,A,z,三個分量(基矢的系數(shù))決定。,在量子力學(xué)中,選定一個,F,表象,將,Q,的本征函數(shù),u,1,(x),u,2,(x),u,n,(x),看作一組基矢,有無限多個,大小由,a,1,(t),a,2,(t),a,n,(t),系數(shù)決定。,常用的
4、表象有坐標(biāo)表象、動量表象、能量表象和角動量表象,所以,量子力學(xué)中態(tài)矢量所決定的空間是無限維的空間函數(shù),基矢是正交歸一的波函數(shù)。數(shù)學(xué)上稱為希爾伯特(,Hilbert,)空間,.,12,例 質(zhì)量為,m,的粒子在均勻力場,V,(,x,),Fx,(,F,0),中運動,,試在動量表象中粒子的波函數(shù)。,解,:,在動量表象中,坐標(biāo),x,的算符表示為,13,定態(tài)的薛定諤方程,動量表象中粒子的函數(shù),變到坐標(biāo)表象中,則波函數(shù)為,14,其中,(,Ariy,函數(shù)),15,4.2,算符的矩陣表示,在,Q,表象中,,Q,的本征值分別為,Q,1,,,Q,2,,,Q,3,,,Q,n,對應(yīng)的本征函數(shù)分別為,u,1,(x),u,
5、2,(x),u,n,(x),.,將,(x,t),和,(x,t),分別在,Q,表象中按,Q,的本征函數(shù)展開,16,兩邊同乘以,并在整個空間積分,利用本征函數(shù),u,n,(x),的正交性,17,引進(jìn)記號,這就是,在,Q,表項中的表述方式,表示成矩陣的形式:,得,18,矩陣,F,nm,的共軛矩陣表示為,因為量子力學(xué)中的算符都是厄米算符,,即,將滿足該式的矩陣稱為,厄密矩陣,19,若在轉(zhuǎn)置矩陣中,每個矩陣元素用它的共軛復(fù)數(shù)來代替,得到的新矩陣稱為,F,的共軛轉(zhuǎn)置矩陣,簡稱為共扼矩陣,F,nm,的轉(zhuǎn)置矩陣為,根據(jù)厄密矩陣的定義,所以,20,例 求一維無限深勢阱中(寬度為,a,)粒子的坐標(biāo)和動量在能量表象中
6、的矩陣元,解:在能量表象中,能量的本征值及本征函數(shù)為,21,22,Q,在自身表象中的矩陣元,Q,m,為,Q,在自身空間中的的本征值,結(jié)論:算符在自身的表象中是一個對角矩陣,23,如,x,在坐標(biāo)空間中可表示為,動量,p,在動量空間中表示為,一維諧振子能量表象中能量的矩陣元,24,如果,Q,只具有連續(xù)分布的本征值,q,,那么算符,F,在,Q,表象中依然是一個矩陣:,這個矩陣的行列不再可數(shù),而是用連續(xù)變化的下標(biāo)來表示,在動量表象中,算符,F,的矩陣元為:,其中,p,(,x,),是動量的本征函數(shù),25,4.3,量子力學(xué)公式的矩陣表述,1.,平均值公式,26,寫成矩陣形式,簡寫為,27,2.,本征值方程
7、,在量子力學(xué)中最重要的問題是找算符的本征值和本征函數(shù)。,首先,算符,F,的本征函數(shù)滿足,28,有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零,這是一個線性齊次代數(shù)方程組,這是一個久期(,secular,)方程。將有,1,,,2,.,n,n,個解,就是,F,的本征值。,29,3.,矩陣形式的薛定諤方程,薛定諤方程,不顯含時間的波函數(shù)的,能量表象,波函數(shù)根據(jù)哈密頓本征函數(shù)展開,代入薛定諤方程,30,兩邊同乘以,并積分,簡寫為,H,均為矩陣元。,31,例題:求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù),線性諧振子的總能量為,解法一:在動量表象中,,x,的算符表示為:,則,H,算符表示為,定態(tài)的薛定諤方程寫為,32,c(p),是動量表象中的本征函數(shù),仿照一維諧振子坐標(biāo)空間的求解方法可解出,c(p),。,33,例:設(shè)已知在 和 的共同表象中,算符 的矩陣為:,求 的本征值和歸一化的本征函數(shù),最后將矩陣 對角化,解:設(shè) 的本征態(tài)為,其本征方程為:,34,即,分別有,35,欲求 的非零解,其系數(shù)行列式為零:,得,36,是 的本征值,把解得的,值代入本征方程,可以得到,a,1,,,a,2,,,a,3,值,本征態(tài)為,本征態(tài)為,37,本征態(tài)為,矩陣 對角化矩陣為,38,習(xí)題:第,130,頁,1,、,2,、,3,、,4,