《初中數(shù)學(xué)全等三角形輔助線技巧》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《初中數(shù)學(xué)全等三角形輔助線技巧（18頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、例1:如圖，A AB久等腰直角三角形，/ BAC=90 , BD￥分/ ABC交AC于點(diǎn) D, CE垂直于BD,交BD的延長線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE 反 思路分析： 1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用 2）解題思路：要求證BD=2CE,可用加倍法，延長短邊，又因?yàn)橛?BD平 分/ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來。 解答過程： 證明：延長 BA, CE交于點(diǎn)F,在 A BE橋口 A BEC中， ? ? / 1=/2, BE=BE , / BEF= / BEC=90° , ? ??A BEF^ A BEC, EF=EC ,從而 CF=2C

2、E。 又/ 1+/F= /3+/ F=90 ° ,故/ 1=/3。 在 A ABD 和 A AC葉，?. / 1=/3, AB=AC , / BAD= / CAF=90 ° , ? ?.A AB*A ACF, .BD=CF ,「. BD=2CE。 解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng) 用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識點(diǎn)和不同知識領(lǐng)域的聯(lián)系， 為同學(xué)們開拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊(yùn)含著化 歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問題的關(guān)鍵。 (2)若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu) 造全等三角形，利用的思

3、維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。 例2:如圖，已知 A ABC^, AD是/ BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：A ABC 是等腰三角形。 思路分析： 1)題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。 2)解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、中位線等 條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了 AD又是BC邊上的中線這一條件，而 且要求證AB=AC ,可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。 解答過程： 證明：延長 AD至ij E ,使DE=AD ,連接BE。 又因?yàn)锳D是BC邊上的中線，BD=DC 又/ BDE= /

4、CDA A BEg A CAD, 故 EB=AC , Z E= Z2, .「AD是/ BAC的平分線 .?./ 1=/2, 1=ZE, ??.AB=EB ,從而AB=AC ,即A AB久等腰三角形。 解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，冉將 端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。 (3)遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用 的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點(diǎn)常常是角平分線的性 質(zhì)定理或逆定理。 例 3:已知，如圖，AC 平分/ BAD ,CD=CB,AB>AD。求證：/B+/ADC=180° 。 思路分析：

5、 1)題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。 2)解題思路：因?yàn)锳C是/ BAD的平分線，所以可過點(diǎn)C作/ BAD的兩邊 的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。 解答過程： 證明：作CEXAB于E, CFXAD于F。 . AC 平分 / BAD ? .CE=CF 在 RtA CBE 和 RtA CDF 中, . CE=CF, CB=CD, ,RtACBE^RtACDF, . ./B=/CDF, ??/CDF+/ADC=180° , . ?/B+/ADC=180° 。 解題后的思考： (4)過圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模

6、式 是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊” 例4:如圖，A ABC, AB=AC , E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AC延長線上一點(diǎn), 連EF交BC于D,若EB=CF0 求證：DE=DF 。 廣 思路分析： 1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。 2）解題思路：因?yàn)镈E、DF所在的兩個(gè)三角形 A DEBW A DFM可能全等，又知EB=CF , 所以需通過添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換： 過E作EG//CF ,構(gòu)造中心對稱型全等三 角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問題得以解決。 解答過程: 證明：過E作EG//AC交BC于G, 貝叱 EGB=

7、 / ACB, 又 AB=AC,「./B=/ACB, . ./B=/EGB, ?./EGD= /DCF, ? .EB=EG=CF , ?./EDB=/CDF, a A DG/ A DCF, ? .DE=DF。 解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法: 例 5: z\ABC 中，/ BAC=60 ,/C=40° , AP 平分/ BAC 交 BC 于 P, BQ 平分/ABC 交 AC 于 Q,求證：AB+BP=BQ+AQ 。 可編輯范本 思路分析： 1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。 2）解題思路：本題要證明

8、的是AB+BP=BQ+AQ 。形勢較為復(fù)雜，我們可以 通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^ O 作BC的平行線。得^ ADO^AAQOo得到OD=OQ , AD=AQ ,只要再證出 BD=OD就可以了。 解答過程： 圖⑴ 證明：如圖（1），過O作OD // BC交AB于D, ? ./ADO= /ABC=180° —60° —40° =80 又.?/AQO=/C+/QBC=80° , ? ./ADO= /AQO, 又.? / DAO= / QAO , OA=AO , .?.△ADO^AAQO , ? .OD=OQ , AD=AQ , 又

9、: OD // BP, ? ./PBO=/DOB, 又.?/ PBO=/DBO , ? ./DBO= / DOB, ? .BD=OD , 又. / BPA=/C+/PAC=70° , /BOP=/OBA+/BAO=70° , ? ./BOP=/BPO, ? .BP=OB , ? . AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ 。 解題后的思考： (1)本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD,構(gòu)造全等三角形，即“截 長法”。 (2)本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下： ①如圖(2),過O作OD // BC交AC于D,則△ADO^^ABO從而得以

10、解決。 A Q ②如圖（3）,過。作DEZ/BC交恥于D,交AC于E. !3JAADO^AAQOs △ ABOf △ AEO從而得以解決口 ③如圖（4;,過P作PD/7BQ交AB的延長線于D,剛△研口的也屈匚從而 得以解決. ④如圖（5）,過P作PD// BQ交AC于D,則△ ABP04ADP從而得以解 決。 小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法， 體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全 等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu) 造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行 線還是倍長中線，實(shí)質(zhì)都是對三角

11、形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu) 造了全等三角形 (5)截長法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段 相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān) 性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。 例 6:如圖甲，AD // BC,點(diǎn) E 在線段 AB 上，/ ADE = / CDE , / DCE= / ECB 求證：CD=AD + BC。 圖甲 思路分析： 1)題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補(bǔ)短法。 2)解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC,可考慮用“截長補(bǔ)短法”中的“截長”， 即在

12、CD上截取CF=CB,只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等 的問題，從而達(dá)到簡化問題的目的。 解答過程： 證明：在CD上截取CF=BC,如圖乙 B圖乙 在△嚴(yán)GE與AEG耳機(jī) (CF = CB CE = CE .?.△FCE^ABCE (SAS), .?./2=/1。 又「AD // BC, ? ./ADC + /BCD=180° , ? ./DCE+/CDE=90° , . ?/2+/3=90° , / 1 + /4=90° , .?./3=/4。 在4FDE與AADE中， =乙WE DE = DE N3=N4 .?.△FDE^AADE (ASA

13、), ? .DF = DA, . CD=DF+CF, ? .CD=AD + BC。 試題答案 1、分析：因?yàn)槠浇堑扔?800 ,因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的角通過全等轉(zhuǎn) 化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形， 可通過“截長法或補(bǔ)短法”來實(shí)現(xiàn)。 證明：過點(diǎn)D作DE垂直BA的延長線于點(diǎn)E,作DFLBC于點(diǎn)F,如圖1-2 ;比平分4FG ，。年加 在H也4DS與用心, 口芭二 DF \ad^cd ? ?? RtAADE 公 RtACDF(HL), ? ./DAE = /DCF。 又/ BAD + /DAE=180° , ? ./BA

14、D + /DCF=180° , 即/ BAD + /BCD=180° 2、分析：與1相類似，證兩個(gè)角的和是180° ,可把它們移到一起，讓它們成 為鄰補(bǔ)角，即證明/ BCP=/EAP,因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu) 證明：過點(diǎn)P作PE垂直BA的延長線于點(diǎn)E,如圖2-2 ,?,/1=22 且皿LB& ,二咫=FD, 在耳△萬尸耳與用△勢N中， \PS = PD = BF ，凡A HP必克區(qū)EF以XL）, ：.EE;血 二月梟EDWC-EI共呢 在身也/戶后與舟△ CP啟中, 'PE = FD ，￡P(guān)EA = ZPDC AS=DC 「? RtA

15、APE0 RtA CPD(SAS) ? ./PAE=/PCD 又. / BAP+/PAE=180° 。 ? ./BAP+/BCP=180 AC 3、分析：從結(jié)論分析，“截長”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，即延長 至E使CE=CD ,或在AB上截取AF=ACo 證明：方法一（補(bǔ)短法） 延長 AC 到 E,使 DC=CE, WJ/CDE = /CED,如圖 3-2 '/ 4cB="S /. N方工/區(qū)， 在△工功與△兒ED中, 21 = Z2 e ￡B = ￡豈 AD = AD △工即(A45), 又A /3 C斗 CE=A C!+DC, .\AB=AC^D

16、C. 方法二(截長法) 在4B_L截取山』4C,如圖二4 圖3-3 在△兒FL與AA8中. =* 々 二 02 AD=AD h .?.△AFD^AACD (SAS), ? .DF=DC , / AFD= / ACD 又. / ACB= 2/ B, ? ./ FDB= / B, ? .FD=FB。 ,.AB=AF+FB=AC+FD , ? .AB=AC+CD 。 4、證明：（方法一） 將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N , 在AAMN 中，AM+AN>MD+DE+NE ; ① 在4BDM 中，MB+MD>BD ; ② 在4CEN 中，CN+NE>

17、CE ; ③ 由①+②+③得： AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ?.AB+AC>BD+DE+EC （方法二：圖4-2） 延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,在AABF、4GFC和4GDE中 有: AB+AF>BD+DG+GF GF+FC>GE+CE ② DG+GE>DE ③ 由①+②+③得： AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ?.AB+AC>BD+DE+EC 。 5、分析：要證 AB+AC>2AD ,由圖想到：AB+BD>AD , AC+CD>AD ,所以 有AB+AC+BD+CD>A

18、D+AD=2AD ,左邊比要證結(jié)論多 BD+CD ,故不能直接 證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同 一個(gè)三角形中去 圖5-2 證明！延長AD至E,他口E=AD,建搏皿，CE ,JAD為AABC的中線（已知） /,BD=CD （中線定義】 在△啟CD和△￡￡口中 3 = 8 （已證） 1 =2及府頂角相等） AD = ED （輔助線作法） .?.△ACD^AEBD (SAS) ??. BE=CA (全等三角形對應(yīng)邊相等) vftAABE中有：AB+BE>AE （三角形兩邊之和大于第三邊） ? .AB+AC>2AD 。 6

19、、分析：欲證AC=BF,只需證AC、BF所在兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒有 含有AC、BF的兩個(gè)全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個(gè)含有 AC、BF的全 等三角形也并不容易。這時(shí)我們想到在同一個(gè)三角形中等角對等邊，能夠把這 兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，只要說明轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形以后的這兩條 線段，所對的角相等即可。 思路一、以三角形ADC為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段 AC,使AC、BF在三角 形BFH中 方法一：延長 AD至ij H,使得DH=AD ,連結(jié)BH ,證明4ADC和4HDB 全等，得AC=BH。 通過證明/ H=/BFH,得到BF=BH。 證明；延長AD到H使得DH=AD

20、,連接BH 1 D為BC中點(diǎn) :、BD-DC 在△也仃和4口：坨中 fAD = DH ^ZADC=^BDH BD=CD 「? AADC^AHDB(SAS) AC=BH / H= / HAC v EA=EF ZHAE= /AFE 又: /BFH= / AFE ? .BH=BF BF=AC 方法二：過B點(diǎn)作BH平行AC,與AD的延長線相交于點(diǎn)H ,證明△ ADC 和4HDB全等即可。 小結(jié)： 對于含有中點(diǎn)的問題， 通過 “倍長中線” 可以得到兩個(gè)全等三角形。 而過一點(diǎn)作已知直線的平行線，可以起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到了構(gòu)造全等三 角形的作用。 思路二、以三

21、角形BFD為基礎(chǔ)三角形。轉(zhuǎn)移線段BF,使AC、BF在兩個(gè)全 等三角形中 方法三：延長FD至H,使得DH=FD ,連接HC。證明4CDH和4BDF全 等即可。 A 證明：延長FD至H使得DH=FD,連接HC. ■/ D為BC中點(diǎn) BD=CD 在ZlEFD和△CHD中 H口二 HD < /BDA = ￡8H ED= CD * ??. ABFD^ACHD(SAS) 「? /H=/BFH v AE=FE 丁. /HAC=/AFE 又: /AFE=/BFH 「? /H=/HAC CH=CA BF=AC 方法四：過C點(diǎn)作CH平行BF,與AD的延長線相交于點(diǎn)H,證明△ CDH 和4BDF全等即可。