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1、第十八章《勾股定理》教材分析及教學(xué)建議 本章主要內(nèi)容是勾股定理及其逆定理。首先讓學(xué)生通過(guò)觀察得出直角三角形兩條直角邊的平方和等于 斜邊的平方的結(jié)論并加以證明，從而得到勾股定理，然后運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，引入勾股 定理的逆定理，并結(jié)合此項(xiàng)內(nèi)容介紹逆命題、逆定理的概念。 本章教學(xué)時(shí)間約需8課時(shí)，具體安排如下： 18. 1勾股定理 4 課時(shí) 19. 2 勾股定理的逆定理 3 課時(shí) 數(shù)學(xué)活動(dòng) 小結(jié) 1 課時(shí) 、教科書(shū)內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo) 本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖： 互逆定理 直角三角形是一種特殊的三角形，它有許多重要的性質(zhì)，如兩個(gè)銳角互余， 30。的角所對(duì)的直角

2、邊等 于斜邊的一半。本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性質(zhì)，而且是一條非常重要的性質(zhì)。 勾股定理是幾何中幾個(gè)最重要的定理之一，它揭示了一個(gè)直角三角形三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，它可以 解決許多直角三角形中的計(jì)算問(wèn)題，是解直角三角形的主要依據(jù)之一，在生產(chǎn)生活實(shí)際中用途很大。它不 僅在數(shù)學(xué)中，而且在其他自然科學(xué)中也被廣泛地應(yīng)用。 目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號(hào)，如地球上人類 的語(yǔ)言、音樂(lè)、各種圖形等。據(jù)說(shuō)我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇 宙人是“文明人”，那么他們一定會(huì)識(shí)別這種“語(yǔ)言”的。這個(gè)事實(shí)可以說(shuō)明勾股定理的重大意義

3、，發(fā)現(xiàn) 勾股定理，尤其在 2000多年前，是非常了不起的成就。 在第一節(jié)中，教科書(shū)讓學(xué)生通過(guò)觀察計(jì)算一些直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積與以斜邊 為邊長(zhǎng)的正方形的面積的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形 的面積，從而發(fā)現(xiàn)勾股定理。 勾股定理的證明方法很多，教科書(shū)正文中介紹的是一種面積證法。其中的依據(jù)是圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后， 只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變。在教科書(shū)中，圖 18.1 -3 (1)中的圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后得到圖 19.1 —3（3）中的圖形。由此就證明了勾股定理。通過(guò)推理證實(shí)命題 1的正確性后，教科書(shū)順勢(shì)指出什么 是定理。

4、由勾股定理可知，已知兩條直角邊的長(zhǎng) a,b,就可以求出斜邊c的長(zhǎng)。由勾股定理可得以，二白2一占二或 由此可知，已知斜邊與一條直角邊的長(zhǎng)，就可以求出另一條直角邊的長(zhǎng)。也就是說(shuō)，在直 角三角形中，已知兩條邊的長(zhǎng)，就可以求出第三條邊的長(zhǎng)。教科書(shū)相應(yīng)安排了三個(gè)探究欄目，讓學(xué)生運(yùn)用 勾股定理解決問(wèn)題。 在第二節(jié)中，教科書(shū)讓學(xué)生畫出一些兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形，可以發(fā)現(xiàn)畫出的三角 形是直角三角形。從而猜想如果三角形的三邊滿足兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直 角三角形。這個(gè)猜想可以利用全等三角形證明，得到勾股定理的逆定理。 勾股定理的逆定理給出了判定一個(gè)三角形是直角三角形

5、的方法。教科書(shū)安排了兩個(gè)例題，讓學(xué)生學(xué)會(huì) 運(yùn)用這種方法。這種方法與前面學(xué)過(guò)的一些判定方法不同，它通過(guò)代數(shù)運(yùn)算“算”出來(lái)。實(shí)際上利用計(jì)算 證明幾何問(wèn)題學(xué)生已經(jīng)見(jiàn)過(guò)，計(jì)算在幾何里也是很重要的。從這個(gè)意義上講，勾股定理的逆定理的學(xué)習(xí)， 對(duì)開(kāi)闊學(xué)生眼界，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)中的各種方法有很大的意義。 幾何中有許多互逆的命題，互逆的定理，它們從正反兩個(gè)方面揭示了圖形的特征性質(zhì)，所以互逆命題 和互逆定理是幾何中的重要概念。學(xué)生已見(jiàn)過(guò)一些互逆命題（定理），例如：“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等” 與“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”；“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”與“對(duì)應(yīng)邊相等的三角形是全等三角形” 等，都是互逆命題。勾股定理與勾

6、股定理的逆定理也是互逆的命題，而且這兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論都比較 簡(jiǎn)單。因此，教科書(shū)在前面已有感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，在第二節(jié)中，結(jié)合勾股定理的逆定理的內(nèi)容的展開(kāi)， 穿插介紹了逆命題、逆定理的概念，并舉例說(shuō)明原命題成立其逆命題不一定成立。為鞏固這些內(nèi)容，相應(yīng) 配備了一些練習(xí)與習(xí)題。 本章學(xué)習(xí)目標(biāo)如下： 1 .體驗(yàn)勾股定理的探索過(guò)程，會(huì)運(yùn)用勾股定理解決簡(jiǎn)單問(wèn)題； 2 .會(huì)運(yùn)用勾股定理的逆定理判定直角三角形； 3 .通過(guò)具體的例子，了解定理的含義，了解逆命題、逆定理的概念，知道原命題成立其逆命題不一定 成立。 二、本章編寫特點(diǎn) （一）讓學(xué)生體驗(yàn)勾股定理的探索和運(yùn)用過(guò)程 勾股定理的發(fā)現(xiàn)從傳說(shuō)故

7、事講起，從故事中可以發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形有這樣的性質(zhì)：以等腰直角三角 形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。再看一些其他直角三角形, 發(fā)現(xiàn)也有上述性質(zhì)。因而猜想所有直角三角形都有這個(gè)性質(zhì)，即如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為 斜邊長(zhǎng)為匚，那么療口 +&'=/（教科書(shū)把這個(gè)猜想記作命題1,把下節(jié)“如果三角形的三邊長(zhǎng) 明瓦匚滿 足0=十上，=/,那么這個(gè)三角形是直角三角形”記作命題 2,便于引出互逆命題）。 教科書(shū)讓學(xué)生用勾股定理探究三個(gè)問(wèn)題。探究 1是木板進(jìn)門問(wèn)題。按照已知數(shù)據(jù)，木板橫著、豎著都 不能進(jìn)門，只能斜著試試。由此想到求長(zhǎng)方形門框的對(duì)角線的長(zhǎng)，而這個(gè)問(wèn)

8、題可以用勾股定理解決。探究 2 是梯子滑動(dòng)問(wèn)題：梯子頂端滑動(dòng)一段距離，梯子的底端是否也滑動(dòng)相同的距離。這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為已知 斜邊與一條直角邊的長(zhǎng)求另一條直角邊的長(zhǎng)的問(wèn)題，這也可以用勾股定理解決。 探究3是在數(shù)軸上畫出表示 小 的點(diǎn)。分以下四步引導(dǎo)學(xué)生： （1）將在數(shù)軸上畫出表示 屈 的點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為畫出長(zhǎng)為 廂 的線段的問(wèn)題。 （2）由長(zhǎng)為 J5的線段是直角邊都為 1的直角三角形的斜邊，聯(lián)想到長(zhǎng)為 距的線段能否是直角邊為 正整數(shù)的直角三角形的斜邊。 （3）通過(guò)嘗試發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)為 屈的線段是直角邊為 2,3的直角三角形的斜邊。 （4）畫出長(zhǎng)為,兩 的線段，從而在數(shù)軸上畫出表示 上 的點(diǎn)

9、。 （二）結(jié)合具體例子介紹抽象概念 在本章中，結(jié)合勾股定理、勾股定理的逆定理介紹了定理、逆命題、逆定理的內(nèi)容。 在勾股定理一節(jié)中，先讓學(xué)生通過(guò)觀察得出命題 1,然后通過(guò)面積變形證明命題 1。由此說(shuō)明，經(jīng)過(guò)證 明被確認(rèn)正確的命題叫做定理。 在勾股定理的逆定理一節(jié)中，從古埃及人畫直角的方法談起，然后讓學(xué)生畫一些三角形（已知三邊， 并且兩邊的平方和等于第三邊的平方），可以發(fā)現(xiàn)畫出的三角形是直角三角形。因而猜想如果三角形的三 邊長(zhǎng)演，瓦二滿足十方，二二\那么這個(gè)三角形是直角三角形，即教科書(shū)中的命題 2。把命題2的條件、結(jié) 論與上節(jié)命題1的條件、結(jié)論作比較，引出逆命題的概念。接著探究證明命

10、題 2的思路。用三角形全等證 明命題2后，順勢(shì)引出逆定理的概念。 命題1,命題2屬于原命題成立，逆命題也成立的情況。為了防止學(xué)生由此誤以為原命題成立，逆命題 一定成立，教科書(shū)特別舉例說(shuō)明有的原命題成立，逆命題不成立。 （三）注重介紹數(shù)學(xué)文化 我國(guó)古代的學(xué)者們對(duì)勾股定理的研究有許多重要成就，不僅在很久以前獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了勾股定理，而且 使用了許多巧妙的方法證明了它，尤其在勾股定理的應(yīng)用方面，對(duì)其他國(guó)家的影響很大，這些都是我國(guó)人 民對(duì)人類的重要貢獻(xiàn)。 本章介紹了我國(guó)古代的有關(guān)研究成果。在引言中介紹我國(guó)古算書(shū)《周髀算經(jīng)》的記載“如果勾是三、 股是四、那么弦是五"。有很多方法可以證明勾股定理。教

11、科書(shū)為了弘揚(yáng)我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就，介紹了我國(guó) 古人趙爽的證法。首先介紹趙爽弦圖，然后介紹趙爽利用弦圖證明命題 1的基本思路?！摆w爽弦圖”表現(xiàn) 了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲。正因?yàn)榇?，這個(gè)圖案被選為 2002年 在北京召開(kāi)的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽。還在習(xí)題中安排我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問(wèn)題，展現(xiàn)我 國(guó)古人在勾股定理應(yīng)用研究方面的成果。 本章也介紹了國(guó)外的有關(guān)研究成果。如勾股定理的發(fā)現(xiàn)是從與畢達(dá)哥拉斯有關(guān)傳說(shuō)故事引入的。又如 勾股定理的逆定理從古埃及人畫直角的方法引入。再如介紹古希臘哲學(xué)家柏拉圖關(guān)于勾股數(shù)的結(jié)論。 三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題 （一）讓學(xué)生獲得

12、更多與勾股定理有關(guān)的背景知識(shí) 與勾股定理有關(guān)的背景知識(shí)豐富， 除正文介紹的有關(guān)內(nèi)容外， 教科書(shū)在“閱讀與思考 勾股定理的證明” 中介紹了另外幾種證明勾股定理的方法，還安排了一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生收集一些證明勾股定理的方法， 并與同學(xué)交流。 在教學(xué)中，應(yīng)注意展現(xiàn)與勾股定理有關(guān)的背景知識(shí)，使學(xué)生對(duì)勾股定理的發(fā)展過(guò)程有所了解，感受勾 股定理的豐富文化內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。特別應(yīng)通過(guò)向?qū)W生介紹我國(guó)古代在勾股定理研究方面的成 就，激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)祖國(guó)，熱愛(ài)祖國(guó)悠久文化的思想感情，培養(yǎng)他們的民族自豪感，同時(shí)教育學(xué)生發(fā)奮圖強(qiáng)， 努力學(xué)習(xí)，為將來(lái)?yè)?dān)負(fù)起振興中華的重任打下基礎(chǔ)。 （二）適當(dāng)總結(jié)與定理、逆定

13、理有關(guān)的內(nèi)容 第3頁(yè) 本章中給出了定理、逆定理的概念，可以在小結(jié)中回顧已學(xué)的一些結(jié)論。例如，在第七章“三角形” 中， “三角形的內(nèi)角和等于 180 °”是由平行線的性質(zhì)與平角的定義推出的，這個(gè)結(jié)論也稱為三角形內(nèi)角和 定理。又如，在第十三章“全等三角形”中，都是利用三角形全等證明的，前一個(gè)結(jié)論也稱為角的平分線 的性質(zhì)定理，而后一個(gè)結(jié)論是角的平分線的性質(zhì)定理的逆定理。這樣就可以從定理、逆定理的角度認(rèn)識(shí)已 學(xué)的一些結(jié)論，明確其中一些結(jié)論之間的關(guān)系。 互逆命題、互逆定理的概念，學(xué)生接受它們困難不大，對(duì)于那些不是以“如果……那么……”形式給 出的命題，敘述它們的逆命題困難較大，是教學(xué)

14、中的一個(gè)難點(diǎn)。解決這個(gè)難點(diǎn)的方法是，適當(dāng)復(fù)習(xí)命題的 有關(guān)內(nèi)容，學(xué)會(huì)把一個(gè)命題變?yōu)椤叭绻敲础钡男问?。注意這些概念是第一次學(xué)習(xí)，不要要求過(guò) 高。 四、教學(xué)建議 本章內(nèi)容的重點(diǎn)與難點(diǎn)是勾股定理及其應(yīng)用，勾股定理的互定理及其應(yīng)用。勾股定理是解幾何題中有關(guān) 線段計(jì)算問(wèn)題的重要依據(jù)，也是以后學(xué)習(xí)解直角三角形的主要依據(jù)之一。本章的難點(diǎn)是掌握勾股定理并能 熟練的運(yùn)用勾股定理。要注意：在直角三角形中，反映的是直角三角形的三邊關(guān)系。直角三角形兩直角邊 a,b 的平方和等于斜邊的平方和。在其它三角形中不存在這樣的關(guān)系。這是一個(gè)非常重要的定理。它是 把形 轉(zhuǎn)化為數(shù) ，它的應(yīng)用非常廣泛。勾股定理

15、的互定理則是 把數(shù)轉(zhuǎn)化為形 ，通過(guò)計(jì)算判定一個(gè)三角形是否為直 角三角形。 相關(guān)知識(shí)點(diǎn)回顧 ： （ 1 ）直角三角形的兩個(gè)銳角互余 （ 2 ）直角三角形中 30 度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 （ 3 ）斜邊大于任一條直角邊 （ 4 ）全等三角形判定方法。 （ 5 ）面積公式 學(xué)生在本章學(xué)習(xí)中存在認(rèn)知誤區(qū)和思維障礙。 ⑴忽視題目中的隱含條件。如在 RtAABC中，/ B=90, a, b, c分別為三條邊，a= 3, b=4,求邊c 的長(zhǎng)。不少學(xué)生會(huì)認(rèn)為 c=5,忽視了 b是斜邊這一隱含條件。 4 2） 忽視定理成立的條件是在直角三角形中， 有的同學(xué)看到三角形的兩邊是 3

16、和 4， 就會(huì)認(rèn)為第三邊是 5 ， （3）考慮問(wèn)題不全面造成漏解．如已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 5 和 12，求第三邊。 （4）通過(guò)添加輔助線將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形. 如（a）連結(jié)兩點(diǎn)構(gòu)造直角三角形 （b）作高構(gòu)造直 角三角形（ c ）構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問(wèn)題。 教學(xué)建議 本章教學(xué)教師可采用主體性學(xué)習(xí)的教學(xué)模式， 提出問(wèn)題讓學(xué)生思考，設(shè)計(jì)問(wèn)題讓學(xué)生做，錯(cuò)誤原因讓 學(xué)生找，方法與規(guī)律讓學(xué)生歸納．教師的作用在于組織、點(diǎn)撥、引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)探索、積極思考、大 膽想象、總結(jié)規(guī)律，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生真正成為教學(xué)活動(dòng)的主人。本章的教學(xué)步驟可分五 步：探索結(jié)論一一驗(yàn)

17、證結(jié)論一一 初步應(yīng)用結(jié)論一一證明結(jié)論一一應(yīng)用結(jié)論解決實(shí)際問(wèn)題。 1、在探索結(jié)論階段，應(yīng)調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生充分參與 例如，教材設(shè)計(jì)了在方格紙上通過(guò)計(jì)算面積的方法探索勾股定理的活動(dòng)，教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試求出方格 中三個(gè)正方形的面積、比較這三個(gè)正方形的面積的關(guān)系，由此得到直角三角形三邊的關(guān)系、通過(guò)對(duì)幾個(gè)特 殊例子的考察歸納出直角三角形三邊之間的一般規(guī)律，運(yùn)用自己的語(yǔ)言表達(dá)探索過(guò)程和所得結(jié)論。 2、在勾股定理的探索和驗(yàn)證過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合的思想有較多的體現(xiàn) 例如，在探索勾股定理的過(guò)程中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由正方形的面積想到；而在勾股定理的驗(yàn)證過(guò)程中, 教師又應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)想到正方形的面積. 3、

18、初步應(yīng)用結(jié)論階段的重點(diǎn)是讓學(xué)生明確：在直角三角形中，知道兩邊的長(zhǎng)度，可以求得第三邊的 長(zhǎng)度，教師應(yīng)充分利用教材讓學(xué)生體會(huì)勾股定理及其逆定理在現(xiàn)實(shí)世界中有著較為廣泛的應(yīng)用，如埃及人 利用結(jié)繩的方法作出直角，利用勾股定理求出螞蟻的最短路線等。 4、證明結(jié)論階段主要是理清思路，而不只是介紹某一種證明方法教師在教學(xué)中應(yīng)激發(fā)學(xué)生探索更多 的證明方法，注意訓(xùn)練學(xué)生書(shū)寫規(guī)范。 5、應(yīng)用結(jié)論解決實(shí)際問(wèn)題要注意強(qiáng)調(diào)兩類問(wèn)題：探索性問(wèn)題和應(yīng)用性問(wèn)題通過(guò)問(wèn)題的解決，讓學(xué)生 學(xué)會(huì)從不同角度分析問(wèn)題、解決問(wèn)題；讓學(xué)生學(xué)會(huì)引申、變更問(wèn)題，以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的創(chuàng) 造能力 例有一個(gè)邊長(zhǎng)為 50分米的正方形洞口

19、，問(wèn)用直徑為多長(zhǎng)的圓形鐵片來(lái)堵住洞 y 口？ 表面看上去這是一個(gè)有關(guān)圓的問(wèn)題。其實(shí)圓形鐵片的直徑就應(yīng)該是等腰三角形的 I 斜邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)是50分米，把它看成一個(gè)直角三角形， 然后用勾股定理，兩條直角邊的平 果: 方和等于斜邊的平方。就是 50x50+50x50=5000 ,答案是50,2=70.5 要求學(xué)生記住勾股定理， 然后對(duì)待問(wèn)題套公式， 這樣可以解決一系列的問(wèn)題 6、注重介紹數(shù)學(xué)史，凸顯數(shù)學(xué)的文化價(jià)值 7、關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的評(píng)價(jià)，對(duì)于本章的學(xué)習(xí)，除了考查勾股定理的解題應(yīng)用外，還應(yīng)該關(guān)注對(duì)學(xué) 生學(xué)習(xí)過(guò)程的評(píng)價(jià)。例如，讓學(xué)生動(dòng)手截、害U、拼、補(bǔ)，使學(xué)生參與定理的發(fā)現(xiàn)、探索、驗(yàn)證過(guò)程

20、，既能 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的直觀能力，又能體現(xiàn)教學(xué)的針對(duì)性、活動(dòng)性、開(kāi)放性與合作性。 五常見(jiàn)典型錯(cuò)誤簡(jiǎn)析 (1)如何求第三邊？ 第5頁(yè) 例1在RtAABC中，/ B = 90, a, b, c分別為三條邊，a=3, b= 4,求邊c的長(zhǎng)。 不少學(xué)生會(huì)認(rèn)為c=5,忽視了 b是斜邊這一隱含條件。 例2判斷：在^ ABC中，AC = 3, BC = 4,求AB的長(zhǎng) 不少學(xué)生會(huì)認(rèn)為 AB=5,忽視了△ ABC是直角三角形這個(gè)條件。 例3已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 5和12,求第三邊。 不少學(xué)生會(huì)認(rèn)為第三邊為 13,忽視了 12可能是直角邊也可能是斜邊。 例 4 如圖，/ A =45

21、, / B= Z D=90 , BC=1 , AD =2, 求 CD 的長(zhǎng)。 不少學(xué)生會(huì)在四邊形 ABCD里面加輔助線，破壞了已知的條件。增加了解題的難度。應(yīng)該把AB,CD邊 延長(zhǎng)，構(gòu)造出新的直角三角形，利用勾股定理解題。 (2)螞蟻怎么走最近？ 例5如圖，有一個(gè)圓柱，它的高等于 12厘米，底面半徑等于 3厘米.在圓柱的下底面 A點(diǎn)有一只螞 蟻，它想吃到上底面上與 A點(diǎn)相對(duì)的C點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是多少 ？(兀的值取3). 本題常見(jiàn)錯(cuò)誤有兩個(gè)：一是不能正確地將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，從而無(wú)法進(jìn)行求解；二是誤將圓柱側(cè)面展 第9頁(yè)

22、 (3)木板能否經(jīng)過(guò)門框？ 例6 一個(gè)門框的長(zhǎng)為 2m,寬為1m,如圖所示，一塊長(zhǎng) 3 m,寬2.2m的薄木 板能否從門框內(nèi)通過(guò)？為什么？不少學(xué)生一看此題，就會(huì)給出答案： 不能.而不知應(yīng)先利用勾股定理求出 AC的長(zhǎng)再進(jìn)行判斷。 (4)梯子底端下滑幾米？ 例7 一個(gè)3 m長(zhǎng)的才^子AB ,斜靠在一豎直的墻 AO上，這時(shí)AO的距離為 2. 5 m,如果梯子的頂端 A沿墻下滑0. 5m,那么梯子底端 B也外移0. 5嗎？ 本題學(xué)生容易錯(cuò)誤地理解為梯子的頂端 A沿墻下滑0. 5 m時(shí)， 梯子底端C向外移動(dòng)的距離是 CD ,因?yàn)樘葑拥拈L(zhǎng)度沒(méi)有改變, 認(rèn)為CD=AE ,得

23、出錯(cuò)誤解答。 （5）湖水如何知深淺？ 例8荷花問(wèn)題”：平平湖水清可當(dāng) 忙向前，花離原位一尺遠(yuǎn)；能算諸用請(qǐng)解 六中考熱點(diǎn) 勾股定理在中考數(shù)學(xué)中單獨(dú)命題考杳 程、函數(shù)、四邊形、圓以及相似形等知識(shí) 要求身。 1（2009年達(dá)州）圖『株美麗的勾股力 止方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、 A. 13 B. 26 2 （2009年濱州）如圖 3,已知△ AD = 8, 則邊BC的長(zhǎng)為（ A. 21 B. 15 C. 6 3（2009年安順）圖甲是我國(guó)古代著空 個(gè)全等的直角三角形圍成的。在 RtA 四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為 6的直角邊攻 1, 面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一

24、邊，漁人觀看 逝，湖水如何知深淺 ？”請(qǐng)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)解答這個(gè)問(wèn)題. :的選擇題和填空題相對(duì)較少，而主要是m 綜合在一起考查，靈活性強(qiáng)，涉及面廣、能力 、乙 E 對(duì)，其中所有的四邊形都是止方形， 所有的三角形都是直角三角形. 若 5、2、3,則最大正方形 E的面積是 C. 47 D. 94 【答案】C ABC 中，AB =17, AC = 10, BC 邊上的高 ） ………B/I\c D.以上答案都不對(duì) 【答案】A B D C 1的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四 ABC 中，若直角邊 AC = 6, BC=6,將 總 >別向外延長(zhǎng)一倍，得到圖乙所示的“數(shù) 卜曲

25、 學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)（圖乙中的實(shí)線）是 【答案】76 4 （2009年湖南長(zhǎng)沙）如圖，等腰△ ABC中， 若 AB 5cm, BC 6cm ,則 AD cm 5 （2009恩施市）如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為 15,5 距離為5, 一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn) （ ）A. 5>/21 B. 25 C. 10 AB AC, AD是底邊上的高， 1.［答案］4 / \ B D C 置為10,圖為20,點(diǎn)B離點(diǎn)C的 / 7 A爬到點(diǎn)B ,需要爬行的最短距離是 I；—B * 51c V5 5 D. 35【答案】B ： 20 6 （2009年濱州）某樓梯的側(cè)面

26、視圖如圖 4所示， C 90° ,因某種活動(dòng)要求鋪設(shè)紅色地毯，則在 其中 AB 4米， BAC 30° , J-4 L——15 M0 AB段樓梯所鋪地毯的長(zhǎng) P^IB C 度應(yīng)為.【答案】（2+2 與）米. 7（2009年四川省內(nèi)江市）已知RtAABC的周長(zhǎng)是4 443 , A 斜邊上的中線長(zhǎng)是 2,則Saabc =

27、【答案】8 8 （2009年宜賓）已知：如圖，以 RtAABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形. ^9 若斜邊AB= 3,則圖中陰影部分的面積為 .【答案】9. 2 DF 9 （2009年崇左）如圖，在等腰梯形 ABCD中，已知 AD//BC , AB = DC,AD =2, BC = 4,延長(zhǎng) BC 至U E,使 CE = AD. (1)證明：A BAD 0 A DCE; (2)如果AC ± BD,求等腰梯形 ABCD的高DF的值.答案 10 （09白銀市）如圖13, 4ACB和△ ECD都是等腰直角三角形，/ ACB=/ECD = 90

28、 第十八章勾股定理 18. 1勾股定理（一） 、教學(xué)目標(biāo) 1 . 了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理。 2 .培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力。 3 .介紹我國(guó)古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，促其勤奮學(xué)習(xí)。 、重點(diǎn)、難點(diǎn) 4 .重點(diǎn)：勾股定理的內(nèi)容及證明。 5 .難點(diǎn)：勾股定理的證明。 三、例題的意圖分析 例1 （補(bǔ)充）通過(guò)對(duì)定理的證明，讓學(xué)生確信定理的正確性；通過(guò)拼圖，發(fā)散學(xué)生的思

29、維，鍛煉學(xué)生的 動(dòng)手實(shí)踐能力；這個(gè)古老的精彩的證法，出自我國(guó)古代無(wú)名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，和愛(ài)國(guó) 情懷。 例2使學(xué)生明確，圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變。進(jìn)一步讓學(xué)生確信勾 股定理的正確性。 四、課堂引入 目前世界上許多科學(xué)家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多信號(hào)，如地球上人類 的語(yǔ)言、音樂(lè)、各種圖形等。我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚曾建議，發(fā)射一種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文 明人”，那么他們一定會(huì)識(shí)別這種語(yǔ)言的。這個(gè)事實(shí)可以說(shuō)明勾股定理的重大意義。尤其是在兩千年前， 是非常了不起的成就。 讓學(xué)生畫一個(gè)直角邊為 3cm和4cm的直角△

30、ABC ,用刻度尺量出 AB的長(zhǎng)。 以上這個(gè)事實(shí)是我國(guó)古代 3000多年前有一個(gè)叫商高的人發(fā)現(xiàn)的，他說(shuō)：“把一根直尺折成直角，兩段 連結(jié)得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五?！边@句話意思是說(shuō)一個(gè)直角三角形較短直角邊（勾）的 長(zhǎng)是3,長(zhǎng)的直角邊（股）的長(zhǎng)是 4,那么斜邊（弦）的長(zhǎng)是 5。 再畫一個(gè)兩直角邊為 5和12的直角△ ABC,用刻度尺量 AB的長(zhǎng)。 你是否發(fā)現(xiàn)32+42與52的關(guān)系，52+122和132的關(guān)系，即32+42=52, 52+122=132,那么就有勾2+股2=弦 2 O 對(duì)于任意的直角三角形也有這個(gè)性質(zhì)嗎？ 五、例習(xí)題分析 例1 （補(bǔ)充）已知：在^ AB

31、C中，/ C=90°，/ A、/ B、/ C的對(duì)邊 為 a、b、c。 求證：a2+b2=c2。 分析：⑴讓學(xué)生準(zhǔn)備多個(gè)三角形模型， 最好是有顏色的吹塑紙， 讓學(xué)生拼擺 不同的形狀，利用面積相等進(jìn)行證明。 ⑵拼成如圖所示，其等量關(guān)系為： 4Sa+S小『S大正 4X — ab+ ( b— a) 2=c2,化簡(jiǎn)可證。 2 ⑶發(fā)揮學(xué)生的想象能力拼出不同的圖形，進(jìn)行證明。 （4）勾股定理的證明方法，達(dá) 300余種。這個(gè)古老的精彩的證法，出自我國(guó)古代無(wú)名數(shù)學(xué)家之手。激發(fā)學(xué)生 的民族自豪感，和愛(ài)國(guó)情懷。 a b a 例2已知：在^ ABC中，/ C=90° A、/ B、/ C 的對(duì)邊

32、為 a、b、Co 求證：a2+b2=c2。 分析：左右兩邊的正方形邊長(zhǎng)相等，則兩個(gè)正方形的面積相等。 左邊 S=4X 1ab+c2 2 右邊 S= (a+b) 2 左邊和右邊面積相等，即 4X — ab+ c2= (a+b) 2 2 化簡(jiǎn)可證。 六、課堂練習(xí) 1 .勾股定理的具體內(nèi)容是： 2 .如圖，直角△ ABC的主要性質(zhì)是：/ C=90° ,(用幾何語(yǔ)言表示) ⑴兩銳角之間的關(guān)系：; ⑵若D為斜邊中點(diǎn)，則斜邊中線 ; ⑶若/ B=30° ,貝U/ B的對(duì)邊和斜邊： ; ⑷三邊之間的關(guān)系： 。 3 . △ ABC的三邊a、b、c,若滿足b2= a2+c2,

33、則=90° ;若滿足b2 >c2+a2,則/ B是 角； 若滿足b2A ABC的三邊，則 a、b,求 c) b、 c,求 a) a、c,求 b) 2 .如下表，表中所給的每行的三個(gè)數(shù) a、b、c,有a< bvc,試根據(jù)表中已有數(shù)的規(guī)律，寫出當(dāng) a=19時(shí), b, c的值，并把b、c用含a的代數(shù)式表示出來(lái)。 3、4、5 32+42=52 5、12、13 52+122=

34、132 7、 24、 25 72+242=252 9、 40、 41 92+402=412 19, b、 c 192+b2=c2 3 .在^ ABC中，/ BAC=120 ° , AB=AC= 1073 cm, 一動(dòng)點(diǎn)P從B向C以每秒2cm的速度移動(dòng)，問(wèn)當(dāng) 4.已知：如圖，在^ ABC中，AB=AC , 求證：⑴ AD2-AB 2=BD - CD D在CB的延長(zhǎng) B 線上。 P點(diǎn)移動(dòng)多少秒時(shí)，PA與腰垂直。 課后反思: ⑵若D在CB上，結(jié)論如何，試證明你的結(jié)論。 八、參考答案 課堂練習(xí) 1 .略； 2 .⑴/ A+/B=90° ;⑵ CD=1AB

35、;⑶ AC=1AB;⑷ AC2+BC2=AB 2。 3 . 3 B,鈍角, 銳角; 4 .提示：因?yàn)? S 梯形 ABCD = S^ABE+ S^BCE+ $△ EDA ,又因?yàn)?S 梯形 ACDG = g (a+b) 2, 1 SABCE= Sa EDA = — at), 2 1 2 Saabe = — c2, 2 c 1 (a+b) 2=2x 一 2 ab+ -c2o 2 課后練習(xí) 1. .⑴ c= . b2 ⑵ a= , b2 c2 ⑶ b= c2 a2 2 2 a b 2. c b 則 b,j, 2 2 a c=— 1 一， 一；當(dāng)

36、 a=19 時(shí)，b=180, c=181。 3. 5秒或 10秒。 4 .提示：過(guò)A作AEXBC于E。 18. 1 勾股定理（二） 第13頁(yè) -、教學(xué)目標(biāo) 1 .會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。 2 .樹(shù)立數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論思想。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1 .重點(diǎn)：勾股定理的簡(jiǎn)單計(jì)算。 2 .難點(diǎn)：勾股定理的靈活運(yùn)用。 三、例題的意圖分析 例1 （補(bǔ)充）使學(xué)生熟悉定理的使用，剛開(kāi)始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的 關(guān)系。讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。并學(xué)會(huì)利用不同的條件轉(zhuǎn)化為已知 兩邊求第三邊。 例2 （補(bǔ)充）讓學(xué)生注

37、意所給條件的不確定性，知道考慮問(wèn)題要全面，體會(huì)分類討論思想。 例3 （補(bǔ)充）勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要?jiǎng)?chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造 直角三角形的輔助線做法。讓學(xué)生把前面學(xué)過(guò)的知識(shí)和新知識(shí)綜合運(yùn)用，提高綜合能力。 四、課堂引入 復(fù)習(xí)勾股定理的文字?jǐn)⑹?；勾股定理的符?hào)語(yǔ)言及變形。學(xué)習(xí)勾股定理重在應(yīng)用。 五、例習(xí)題分析 例 1 （補(bǔ)充）在 RtAABC , / C=90° ⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2,求bo ⑶已知c=17,b=8,求a。 ⑷已知 a： b=1: 2,c=5,求 a。 ⑸已知 b=15, /A=30 ° ,求 a, c。

38、分析：剛開(kāi)始使用定理，讓學(xué)生畫好圖形，并標(biāo)好圖形，理清邊之間的關(guān)系。⑴已知兩直角邊，求斜 邊直接用勾股定理。⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一邊和兩 邊比，求未知邊。通過(guò)前三題讓學(xué)生明確在直角三角形中，已知任意兩邊都可以求出第三邊。后兩題讓學(xué) 生明確已知一邊和兩邊關(guān)系，也可以求出未知邊，學(xué)會(huì)見(jiàn)比設(shè)參的數(shù)學(xué)方法，體會(huì)由角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系的 轉(zhuǎn)化思想。 則此題可解。 例2 （補(bǔ)充）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 5和12,求第三邊。 分析：已知兩邊中較大邊 12可能是直角邊，也可能是斜邊，因此應(yīng)分兩種情況 分別進(jìn)形計(jì)算。讓學(xué)生知道考慮問(wèn)題要全面，體會(huì)分類討論思想

39、。 例3 （補(bǔ)充）已知：如圖，等邊△ ABC的邊長(zhǎng)是6cm。 ⑴求等邊^(qū) ABC的高。 ⑵求Sa ABC o 分析：勾股定理的使用范圍是在直角三角形中，因此注意要 創(chuàng)造直角三角形，作高是常用的創(chuàng)造直角三角形的輔助線做 法。欲求高 CD,可將其置身于 RtAADC或RtABDC中， 但只有一邊已知，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，可求 AD=CD= - AB=3cm , 2 六、課堂練習(xí) 1 .填空題 ⑴在 RtAABC , /C=90° , a=8, b=15,貝U c=。 ⑵在 RtAABC , / B=90° , a=3, b=4,貝U c=。 ⑶在 RtAABC ,

40、 /C=90° , c=10, a： b=3: 4,貝U a=, b= ⑷一個(gè)直角三角形的三邊為三個(gè)連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長(zhǎng)分別為 ⑸已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為 3cm和5cm,,則第三邊長(zhǎng)為 ⑹已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為 2cm,則它的高為 ,面積為 。 2 .已知：如圖，在^ ABC 中，/ C=60° , AB= 473 , AC=4 , AD 是 BC 邊上的高，求BC的長(zhǎng)。 3 .已知等腰三角形腰長(zhǎng)是 10,底邊長(zhǎng)是16,求這個(gè)等腰三角形的面積。 七、課后練習(xí) 1 .填空題 在 RtAABC , / C=90° , ⑴如果 a=7, c=25,貝U b=。 ⑵如果

41、/ A=30 ° , a=4,貝U b=。 ⑶如果/ A=45 ° , a=3,貝U c=。 ⑷如果 c=10, a-b=2,貝U b=。 ⑸如果a、b、c是連續(xù)整數(shù)，則 a+b+c=。 ⑹如果 b=8, a： c=3： 5,貝U c=。 2 .已知：如圖，四邊形 ABCD中，AD//BC, AD ± DC , AB LAC, / B=60° , CD=1cm ,求 BC 的長(zhǎng)。 課后反思: 八、參考答案 課堂練習(xí) 1. 17; 77; 6, 8; 6, 8, 10; 4 或 V34; 芯,33 ; 2. 8; 3. 48。 課后練習(xí) 2. 1. 24; 473 ;

42、3 J2 ; 6; 12; 10; 、教學(xué)目標(biāo) 1 .會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。 2 .樹(shù)立數(shù)形結(jié)合的思想。 、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1 .重點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用。 2 .難點(diǎn)：實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。 三、例題的意圖分析 例1 （教材P74頁(yè)探究1）明確如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，注意條件的轉(zhuǎn)化; 知識(shí)、思想、方法解決實(shí)際問(wèn)題。 例2 （教材P75頁(yè)探究2）使學(xué)生進(jìn)一步熟練使用勾股定理，探究直角三角形三 邊的關(guān)系：保證一邊不變，其它兩邊的變化。 四、課堂引入 勾股定理在實(shí)際的生產(chǎn)生活當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用。勾股定理的發(fā)現(xiàn)和使用解決 了許多生活中的問(wèn)題，今天我們就來(lái)運(yùn)用勾股定

43、理解決一些問(wèn)題，你可以嗎？試一 試。 五、例習(xí)題分析 學(xué)會(huì)如何利用數(shù)學(xué) 例1 （教材P74頁(yè)探究1） 分析：⑴在實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，注意勾股定理的使用條件，即門框?yàn)殚L(zhǎng)方形，四個(gè)角都是 直角。⑵讓學(xué)生深入探討圖中有幾個(gè)直角三角形？圖中標(biāo)字母的線段哪條最長(zhǎng)？⑶指出薄木板在數(shù)學(xué)問(wèn)題 ⑸注意給學(xué)生 例2 （教材P75頁(yè)探究2） 分析：⑴在△ AOB中，已知 ⑵在ACOD中，已知 則BD=OD —OB,通過(guò)計(jì)算可知 AB=3 , AO=2.5 ,利用勾股定理計(jì)算 CD=3, CO=2,利用勾股定理計(jì)算 OD。 BDWAC。 OB 。 ⑶進(jìn)一步讓學(xué)生探究 AC和BD的關(guān)系

44、，給AC不同的值，計(jì)算 BD。 六、課堂練習(xí) 1 .小明和爸爸媽媽十一登香山，他們沿著 45度的坡路走了 500米, 離地面的高度是 米。 看到了一棵紅葉樹(shù)，這棵紅葉樹(shù)的 4^3米，則這兩株樹(shù)之間的垂直距離是 2.如圖，山坡上兩株樹(shù)木之間的坡面距離是 3.如圖，一根12米高的電線桿兩側(cè)各用 4題圖 15米的鐵絲固定，兩個(gè)固定點(diǎn)之間的距離是 中忽略厚度，只記長(zhǎng)度，探討以何種方式通過(guò)？⑷轉(zhuǎn)化為勾股定理的計(jì)算，采用多種方法。 小結(jié)深化數(shù)學(xué)建模思想，激發(fā)數(shù)學(xué)興趣。 18. 1勾股定理（三） 第15頁(yè) 4.如圖，原計(jì)劃從 A地經(jīng)C地到B地修建一條高速公

45、路，后因技術(shù) 攻關(guān)，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造價(jià)為 300萬(wàn)元，隧道總長(zhǎng)為 2公里，隧道造價(jià)為 500萬(wàn)元，AC=80公里，BC=60公里，則改建后可省工程費(fèi)用 是多少？ 七、課后練習(xí) 1 .如圖，欲測(cè)量松花江的寬度， 沿江岸取B、C兩點(diǎn)，在江對(duì)岸取一點(diǎn) A,使AC垂直江岸，測(cè)得BC=50 米， ZB=60° ,則江面的寬度為 。 2 .有一個(gè)邊長(zhǎng)為 1米正方形的洞口，想用一個(gè)圓形蓋去蓋住這個(gè)洞 口，則圓形蓋半徑至少為 米。 3 . 一根32厘米的繩子被折成如圖所示的形狀釘在 P、Q兩點(diǎn)，PQ=16 厘米，且 RPL PQ 則RQ=厘米。 4 .如圖

46、，鋼索斜拉大橋?yàn)榈妊切危?支柱高24米，/ B= / C=30° , E、F分別為BD、CD中點(diǎn)，試求B、C兩點(diǎn)之間的距離，鋼索 AB和 AE的長(zhǎng)度。 （精確到1米） 課后反思: 八、參考答案： 課堂練習(xí)： 1. 250拒； 2. 6, 243 3. 18 米； 4. 11600; 課后練習(xí) … 2 1. 50 V 3 米； 2.—; 3. 20; 4. 83 米，48 米，32 米; 18. 1勾股定理（四） 一、教學(xué)目標(biāo) 1 .會(huì)用勾股定理解決較綜合的問(wèn)題。 2 .樹(shù)立數(shù)形結(jié)合的思想。 二、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1 .重點(diǎn)：勾股定理的綜合應(yīng)用。 2 .難點(diǎn)：

47、勾股定理的綜合應(yīng)用。 三、例題的意圖分析 例1 （補(bǔ)充）“雙垂圖”是中考重要的考點(diǎn)，熟練掌握“雙垂圖”的圖形結(jié)構(gòu)和圖形性質(zhì)，通過(guò)討論、 計(jì)算等使學(xué)生能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識(shí)點(diǎn)有： 3個(gè)直角三角形，三個(gè)勾股定理及推導(dǎo) 式BC2-BD2=AC2-AD2,兩對(duì)相等銳角，四對(duì)互余角，及 30。或45。特殊角的特殊性質(zhì)等。 例2 （補(bǔ)充）讓學(xué)生注意所求結(jié)論的開(kāi)放性，根據(jù)已知條件，作適當(dāng)輔助線求出三角形中的邊和角。讓 學(xué)生掌握解一般三角形的問(wèn)題常常通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題。使學(xué)生清楚作輔助線不能破壞已知 角。 例3 （補(bǔ)充）讓學(xué)生掌握不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形

48、求解，本題通過(guò)將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角 形的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中注意條件的合理運(yùn)用。讓學(xué)生把前面學(xué) 過(guò)的知識(shí)和新知識(shí)綜合運(yùn)用，提高解題的綜合能力。 例4 （教材P76頁(yè)探究3）讓學(xué)生利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無(wú)理數(shù)點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)軸上 的點(diǎn)與實(shí)數(shù) 對(duì)應(yīng)的理論。 四、課堂引入 復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容。本節(jié)課探究勾股定理的綜合應(yīng)用。 五、例習(xí)題分析 例 1 （補(bǔ)充）1.已知：在 Rt^ABC 中，/C=90° , CD^BC 于 D, Z A=60 ° , CD= J3 , 求線段AB的長(zhǎng)。 分析：本題是“雙垂圖”的計(jì)算題，“雙垂圖”是中考重要的考點(diǎn)

49、，所以要求學(xué)生對(duì)圖形及性質(zhì)掌握非常 熟練，能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識(shí)點(diǎn)有： 3個(gè)直角三角形, C A B 三個(gè)勾股定理及推導(dǎo)式 BC2-BD2=AC2-AD2,兩對(duì)相等銳角，四對(duì)互余角，及 30°或45°特殊角的特殊性質(zhì)等。 要求學(xué)生能夠自己畫圖，并正確標(biāo)圖。引導(dǎo)學(xué)生分析：欲求 AB ,可由 AB=BD+CD ,分別在兩個(gè)三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 BD=3和 ad=1。或欲求 ab,可由ab Jac2 bc2 ,分別在兩個(gè)三角形中利用勾 股定理和特殊角，求出 AC=2和BC=6。 例 2 （補(bǔ)充）已知：如圖，△ ABC 中，AC=4 , / B=4

50、5° , / A=60 ° 根據(jù)題設(shè)可知什么？ 分析：由于本題中的△ ABC不是直角三角形，所以根據(jù)題設(shè)只能直接求得/ ACB=75。。在學(xué)生充分思考和討論后，發(fā)現(xiàn)添置 AB邊上的高這條輔助線, 就可以求得 AD , CD, BD , AB, BC及S”bc。讓學(xué)生充分討論還可以作其 它輔助線嗎？為什么？ 小結(jié)：可見(jiàn)解一般三角形的問(wèn)題常常通過(guò)作高轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題。 并指出如何作輔助線？ 解略。 例 3（補(bǔ)充）已知：如圖，/B=/D=90° , /A=60° , AB=4 , CD=2。 求：四邊形ABCD的面積。 分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié) AC,或

51、延長(zhǎng) AB、DC交于F,或延長(zhǎng) AD、BC交 于E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種， 進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡(jiǎn)單。 教學(xué)中要逐層展示給學(xué) 生，讓學(xué)生深入體會(huì)。 解：延長(zhǎng)AD、BC交于E。 ?. /A=/60° , Z B=90 ° , . E=30° 。 AE=2AB=8 , CE=2CD=4 , BE2=AE 2-AB 2=82-42=48, BE= <48 =4用。 d DE2= CE2-CD2=42-22=12，.= DE= 7T2 = 2V3 。 S 四邊形 ABCD =SaaBE-SacDE = 小結(jié)：不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過(guò)將圖

52、形轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法，把四 邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差。 例4 （教材P76頁(yè)探究3） 分析：利用尺規(guī)作圖和勾股定理畫出數(shù)軸上的無(wú)理數(shù)點(diǎn)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)的理論。 變式訓(xùn)練：在數(shù)軸上畫出表示 忑3 1,2 J2的點(diǎn)。 六、課堂練習(xí) 1 . △ ABC 中，AB=AC=25cm ,高 AD=20cm,則 BC=, S*bc=。 2 . △ ABC 中，若/ A=2/B=3/C, AC= 273 cm,則/ A=度，/ B=度，/C= 度, BC=, S/\ ABC =o 3 . AABC 中，/ C=90° , AB=4 , BC= 2 上,CD± AB

53、于 D,則 AC= CD=, BD=, AD=Sabc =。 4 .已知：如圖，△ ABC 中，AB=26 , BC=25 , AC=17 , 求 Saabc。 七、課后練習(xí) 1 .在 RtAABC 中，/ C=90 2.在 RtAABC 中，/ C=90 ,CD，BC 于 D, / A=60 ° , ,Saabc =30, c=13,且 avb, CD= V3 , AB=。 貝 U a=, b= 第19頁(yè) 5 .已知：如圖，在^ ABC 中，/ B=30° , / C=45° , AC= 272 , 求（1） AB 的長(zhǎng)；（2） Sa ABC。 6 .在數(shù)軸上

54、畫出表示一癡,我 J5的點(diǎn)。 課后反思: 八、參考答案： 課堂練習(xí)： 1. 30cm, 300cm2； 2. 90, 60, 30, 4, 2V3； 3. 2,8,3, 1, 243; 4,作 BDXAC 于 D,設(shè) AD=x ,貝U CD=17-x, 252-x2=262- (17-x) 2, x=7 , BD=24 , 1 Saabc= — AC - BD=254 ; 2 課后練習(xí)： 1. 4; 2. 5, 12; 3,提示：作 AD ±BC 于 D, AD=CD=2 , AB=4 , BD= 273 , BC=2+ 2V3 ,字abc= =2+ 2y3 ；

55、4. 略。 18. 2勾股定理的逆定理（一） 、教學(xué)目標(biāo) 1 .體會(huì)勾股定理的逆定理得出過(guò)程，掌握勾股定理的逆定理。 2 .探究勾股定理的逆定理的證明方法。 3 .理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。 、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1 .重點(diǎn)：掌握勾股定理的逆定理及證明。 2 .難點(diǎn)：勾股定理的逆定理的證明。 三、例題的意圖分析 例1 （補(bǔ)充）使學(xué)生了解命題，逆命題，逆定理的概念，及它們之間的關(guān)系。 例2 （P82探究）通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求 知欲，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，再通過(guò)探究理論證明方法，使實(shí)踐上升到理論，提高學(xué)生的理性思

56、維。 例3 （補(bǔ)充）使學(xué)生明確運(yùn)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判 斷那條邊最大。②分別用代數(shù)方法計(jì)算出 a2+b2和c2的值。③判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角 三角形；若不相等，則不是直角三角形。 四、課堂引入 創(chuàng)設(shè)情境：⑴怎樣判定一個(gè)三角形是等腰三角形? ⑵怎樣判定一個(gè)三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定進(jìn)行對(duì)比，從勾股定理的逆命題進(jìn) 行猜想。 五、例習(xí)題分析 例1 （補(bǔ)充）說(shuō)出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？ ⑴同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩條直線平行。 ⑵如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么兩個(gè)實(shí)數(shù)平方相等。 ⑶線段垂直平分線上

57、的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。 ⑷直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。 分析：⑴每個(gè)命題都有逆命題，說(shuō)逆命題時(shí)注意將題設(shè)和結(jié)論調(diào)換即可，但要分清題設(shè)和結(jié)論，并注 意語(yǔ)言的運(yùn)用。 ⑵理順?biāo)麄冎g的關(guān)系，原命題有真有假，逆命題也有真有假，可能都真，也可能一真一假，還可能 都假。 解略。 例2（P82探究）證明：如果三角形的三邊長(zhǎng) a,b,c滿足a2+b2=c2, 那么這個(gè)三角形是直角三角形。 分析：⑴注意命題證明的格式，首先要根據(jù)題意畫出圖形，然后寫 已知求證。 ⑵如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形， 現(xiàn)在只知道若有一個(gè)角 是直角的三角形是直角三角形， 從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何

58、判斷一個(gè)角 是直角。 ⑶利用已知條件作一個(gè)直角三角形，再證明和原三角形全等， 使問(wèn)題得以解決。 ⑷先做直角，再截取兩直角邊相等，利用勾股定理計(jì)算斜邊 A1B〔=c,則通過(guò)三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角 形全等可證。 ⑸先讓學(xué)生動(dòng)手操作，畫好圖形后剪下放到一起觀察能否重合，激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，再探究理 論證明方法。充分利用這道題鍛煉學(xué)生的動(dòng)手操作能力，由實(shí)踐到理論學(xué)生更容易接受。 證明略。 例 3 （補(bǔ)充）已知：在^ ABC 中，/ A、/ B、/ C 的對(duì)邊分別是 a、b、c, a=n2- 1, b=2n, c=n2+1 (n>1) 求證：/ C=90 。 分析：⑴運(yùn)用勾股定理

59、的逆定理判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷那條邊最大。 ②分別用代數(shù)方法計(jì)算出 a2+b2和c2的值。③判斷a2+b2和c2是否相等，若相等，則是直角三角形；若不相 等，則不是直角三角形。 ⑵要證/ C=90。，只要證△ ABC是直角三角形，并且c邊最大。根據(jù)勾股定理的逆定理只要證明 a2+b2=c2 即可。 ⑶由于 a2+b2= (n2—1) 2+ (2n) 2=n4 + 2n2+1, c2= (n2+1) 2= n4+2n2+1,從而 a2+b2=c2,故命題 獲證。 六、課堂練習(xí) 1 .判斷題。 ⑴在一個(gè)三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這

60、條邊所對(duì)的角是直角。 ⑵命題：“在一個(gè)三角形中，有一個(gè)角是 30。，那么它所對(duì)的邊是另一邊的一半?！钡哪婷}是真命 題。 ⑶勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 (4)A ABC的三邊之比是1: 1: 四,則△ ABC是直角三角形。 2 . △ ABC中/A、/B、/ C的對(duì)邊分別是 a、b、c,下列命題中的假命題是( ) A.如果/ C —/B=/A,則4ABC是直角三角形。 B.如果c2= b2-a2,則△ ABC是直角三角形，且/ C=90°。 C.如果(c + a) ( c- a) =b2,則△ ABC是直角三角形。 D

61、.如果/ A : /B: /C=5: 2: 3,則4ABC是直角三角形。 3 .下列四條線段不能組成直角三角形的是( ) A. a=8, b=15, c=17 B. a=9, b=12, c=15 C. a= v'5 , b= V3 , c= v2 D. a： b： c=2： 3: 4 4 .已知：在^ ABC中，/ A、/B、/C的對(duì)邊分別是a、b、c,分別為下列長(zhǎng)度，判斷該三角形是否是 直角三角形？并指出那一個(gè)角是直角？ (1) a= 33 , b= 2 < 2 , c=痣； ⑵ a=5, b=7 , c=9; ⑶a=2, b= V3 , c= 71 ; ⑷a=5, b=2

62、d6 , c=1。 七、課后練習(xí)， 1 .敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確。 ⑴如果a3>0,那么a2>0; ⑵如果三角形有一個(gè)角小于 90。，那么這個(gè)三角形是銳角三角形； ⑶如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等； ⑷關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩條線段一定相等。 2 .填空題。 ⑴任何一個(gè)命題都有,但任何一個(gè)定理未必都有 。 ⑵“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等?！钡哪娑ɡ硎?。 ⑶在△ ABC中，若a2=b2-c2,則4ABC是 三角形，是直角； 第27頁(yè) 若 a2vb2—c2,則/ B 是。 ⑷若在△ ABC 中，a=m2— n2, b=2mn , c= m2+n

63、2,則△ ABC 是 三角形。 3.若三角形的三邊是 ⑴1、/3、 ⑸(m + n) 2— 1, 2 (m + n), 1 1 1 c c c 2; ⑵一，一,一； ⑶32, 42, 52 (4)9, 40, 3 4 5 41； （m+n） 2+1;則構(gòu)成的是直角三角形的有（ A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè) D. 5個(gè) 4.已知：在^ ABC中，/ A、/ B、/C的對(duì)邊分別是 a、b、c,分別為下列長(zhǎng)度，判斷該三角形是否 是直角三角形？并指出那一個(gè)角是直角? ⑴a=9, b=41, c=40; ⑵a=15, b=16, c=6; ⑷a=5

64、k, b=12k, c=13k (k>0)。 課后反思: 八、參考答案： 課堂練習(xí)： 1.對(duì)，錯(cuò)，錯(cuò)，對(duì)； 2. D; 3. D; 4.⑴是，/ B;⑵不是；⑶是，/ C;⑷是，/ Ao 課后練習(xí)： 1 .⑴如果a2>0,那么a3>0;假命題。 ⑵如果三角形是銳角三角形，那么有一個(gè)角是銳角；真命題。 ⑶如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等；假命題。 ⑷兩條相等的線段一定關(guān)于某條直線對(duì)稱；假命題。 2 .⑴逆命題，逆定理；⑵內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；⑶直角，/ B,鈍角；⑷直角。 3 . B 4.⑴是，/ B;⑵不是，；⑶是，/ C;⑷是，/ Co 18. 2

65、勾股定理的逆定理（二） 、教學(xué)目標(biāo) 1 .靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問(wèn)題。 2 .進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。 、重點(diǎn)、難點(diǎn) 1 .重點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問(wèn)題。 2 .難點(diǎn)：靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實(shí)際問(wèn)題。 三、例題的意圖分析 例1 （P83例2）讓學(xué)生養(yǎng)成利用勾股定理的逆定理解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。 QPR=90° ; 例2 （補(bǔ)充）培養(yǎng)學(xué)生利用方程思想解決問(wèn)題，進(jìn)一步養(yǎng)成利用勾股定理的逆 定理解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)。 四、課堂引入 創(chuàng)設(shè)情境：在軍事和航海上經(jīng)常要確定方向和位置，從而使用一些數(shù)學(xué)知識(shí)和 數(shù)學(xué)方法。 五、例習(xí)題分析

66、 例 1 （P83 例 2） 分析：⑴了解方位角，及方位名詞； ⑵依題意畫出圖形； QR=30 ; ⑶依題意可得 PR=12X 1.5=18, PQ=16X1.5=24, ⑷因?yàn)?42+182=302, PQ2+PR2=QR2,根據(jù)勾股定理 的逆定理，知/ ⑸ / PRS=/QPR-/QPS=45°。 小結(jié)：讓學(xué)生養(yǎng)成“已知三邊求角，利用勾股定理的逆定理”的意識(shí)。 例2 （補(bǔ)充）一根30米長(zhǎng)的細(xì)繩折成 3段，圍成一個(gè)三角形，其中一條邊的長(zhǎng)度比較短邊長(zhǎng) 7米，比 較長(zhǎng)邊短1米，請(qǐng)你試判斷這個(gè)三角形的形狀。 分析：⑴若判斷三角形的形狀，先求三角形的三邊長(zhǎng)； ⑵設(shè)未知數(shù)列方程，求出三角形的三邊長(zhǎng) 5、12、13; ⑶根據(jù)勾股定理的逆定理，由 52+122=132,知三角形為直角三角形。 解略。 六、課堂練習(xí) 1 .小強(qiáng)在操場(chǎng)上向東走 80m后，又走了 60m,再走100m回到原地。小強(qiáng)在 操場(chǎng)上向東走了 80m后，又走60m的方向是。 2 .如圖，在操場(chǎng)上豎直立著一根長(zhǎng)為 2米的測(cè)影竿，早晨測(cè)得它的影長(zhǎng)為 4 B D A 米，中午測(cè)得它的影長(zhǎng)為 1米，則A