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1、“創(chuàng)造”的教與學(xué)一一《能被 9整除數(shù)的特征》教學(xué)案例
義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程,不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點,更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心 理規(guī)律,強調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā), 讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進
行解釋與應(yīng)用的過程,進而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)的理解, 增進學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。 學(xué)
習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實行“再創(chuàng)造”, 也就是由學(xué)生本人把要學(xué)的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)
造出來;教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學(xué)生去進行這種再創(chuàng)造的工作, 而不是把現(xiàn)成的知識灌輸
給學(xué)生。 一、“創(chuàng)造”的教 數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和 [
已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,
2、向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的
機會,幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、 數(shù)
學(xué)思想和方法,獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作 者。 教材中對于“能被3整除數(shù)的特征”的歸納是通過找余數(shù)與這個數(shù)數(shù)位上 一
的數(shù)字之間的關(guān)系來進行總結(jié)的,而任意一個自然數(shù)除以 3只有余數(shù)0、1、2這三種情況。
在教學(xué)過程中,學(xué)生很難通過余數(shù)發(fā)現(xiàn)與自然數(shù)的數(shù)位上數(shù)字的關(guān)系。 因此,教師想到了如
果先研究“能被9整除數(shù)的特征”的特征呢?任意一個自然數(shù)除以 9有余數(shù)0、1、2、……6、
7、8九種情況,與所研究的自然數(shù)的數(shù)位上的數(shù)字更容易建立關(guān)系,
3、有利于學(xué)生的觀察與 理解。 雖然“能被9整除的數(shù)的特征”是教材中沒有涉及的部分,但是卻能很好
的幫助學(xué)生通過借助能被 9整除數(shù)的特征,以及3和9之間的關(guān)系,去理解能被3整除數(shù)的 特征。分散了知識點的難度,同時也滲透了知識間的內(nèi)在聯(lián)系。 二、“創(chuàng)造”的
學(xué) 《新課程標(biāo)準(zhǔn)》提出:“動手實踐,自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要
方式。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)是一個活潑的、 主動的和富有個性的過程”。這一理念不僅告訴我們
創(chuàng)新意識和實踐能力緊密想隨,而且要使學(xué)生的探索經(jīng)歷和獲取新發(fā)現(xiàn)的體驗成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí) 的重要途徑。 1. 設(shè)“井”激趣 數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)方式不能再是單一的、 枯燥的,以被動聽講
和練習(xí)為主
4、的方式,它應(yīng)該是一個充滿生命力的過程。 【片斷一】出示:87602860、51001758、
65064345、85992639師:老師這里有幾位同學(xué)家的電話號碼。問:每個電話號碼都是一個 二|
八位數(shù),這四個數(shù)中哪些能被 2整除?你怎么判斷的?哪些能被 5整除?判斷的依據(jù)是什
么? 生答:87602860、51001758能被2整除,個位上是 0、2、4、6、8的數(shù)能被2整除; 87602860、65064345這兩個數(shù)能被5整除,個位上是 0或5的數(shù)能被5整除。問:哪些數(shù) 能被9整除呢?你有什么辦法嗎?生: ① 看個位,認(rèn)為85992639能被9整除。② 算, 可以口算、筆算,大數(shù)目
5、可以用計算器幫助。 ③ 各數(shù)位上的數(shù)字和能否被 9整除 師:
同學(xué)們說了這么多種發(fā)法, 那就用你們想到的方法來找找看哪些數(shù)能被 9整除。 生:
對這四個數(shù)進行驗證, 得出51001758能被9整除。 交流想法:能被9整除的數(shù)看個
位是不成立的,85992639不能被9整除;如果身邊沒有計算工具,算起來很不方便;如果 二| 各數(shù)位上的數(shù)字和能被 9整除,這個數(shù)就能被 9整除。這個方法比較好,很快捷。生質(zhì)疑: 看“各數(shù)位上的數(shù)字和能否被 9整除”這個方法對于每個數(shù)都成立成立嗎?為什么成立
呢? 在課上,同學(xué)們受“能被 2或5整除數(shù)的特征”經(jīng)驗的影響,在驗證、
討論的過程中,許多不正確的結(jié)
6、論被一一否定, 而只留下把“各數(shù)位上的數(shù)字相加求和, 看
和與9的關(guān)系”的方法。這個方法學(xué)生們找不到反例, 但又迫切的想了解為什么?這樣不僅
抑制了前面所學(xué)知識的負(fù)遷移,同時又激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。 當(dāng)學(xué)生意識到了一
“各數(shù)位上的數(shù)字相加求和, 看和與9的關(guān)系”這個方法時, 發(fā)現(xiàn)、解決問題的過程就有了
目標(biāo),為最終問題的解決提供一個可能的方向。 創(chuàng)設(shè)問題情境,把靜態(tài)的知識結(jié)論轉(zhuǎn)化為動
態(tài)的探索對象,使學(xué)生在經(jīng)歷類似于數(shù)學(xué)家的探索創(chuàng)造過程中, 激發(fā)探索意識,養(yǎng)成探索習(xí)一
慣,提高再創(chuàng)造的能力。 2. 追根溯源 學(xué)學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是有學(xué)生自
己去發(fā)現(xiàn)。因為這種發(fā)現(xiàn),理解最深,也最
7、容易掌握其中的內(nèi)在規(guī)律聯(lián)系?!?讓學(xué)生自己
去體驗,用自己的思維方式去探究, 這就是一個再創(chuàng)造的過程。 如果離開了學(xué)生的學(xué)習(xí)活動,
學(xué)生的發(fā)展就會落空。 判斷一個數(shù)能否被 9整除,不能只從一個數(shù)的某一位
上的數(shù)來判斷,必須把這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)相加求和, 如果和能被9整除,這個數(shù)就能被
9整除。這一結(jié)論與能被 2、5整除的數(shù)的特征相比而言不容易被發(fā)現(xiàn),不容易理解。因此, 就把重點放在了 “說理”上,不僅要使學(xué)生知其然,還要使他們知其所以然。 在
分析推理能被9整除的數(shù)的特征的過程中, 充分重視學(xué)生的年齡、 心理特點,利用他們已有
的知識基礎(chǔ),分層次逐步進行研究。 【片斷二】⑴先引領(lǐng)
8、學(xué)生集體先對整十?dāng)?shù)和整百數(shù)進行
分析,找出整十?dāng)?shù)與 9、整百數(shù)與99的關(guān)系,作為認(rèn)識任意自然數(shù)能否被 9整除數(shù)的特征]
的基礎(chǔ)和突破口;問:10能被9整除嗎?你怎么知道的? 20、30呢?答:10+9=「-1,所
以10不能被9整除,可以把10寫成10=9X 1 + 1。20+9=2…2,所以20不能被9整除,可 以把20寫成20=9X 2+2。30-9=3- -3,所以30不能被9整除,可以把30寫成30=9X 3+3。 生發(fā)現(xiàn):①整十?dāng)?shù)都可以寫成 9乘幾加幾的形式。 ②余數(shù)正好是
整十?dāng)?shù)十位上的數(shù)。 問:那判斷整十?dāng)?shù)能否被 9整除有更簡單的方法嗎?答: 直接看整十?dāng)?shù)
十位上的數(shù)字
9、。過渡:整十?dāng)?shù)能否被 9整除的我們會了,那整百數(shù)呢? 問:100能被9整
除嗎? 2000呢?你又發(fā)現(xiàn)了什么?答:100不能被9整除,因為100+9=11…1,所以100 去掉1個99還余1。100可以寫成99X1 + 1。200不能被9整除,因為200+9=22…2,所 以200去掉2個99還余2。200可以寫成99X2+2。發(fā)現(xiàn):余數(shù)與整百數(shù)百位上的數(shù)字相同。 問:要很快的判斷出整百數(shù)能被否被 9整除看什么?生:看整百數(shù)的百位就可以了。 ⑵再
小組合作把幾百幾十的數(shù)變成幾個百、 幾個十的組合形式, 與9和99建立聯(lián)系,分散難點,
初步歸納能被9整除數(shù)的特征;問:100能被9整除嗎?
10、80能被9整除嗎? 180呢?你能用 前面的知識,小組合作研究為什么嗎?小組探究:因為, 180 100 =
99X1 + 1
80 =
9X8 + 8
能被9整除 1+8 = 9能被9整除 所以,180能被9整
除。 發(fā)現(xiàn):余數(shù)和與這個數(shù)的數(shù)位上的數(shù)字和是相同的,所以可以看這個數(shù)的數(shù)位
上的數(shù)字和。 ⑶最后當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種暗含的關(guān)系后, 他們可以把任意一個自然數(shù)變成由幾
個百、幾個十、幾個一的組合形式,與 9和99建立聯(lián)系,重視學(xué)生從具體到抽象,從一般 中概括推力出結(jié)論的能力的培養(yǎng)。問:這有一個三位數(shù) 216,你能馬上判斷出它能被 9整除
嗎?怎么判斷的?答:能。 2+1+6=
11、9能被9整除,216能被9整除。通過觀察拆分之后的余
數(shù),學(xué)生發(fā)現(xiàn)余數(shù)和與所給數(shù)的數(shù)位上的數(shù)字和相同, 所以可以直接看所給數(shù)的各個數(shù)位上
的數(shù)字和能否被9整除。在這節(jié)課結(jié)束的時候, 學(xué)生根據(jù)自己的理解、 用自己的語言歸納出
了 “能被9整除的數(shù)的特征”。 課上學(xué)生有了充分的從事數(shù)學(xué)活動的時間和
空間,在自主探索、親身實踐、合作交流的氛圍中,解除困惑,更清楚的明確自己的思想, 并有機會分享自己和他人的想法, 在親身體驗和探索中認(rèn)識數(shù)學(xué), 解決問題,理解和掌握基
本的數(shù)學(xué)知識、技能和方法。在合作交流、與人分享和獨立思考的氛圍中,傾聽、質(zhì)疑、說 明、推廣而直至感到豁然開朗。