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1、怎樣建立數(shù)學(xué)模型一、什么是數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模?數(shù)學(xué)模型 (Mathematical Model)是用數(shù)學(xué)符號對一類實際問題或?qū)嶋H系統(tǒng)發(fā)生的現(xiàn)象的( 近似的 ) 描述 . 而數(shù)學(xué)建模 (Mathematical Modeling)則是獲得該模型、求解該模型并得到結(jié)論以及驗證結(jié)論是否正確的全過程,數(shù)學(xué)建模不僅是了解系統(tǒng)的基本規(guī)律的強(qiáng)有力的工具, 而且從應(yīng)用的觀點(diǎn)來看更重要的是預(yù)測和控制所建模系統(tǒng)的行為的強(qiáng)有力的工具.許多重要的物理現(xiàn)象,常常是從某個實際問題的簡化數(shù)學(xué)模型的求解中發(fā)現(xiàn), 并給予明確的數(shù)學(xué)表述 , 例如 ,混沌、孤立子、奇異吸引子等 .數(shù)學(xué)建模本身并不是什么新東西.縱觀科學(xué)技術(shù)發(fā)展史

2、,我們可以看到數(shù)學(xué)建模的思想和方法自古以來就是天文學(xué)家、物理學(xué)家、 數(shù)學(xué)家等用數(shù)學(xué)作為工具來解決各種實際問題的主要方法 .不過數(shù)學(xué)建模這個術(shù)語的出現(xiàn)和頻繁使用是20 世紀(jì) 60 年代以后的事情 .很重要的原因是 ,由于計算的速度、 精度和可視化手段等長期沒有解決, 以及其他種種原因, 導(dǎo)致有了數(shù)學(xué)模型 ,但是解不出來 ,算不出來或不能及時地算出來,更不能形象地展示出來 ,從而無法驗證數(shù)學(xué)建模全過程的正確性和可用性, 數(shù)學(xué)建模的重要性逐漸被人“淡忘”了.然而，恰恰是在20 世紀(jì)后半葉，計算機(jī)、計算速度和精度，并行計算、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)等計算技術(shù)以及其他技術(shù)突飛猛進(jìn)的飛速發(fā)展,給了數(shù)學(xué)建模這一技術(shù)以極大的

3、推動, 不僅重新煥發(fā)了數(shù)學(xué)建模的活力, 更是如虎添翼地顯示了數(shù)學(xué)建模的強(qiáng)大威力. 而且，通過數(shù)學(xué)建模也極大地擴(kuò)大了數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域 .現(xiàn)在 數(shù)學(xué)建模以及相伴的計算和模擬(Simulation,有人也譯作“仿真” ) 已經(jīng)成為現(xiàn)代科學(xué)的一種基本技術(shù) 數(shù)學(xué)技術(shù) .在各種研究方法 ,特別是與應(yīng)用電子計算機(jī)有關(guān)的研究方法中,占有主導(dǎo)地位 .在科技、經(jīng)濟(jì)和政府部門的一部分人中, 在某種意義下 ,甚至已經(jīng)成為一種生活方式( way of life),數(shù)學(xué)建模無處不在 .在抵押貸款買房和商業(yè)談判等日常生活中都要用到數(shù)學(xué)建模的思想和方法. 人們越來越認(rèn)識到數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模的重要性 . 在大、中學(xué)的教材中經(jīng)常出現(xiàn)各

4、種各樣的數(shù)學(xué)模型, 因此 ,學(xué)習(xí)和初步應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想和方法已經(jīng)成為當(dāng)代大學(xué)生, 以至生活在現(xiàn)代社會的每一個人,必須學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容. 在部分中學(xué) , 都開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課 ;自 1992 年開始舉辦的“中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽(China Undergraduate MathematicalContest in Modeling,縮寫為 CUMCM) ”已經(jīng)成為我國大學(xué)生課余最大的科技活動. (想了解 CUMCM更多細(xì)節(jié)的讀者可以訪問網(wǎng)站).于 1985 年開始舉辦的 “美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 (Mathematical Contest in Modeling,縮寫為 MCM) ”以及與1999

5、 年起開始增加的“美國大學(xué)生跨學(xué)科建模競賽(InterdisciplinaryContestin Modeling,縮寫為 ICM) ”也是我國大學(xué)生非常樂于參加的數(shù)學(xué)建模競賽 , 近年來這兩個競賽有一半以上的參賽隊來自中國 . ( 想了解 MCM和 ICM更多的細(xì)節(jié)的讀者可以訪問網(wǎng)站 ).對實際現(xiàn)象的定量研究的重要性和挑戰(zhàn)在于怎樣去建立能夠更好地了解該現(xiàn)象, 并且可以應(yīng)用數(shù)學(xué)方法來解決的數(shù)學(xué)模型( 數(shù)學(xué)問題 ).實際現(xiàn)象通常都是極為復(fù)雜的,不經(jīng)過理想化和簡化是很難進(jìn)行定量研究的.因此 ,數(shù)學(xué)建模的全過程大體上可歸納為以下步驟：1. 對某個實際問題進(jìn)行觀察、分析 ( 是否抓住主要方面 );2.

6、對實際問題進(jìn)行必要的抽象、簡化，作出合理的假設(shè)( 往往是很不容易的 );3.確定要建立的模型中的變量和參數(shù);4.根據(jù)某種“規(guī)律” ( 已知的各學(xué)科中的定律, 甚至是經(jīng)驗的規(guī)律 ) 建立變量和參數(shù)間確用心愛心專心1定的數(shù)學(xué)關(guān)系( 明確的數(shù)學(xué)問題或在這個層次上的一個數(shù)學(xué)模型),這可能是一個非常具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)問題;5. 解析或近似地求解該數(shù)學(xué)問題 . 這往往涉及復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論和方法, 近似方法和算法 ;6.數(shù)學(xué)的結(jié)論能否展示、解釋甚至預(yù)測實際問題中出現(xiàn)的現(xiàn)象, 或用某種方法 ( 例如，歷史數(shù)據(jù)、實驗數(shù)據(jù)或現(xiàn)場測試數(shù)據(jù)等) 來驗證結(jié)論是否合理、正確, 這也是很不容易的;7.如果第 6 步的結(jié)果是肯定

7、的， 那么就可以付之試用 ;如果是否定的， 那就要回到第 16 步進(jìn)行仔細(xì)分析，重復(fù)上述建模過程。因此，如果要對數(shù)學(xué)建模下定義的話 , 那就是 : 數(shù)學(xué)建模就是上述 7個步驟的多次重復(fù)執(zhí)行的過程 . 或用框圖來表示如下：觀察、分析實際問題抽象、簡化，確定變量和參數(shù)利用某種“定律”建立變量和參數(shù)間的確定的關(guān)系（數(shù)學(xué)問題 ,這個層次上的一個數(shù)學(xué)模型）解析或“近似”地求解該數(shù)學(xué)問題（數(shù)學(xué)模型）解釋、驗證通不過 通過可應(yīng)用該數(shù)學(xué)模型由此可見 ,數(shù)學(xué)建模過程中最重要的三個要素,也是三個最大的難點(diǎn)是:1. 怎樣從實際情況出發(fā)做出 合理的假設(shè) , 從而得到可以執(zhí)行的合理的數(shù)學(xué)模型 ;2. 怎樣 求解 模型中

8、出現(xiàn)的 數(shù)學(xué)問題 , 它可能是非常困難的問題 ;3. 怎樣 驗證模型的結(jié)論 是合理、正確、可行的 .所以 ,當(dāng)你看到一個數(shù)學(xué)模型時,就一定要問問或者想一想它的假設(shè)是什么, 是否合理 ? 模型中的數(shù)學(xué)問題是否很難,數(shù)學(xué)上是否已經(jīng)解決? 怎樣驗證該模型的正確與可行性?當(dāng)你在學(xué)習(xí)有關(guān)后繼課程或參加具體的數(shù)學(xué)建模活動時牢記這三條,一定會受益匪淺.另外 ,在建模過程中還有一條不成文的原則:“從簡單到精細(xì)”,也就是說 ,首先建立一個比較簡單但盡可能合理的模型,對該模型中的數(shù)學(xué)問題有可能解決很徹底,從而能夠用心愛心專心2做到僅僅通過實驗觀察不可能做到的事情,甚至發(fā)現(xiàn)重要的現(xiàn)象.如果在求解該模型的結(jié)果不合理

9、,甚至完全錯誤,那么它也有可能告訴我們?nèi)绾胃倪M(jìn)的方向.要想比較成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模去解決真正的實際問題,還要學(xué)習(xí) “雙向翻譯” 的能力 ,即能夠把實際問題用數(shù)學(xué)的語言表述出來,而且能夠把數(shù)學(xué)建模得到的( 往往是用數(shù)學(xué)形式表述的 ) 結(jié)果 ,用普通人 ( 或者說要應(yīng)用這些結(jié)果的非數(shù)學(xué)專業(yè)的人士) 能夠懂的普通語言表述出來 .二、可口可樂罐頭為什么是這種樣子?可口可樂、 雪碧、健力寶等銷量極大的飲料罐 ( 易拉罐 ) 頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比為多少 ? 為什么 ? 它們的形狀為什么是這樣的 ?“用鐵皮做成一個容積一定的圓柱形的無蓋( 或有蓋 ) 容器，問應(yīng)當(dāng)如何設(shè)計，才能使用料最省，這時圓柱

10、的直徑和高之比為多少? ”實際上 ,用幾何語言來表述就是:體積給定的正圓柱體,其表面積最小的尺寸( 半徑和高) 為多少 ?表面積用S 表示 , 體積用V 表示 ,則用微積分的典型的解法是S(r , h)2 r hr 2r 22 r 2rh Vr 2 h, hV /r 2S(r )2 r 2V /r S (r )2 (2rVr2)2(2r 3 V ) 0r 2r3V ,2hV V 3 4 23 4 2V 338Vd .r2V2222rV2結(jié)論 : 正圓柱體的直徑等于高 .測量一個可口可樂飲料罐 :它頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高:約為 6厘米和 12厘米 .中間胖的部分的直徑約為 6.6 厘米，胖

11、的部分高約為10.2 厘米 .可口可樂飲料罐上標(biāo)明凈含量為355毫升 ( 即 355立方厘米 ).實際的罐內(nèi)體積為365 毫升.怎樣測量比較簡捷 ?簡化模型分析和假設(shè)： 首先把飲料罐近似看成一個正圓柱是有一定合理性的. 要求飲料罐內(nèi)體積一定用心愛心專心3時,求能使易拉罐制作所用的材料最省的頂蓋的直徑和從頂蓋到底部的高之比.實際上，飲料罐的形狀是如下平面圖形繞其中軸線旋轉(zhuǎn)而成的立體。my = AbsoluteThickness2,Line2.3,0.4,2.3,0,2.7,0,2.7,0.8,3.3,0.8,3.3,11,3,12,3,12.4,2.7,0,-3,12,-3,12.4,-3,12

12、,-3.3,11,-3.3,0.8,-2.7,0.8,-2.7,0,-2.3,0,-2.3,0.4mygrapg = ShowGraphicmy,AxesLabel-x,y,AspectRatio-Automatic, PlotRange-0,12.4用手摸一下頂蓋就能感覺到它的硬度要比其他的材料要硬( 厚 ,因為要使勁拉),假設(shè)除易拉罐的頂蓋外,罐的厚度相同 ,記作 b ,頂蓋的厚度為b . 想象一下 , 硬度體現(xiàn)在同樣材料的厚度上 ( 有人測量過 , 頂蓋厚度大約是其他部分的材料厚度的 3 倍 ). 因此 , 我們可以進(jìn)行如下的數(shù)學(xué)建模 . 這時必須考慮所用材料的體積 ( 或者每單位體積的

13、材料的價格 ).F=AbsoluteThickness1,Line-3.1,0,3.1,0,3.1,12.4,-3.1,0,-3,0.1,3,0.1,3,12.1,-3,12.1,-3,0.1mygrapg = ShowGraphicF,AxesLabel-x,y,AspectRatio-Automatic, PlotRange-0,12.5用心愛心專心4明確變量和參數(shù)： 設(shè)飲料罐的半徑為 r （因此，直徑為 d = 2r ）, 罐的高為 h. 罐內(nèi)體積為 V. b 為除頂蓋外的材料的厚度 . 其中 r, h 是自變量 , 所用材料的體積 SV 是因變量 ,而 b和 V 是固定參數(shù) ,是待定參

14、數(shù) .飲料罐側(cè)面所用材料的體積為(rb)2r 2 )(h(1)b)(2rbb2 )(h(1)b)2 rhb2 r (1)b2h b2(1)b3飲料罐頂蓋所用材料的體積為b r 2飲料罐底部所用材料的體積為b r 2所以 ,SV 和 V 分別為 ,SV(r , h)b(1)(rb)2(2rb)h2 rhb(1) r 2b2 r (1)b2h b2(1)b3V (r , h)r 2h因為br , 所以帶 b2 , b3 的項可以忽略用心愛心專心5( 工程上用的近似方法 ,是合理的假設(shè)或簡化嗎?).因此SV(r ,h)S(r , h)2rhbr 2 (1)b記 g(r , h)r 2hV .于是我們

15、可以建立以下的數(shù)學(xué)模型：minS(r , h)r 0, h 0s.t g(r , h)0其中 S 是目標(biāo)函數(shù)，g(r , h)0是約束條件 , V 是已知的 ( 即罐內(nèi)體積一定 ),即要在體積一定的條件下, 求罐的體積最小的r, h 和使得 r, h 和測量結(jié)果吻合 .這是一個求條件極值的問題 .模型的求解：方法 1:( 從約束中解出一個變量，化約束極值問題為求一元函數(shù)的無約束極值問題 )從g(r , h)r 2 hV0 解出 hV /r 2, 代入S,使原問題化為：求 d : h使 S 最小 , 即,求 r使S(r , h(r ) b 2V(1) r 2 r最小 .求臨界點(diǎn) :令其導(dǎo)數(shù)為零得

16、dS2b(1 )rV22b2 (1 ) r 3 V ) 0.drrrr3V,解得臨界點(diǎn)為(1)因此用心愛心專心6hV ( 32(1)22(1)( 3V)V(1)(1)r(12)d .測量數(shù)據(jù)為h/r= 2, 即41,=3 ,即頂蓋的厚度是其他材料厚度的3倍 .為驗證這個 r 確實使 S 達(dá)到極小 . 計算 S 的二階導(dǎo)數(shù)S4b2(1)2V 0,r0.r 3所以 ,這個 r 確實使 S 達(dá)到局部極小 , 因為臨界點(diǎn)只有一個 ,因此也是全局極小 .方法 2:利用算術(shù)幾何平均值不等式：1nainai0, i1,.,nn inai ,，1i1當(dāng)且僅當(dāng) a1a2.an 時等號成立 .( n = 2,3

17、時有明顯的幾何意義: 周長一定的矩形中正方形的面積最大;三邊長的和一定的長方體中立方體的體積最大 .)算術(shù)幾何平均值不等式是一類等周不等式.令 n3, aaV, a(1)r 2,于是有312r VV(1) r 2 / 33 (1 )V 2，當(dāng)且僅當(dāng)rr時等號成立，即在 r0V3處達(dá)到極小值 .結(jié)果相同 . 注意，(1 )V(1 )r 2r如果不忽略高級無窮小量，那么SV(r , h) b(1 )(r b)2 (2r b)h 把 h V / r 2 , 代入 SV ，得用心愛心專心7SV(r )b(1)(rb)2(2rb)V2 r求臨界點(diǎn)，得SV (r )b2(1)( rb)2V2(2 rb)V

18、r 2r 32b(rb)(1)V)0, r03(1Vr 3)因此hV2V ( 3 2(1) ) 22(1)( 3V)rV(1)0(1)r0(1)d2又因為SV 2b(2(3b 2r )V ) 0, r 0r 4Vr033(1)是唯一的臨界點(diǎn)， 因而是全局極小點(diǎn). 當(dāng).所以, 即高等于2倍的直徑時，制作飲料罐時所用的材料最省.驗證和進(jìn)一步的分析：有人測量過頂蓋的厚度確實為其他材料厚度的3 倍 .如果易拉罐的半徑為3厘米 , 則其體積為按照 r3V計算 ,V = 365立方厘米 ,可以算得4r = 3.074厘米 .下面只是一種可能的考慮 .粗略的計算,可以把飲料罐的體積看成兩部分, 一是上底半徑

19、為3厘米，下底半徑為3.3厘米 ,高為 1厘米的錐臺 ,二是半徑為3.3厘米 ,高為 10.2厘米的正圓柱體.它們的體積分別為31.2立方厘米和349立方厘米總共為380.2立方厘米 .然后 ,我們再來通過測量重量或容積( 怎么測量 ?) 來驗證 .我們可以認(rèn)為1立方厘米的水和飲料的重量都是1克.測量結(jié)果為 :未打開罐時飲料罐的重量為370克 ,倒出來的可樂確實重 355克 ,空的飲料罐重量為15克 ,裝滿水的飲料罐重量為380克 .這和我們的近似計算380.2立用心愛心專心8方厘米十分接近！飲料罐不能裝滿飲料,而是留有10立方厘米的空間余量.由錐臺和正圓柱體組成的容器的數(shù)學(xué)建模?( 見習(xí)題

20、)有意思的是 ,計算飲料罐的胖的部分的直徑和高的比為6.6/10.2 = 0.647,非常接近黃金分割比0.618.這是巧合嗎 ? 還是這樣的比例看起來最舒服,最美 ?此外 ,諸如底部的形狀,上拱的底面 ,頂蓋實際上也不是平面的,略有上拱 ,頂蓋實際上是半徑為3 + 0.4 + 0.2 = 3.6平方厘米的材料沖壓而成的,從頂蓋到胖的部分的斜率為 0.3,這些要求也許保證了和飲料罐的薄的部分的焊接( 粘合 ) 很牢固、耐壓 .所有這些都是物理、力學(xué)、工程或材料方面的要求,必須要有有關(guān)方面的實際工作者或?qū)＜襾泶_定.因此 ,同學(xué)們可以體會到真正用數(shù)學(xué)建模的方法來進(jìn)行設(shè)計是很復(fù)雜的過程,只依靠數(shù)學(xué)知

21、識是不夠的 ,必須和實際工作者的經(jīng)驗緊密結(jié)合.還可以從其他角度來考慮各種各樣罐的數(shù)學(xué)建模.可以參看有關(guān)的閱讀材料.習(xí)題 ( 任課教師可以自行配置習(xí)題)1. 如果正圓柱形飲料罐 , 上底的厚度為其它部分厚度的3 倍 , 飲料罐的總面積固定 , 求能夠使其體積最大的飲料罐的尺寸( 直徑和高之比 ).2. 試證明 , 在周長相等的矩形中 , 正方形的面積最大 . 試證明 , 表面積相等的長方體中 ,正方體的體積最大.( 到市場上去考察各種箱包、容器的尺寸,并給予一定的解釋.)3,假設(shè)飲料罐的剖面圖如下圖所示- 3,812, - 3.3,811,-3.3, 0 ,my = AbsoluteThickn

22、ess1 ,83.3,0 8,3.3,118 Line83.3, 11 , 3 , 12D,mygrapg88 D8AspectRatio?D ?= ShowGraphicsmy, AxesLabel? x, y ,Automatic,PlotRange0 , 12上半部分是一個圓錐臺, 下半部分是一個圓柱體 .如果頂蓋半徑為厘米圓錐臺的高8 b 0) 的橢圓的面積為ab ，它的周長為用心愛心專心9C4b21a2b2b2sin2 tdt .0雖然它不能用初等函數(shù)表示,但是當(dāng)給出a 和 b 的具體數(shù)值時 ,可以用數(shù)學(xué)軟件來2a2b2)12sin2tdt 稱為第計算它的值 . 若令b2, E( ,

23、0二類不完全橢圓積分, 或 Legendre 第二類橢圓積分 , 是一類重要的特殊函數(shù) .)4. 太空船 ( 航天飛機(jī) , Space Shuttle)里的水箱的外形是由半徑為r 的球放在一個正圓錐上形成的 , 形如我們通常吃的冰淇淋的樣子. ( 其中心縱斷面的圖形見下圖).圓錐體的底部直徑等于球體的半徑( 見上圖 ). 如果球體的半徑限定為正好為6 英尺 ,設(shè)計的水箱表面積為 460 平方英尺 ,請確定球拱高和圓錐體高的尺寸, 使得水箱容積最大. 試著從約束中解出一個變量, 化條件極值問題為求一元函數(shù)的無條件極值問題,手算容易嗎？再用數(shù)學(xué)軟件試試, 體會數(shù)學(xué)軟件的優(yōu)勢 . 什么情況下數(shù)學(xué)軟件

24、是可以信任的,什么情況下會出問題 .圓錐部分的體積V(2rx xx x2 )c31 212被圓錐所截后的球體部分的體積V4r 3x33x2rs322水箱的總體積Vw VcVs用心愛心專心10圓錐的表面積 Sc2rx 2 x22x122rx 2 x22被圓錐所截后的球體部分的表面積S4 r 22 rx2s水箱的總表面積STScSs . 問題為Maximize f ( x1, x2 )4r 3x233x22r2rx1 x2x1 x223s.t 4 r 22 rx22rx2x2x22rx2x2450212從約束條件解出 x146024r 22rx2x2x2rx212rxx2222代入f ( x1, x2 ) ,4r 3x33x2r22V ( x2 )460 4r 22rx22rxx223x2 )222(2 rx222rxx222這些都還可以手算, 手算求臨界點(diǎn)可行嗎 ?為什么要用數(shù)學(xué)軟件包就成為必須考慮的問題.考試題目1. 什么是數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模; 數(shù)學(xué)建模的難點(diǎn)是什么?用心愛心專心112. 如果圓柱形飲料罐 ( 易拉罐 ) 頂蓋的厚度是其他部分厚度的兩倍. 罐內(nèi)體積一定時 , 能使材料最省的罐的直徑和高之比為多少?用心愛心專心12