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1、?三角形中常見輔助線的添加 1. 與角平分線有關(guān)的 ? （1）?可向兩邊作垂線。（2）可作平行線，構(gòu)造等腰三角形 ?? （3）在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形 ?? 2. 與線段長度相關(guān)的 ? （1）?截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，經(jīng)常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可 ?? （2）?補短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可 ?? （3）倍長中線：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線

2、，方法是將中線延長一倍，再將端點連結(jié)，便可得到全等三角形。?? （4）遇到中點，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。? 3. 與等腰等邊三角形相關(guān)的? （1）考慮三線合一 ?? （2）旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全都三角形，等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)60?° ?四邊形中常見輔助線的添加 特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時往往需 要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。1. 和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法 ???平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形。 （1）?

3、利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形 ? （2）利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形 ? （3）利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形 ?? 2. 與矩形有輔助線作法? （1）計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題 ? （2）證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少. 3. 和菱形有關(guān)的輔助線的作法 ? 和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.? （1）作菱形的高 ?? （2）連結(jié)菱形的對角線? 4. 與正方形有關(guān)輔助線的作法 正方形是一種完美的幾何圖

4、形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正 方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線 ?? 5. 與梯形有關(guān)的輔助線的作法? 和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：?? （1）作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形 ? （2）作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形 ?? （3）作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形 ? （4）延長兩腰構(gòu)成三角形 ? （5）作兩腰的平行線等 ?圓中常見輔助線的添加 1. 遇到弦時（解決有關(guān)弦的問題時）? 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端

5、點的半徑。??作用：? （1）?利用垂徑定理? ??? ? ?（2）利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系? ? ? ?（3）利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量? 2. 遇到有直徑時，常常添加（畫）直徑所對的圓周角 作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形? ? 3. 遇到90度的圓周角時 ，常常連結(jié)兩條弦沒有公共點的另一端點 ?? 作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑 ?? 4. 遇到弦時，常常連結(jié)圓心和弦的兩個端點，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點和弦的兩個端點 ? 作用：（1）可得等腰三角形 ? ? ? ? ? （2）據(jù)圓周角的性質(zhì)可得

6、相等的圓周角 ? 5. 遇到有切線時，常常添加過切點的半徑（連結(jié)圓心和切點） ??? ? ? ?作用：利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形常常添加連結(jié)圓上一點和切點 ? ? 作用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。? 6. 遇到證明某一直線是圓的切線時（1） 若直線和圓的公共點還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。? 作用：若OA=r，則l為切線 ?? （2） 若直線過圓上的某一點，則連結(jié)這點和圓心（即作半徑） ?作用：只需證OA⊥l，則l為切線 ? （3） 有遇到圓上或圓外一點作圓的切線 7. 遇到兩相交切線時（切線長） 常常連結(jié)切點和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一

7、點、連結(jié)兩切點 ? ?作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到 ? ? （1）角、線段的等量關(guān)系 ?（2）?垂直關(guān)系 ?? ??（3）?全等、相似三角形 ? 8. 遇到三角形的內(nèi)切圓時 ? 連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段 ? ?作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得 ?? （1） 內(nèi)心到三角形三個頂點的連線是三角形的角平分線 （2）內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等 ?? 9. 遇到三角形的外接圓時，連結(jié)外心和各頂點? 作用：外心到三角形各頂點的距離相等 ?? 10. 遇到兩圓外離時（解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題） 常常作出過切點的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線 ?作

8、用：（1）利用切線的性質(zhì)；?（2）利用解直角三角形的有關(guān)知識 ?? 11. 遇到兩圓相交時 ?常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點和圓心等 作用：（1）?利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識? ? ? ?（2） ?利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)? ? ? ??（3）利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)? ? ? ? ?（4） 垂徑定理 ?? 12．遇到兩圓相切時? 常常作連心線、公切線 ??作用：（1）?利用連心線性質(zhì)（2）切線性質(zhì)等 ?? 13. 遇到三個圓兩兩外切時 （1）常常作每兩個圓的連心線 ??? ? ?（2）作用：可利用連心線性質(zhì)? ?14. 遇到四邊形對角互補或兩個三角形同底并在底的同向

9、且有相等“頂角”時??常常添加輔助圓 ?作用：以便利用圓的性質(zhì) 輔助線記憶歌訣? ? ? 人說幾何很困難，難點就在輔助線。 輔助線，如何添？把握定理和概念。 還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。 圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。 也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。 角平分線平行線，等腰三角形來添。 角平分線加垂線，三線合一試試看。 線段垂直平分線，常向兩端把線連。 要證線段倍與半，延長縮短可試驗。 三角形中兩中點，連接則成中位線。 三角形中有中線，延長中線等中線。 平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。 梯形里面作高線，平移一腰試試看。 平行移動對角線，補成三角形常見。

10、證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。 等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。 直接證明有困難，等量代換少麻煩。 斜邊上面作高線，比例中項一大片。 半徑與弦長計算，弦心距來中間站。 圓上若有一切線，切點圓心半徑連。 切線長度的計算，勾股定理最方便。 要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。 是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。 弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。 圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。 弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。 要想作個外接圓，各邊作出中垂線。 還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓 如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。 內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點公切線。 若是添上連心線，切點肯定在

11、上面。 要作等角添個圓，證明題目少困難。 輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。 假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實驗。 基本作圖很關(guān)鍵，平時掌握要熟練。 解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。 切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。 分析綜合方法選，困難再多也會減。 虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。 幾何證題難不難，關(guān)鍵常在輔助線； 知中點、作中線，中線處長加倍看； 底角倍半角分線，有時也作處長線； 線段和差及倍分，延長截取證全等； 公共角、公共邊，隱含條件須挖掘； 全等圖形多變換，旋轉(zhuǎn)平移加折疊； 中位線、常相連，出現(xiàn)平行就好辦； 四邊形、對角線，比例相似平行線； 梯形問題好解決，平移腰、作高線； 兩腰處長義一點，亦可平移對角線； 正余弦、正余切，有了直角就方便； 特殊角、特殊邊，作出垂線就解決； 實際問題莫要慌，數(shù)學(xué)建模幫你忙； 圓中問題也不難，下面我們慢慢談； 弦心距、要垂弦，遇到直徑周角連； 切點圓心緊相連，切線常把半徑添； 兩圓相切公共線，兩圓相交公共弦； 切割線，連結(jié)弦，兩圓三圓連心線； 基本圖形要熟練，復(fù)雜圖形多分解.? ?