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1、 微積分的產(chǎn)生與發(fā)展 一、準備 在十六世紀末、十七世紀初的歐洲，文藝復興帶來了人們思維方式的改變．資本主義 制度的產(chǎn)生， 使社會生產(chǎn)力大大得到解放． 資本主義工廠手工業(yè)的繁榮和向機器生產(chǎn)的過渡， 促使技術(shù)科學和數(shù)學急速向前發(fā)展． 在科學史上，這一時期出現(xiàn)了許多重大的事件，向數(shù)學提出了新的課題．公元 1492 年，哥倫布發(fā)現(xiàn)了新大陸， 證實了大地是球形的觀念； 1543 年，哥白尼發(fā)表了 《天體運行論》 ， 使神學的重要理論支柱的地心說發(fā)生了根本的動搖； 開

2、普勒在 1609～ 1619 年，總結(jié)出行星運 動的三大定律，導致后來牛頓萬有引力的發(fā)現(xiàn)； 1609 年伽里略用自制的望遠鏡觀察了月亮、 金星、木星等星球，把人們的視野引向新的境界．這些科學實踐拓展了人們對世界的認識， 引起了人類思想上的質(zhì)變．十六世紀，隨著資本主義生產(chǎn)萌芽的出現(xiàn)，產(chǎn)生了新的生產(chǎn)關(guān)系， 社會生產(chǎn)力有了很大的發(fā)展．社會實踐中有大量處于不斷運動和變化的關(guān)系需要人們?nèi)フJ識 和處理．對它們的研究從而獲得了“變量”的概念．對變化著的量的一般性質(zhì)和它們之間的 依賴關(guān)系的研究，又得到了“函數(shù)”的概念．使得對數(shù)

3、學的研究從常量開始進入了變量的領(lǐng) 域．這成為數(shù)學發(fā)展史上的一個轉(zhuǎn)折點，也是“變量”數(shù)學發(fā)展的第一個決定性步驟． 由于“變量”作為新的問題進入了數(shù)學，對數(shù)學的研究方法也就提出了新的要求．在 十七世紀前半葉，解析幾何的觀念已經(jīng)有一系列優(yōu)秀的數(shù)學家接近了．但是十七世紀三十年 代，解析幾何才被笛卡爾（ Descartes ， R．（法） 1596 ～ 1650）和費爾馬（ Fermat ， P．de （法） 1601～ 1665）創(chuàng)立． 用心 愛心 專心 - 1 -

4、 一般認為，解析幾何的主要創(chuàng)立者是笛卡爾． 1637 年，笛卡爾用法文寫了三篇論文 《折光學》、《氣象學》和《幾何學》，并為此寫了一篇序言《科學中正確運用理性和追求 真理的方法論》，哲學史上簡稱為《方法論》．《幾何學》提出了解析幾何學的主要思想和 方法，這標志著解析幾何學的誕生． 和笛卡爾同時或較早， 費爾馬已得到解析幾何的要旨． 他 在《平面與立體軌跡引論》（開始于 1629 年， 1636 年前完成．“立體軌跡”指不能用尺規(guī) 作出的曲線，與現(xiàn)在的含義不同）一文中明確指出方程可以描述曲線，并通過對方程的研究

5、 可以推斷出曲線的性質(zhì)． 在解析幾何里，由于建立了坐標系，可以用字母表示變動的坐標，用代數(shù)方程刻畫一 般平面曲線，用代數(shù)運算代替幾何量的邏輯推導，從而把對幾何圖形性質(zhì)的研究轉(zhuǎn)化為對解 析式的研究，使數(shù)與形緊密地結(jié)合起來了．這種新的數(shù)學方法的出現(xiàn)與發(fā)展，使數(shù)學的思想 和方法的發(fā)展發(fā)生了質(zhì)的變化，思格斯把它稱為數(shù)學的轉(zhuǎn)折點．此后人類進入了變量數(shù)學階 段，也是變量數(shù)學發(fā)展的第一個決定性步驟．為十七世紀下半葉微積分算法的出現(xiàn)準備了條 件． 二、產(chǎn)生 微積

6、分出現(xiàn)于十七世紀后半葉的西歐．牛頓（ Newton， I ．（英） 1642～ 1727 ）和萊 布尼茨（ Leibniz ， G． W．（德） 1646～171）在十七世紀后半葉各自獨立地建立了微積分， 這是變量數(shù)學發(fā)展的第二個決定性步驟． 微積分是經(jīng)過長時間的醞釀才產(chǎn)生的．微積分的原理可以追溯到古代．在中國，公元前 4 世紀的桓團、公孫龍街等所提出的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”；公元 3 世紀的劉 徽，公元 5～ 6 世紀的祖沖之、祖暅對圓周率、面積以及體積的研究，都包含有極限和微積分

7、 用心 愛心 專心 - 2 - 的思想萌芽．在歐洲，公元前 3 世紀古希臘的歐幾里得（ Euclid ）、阿基米得（ Archimedes 約公元前 287～ 212）所建立的確定面積和體積的方法， 也都包含有上述萌芽． 在十六世紀末、 十七世紀初，由于受力學問題的研究、函數(shù)概念的產(chǎn)生和幾何問題可以用代數(shù)方法來解決的 影響，促使許多數(shù)學家去探索微積分．開普（ Kepler ． J．（德） 1571～ 1630）、卡瓦列里 （Cavalieri ，F(xiàn)．B．（意） 1598～ 1647）和牛頓的老師巴羅 （

8、Barrow ，I ．（英） 1630～ 1677） 等人也研究過這些問題，但是沒有形成理論和普遍適用的方法． 1638 年，費爾馬首次引用字母表示無限小量，并運用它來解決極植問題．稍后，他又提 出了一個與現(xiàn)代求導過程實質(zhì)相同的求切線的方法，并用這種方法解決了一些切線問題和極 值問題．后來，英格蘭學派的格雷果里（ Gregory ，J（英） 1638～ 1675）、瓦里斯（ WalliS ， J．（英） 1616～ 1703）繼續(xù)費爾馬的工作，用符號“ 0”表示無限小量，并用它進行求切線 的運算．到十

9、七世紀早期，他們已經(jīng)建立起一系列求解無限小問題的特殊方法．諸如，求曲 線的切線、曲率、極大極小值，求運動的瞬時速度以及面積、體積、曲線長度、物體重心的 計算等．但他們的工作差不多都局限于一些具體問題的細節(jié)之中，還缺乏普遍性的規(guī)律． 牛頓是從物理學觀點來研究數(shù)學的， 他創(chuàng)立的微積分學原理是同他的力學研究分不開 的．他發(fā)現(xiàn)了力學三大定律和萬有引力定律． 1687 年牛頓出版了他的名著《自然哲學的數(shù)學 原理》，《原理》從作為力學基礎的定義和公理（運動定律）出發(fā)，將整個力學建立在嚴謹 的數(shù)學演繹基礎上．就數(shù)學本

10、身而言， 《原理》不僅深入地運用了牛頓本人創(chuàng)造的分析工具， 而且也是牛頓分析學說的第一次正式公布．他超越前人的功績在于：將前人創(chuàng)立的特殊技巧 統(tǒng)一為一般的算法，特別是確立了微分與積分這兩類運算的互逆關(guān)系（微積分基本定理）． 萊布尼茨卻是從幾何學的角度去考慮微積分的， 特別是和巴羅的微分三角形有密切關(guān) 系． 1684 年，他在《學藝》雜志上發(fā)表了他的第一篇微分學文章《一種求極大極小和切線的 用心 愛心 專心 - 3 - 新方法， ??》 ， 是世界上最早的微 分文獻， 比牛 的《自然哲學的

11、數(shù)學原理》 早 3 年．他 在文章中 到量的微分概念，提出量的和、差、 、商、根、 的微分公式，以及微分方法 在求切 、求極 等幾何 上的 用．以后又 表了一些文章，提出了 如指數(shù)。 數(shù)的微分公式和微分的 一步的 用，他力 找到普遍的方法來解決數(shù)學分析中的 ． ，在十七世 七十年代中期，萊布尼茨通 研究幾何 ，建立了與流數(shù)法 一 的微 分算法． 他所引 的微 分符號 “d，f ”比牛 用的符號更靈活， 更能反映微 分的本 ． 例 如微分 dx，二 微分 d2x， ，都非常適合、

12、便利． 些符號一直沿 用到今天，在促 微 分方法 展方面起了 極作用． 牛 和萊布尼茨的工作是各自獨立的，他 的工作有很大的不同，主要區(qū) 是：牛 把 x 和 y 的無 小增量作 求 數(shù)的手段．當增量越來越小的 候， 數(shù) 上就是增量的 比的極限．而萊布尼茨卻直接用 x 和 y 的無 小增量（就是微分）求出它 之 的關(guān)系。 個差 反映了牛 的物理學方向和萊布尼茨的幾何學方向的不同思 方式．在物理學方面， 需要關(guān)注速度、加速度等 ，而幾何學卻著眼于面 體 的 算：牛 自由地用 數(shù)表示 函

13、數(shù)，而萊布尼茨寧愿用有限的形式來 ．他 的工作方式也不同，牛 是 的、具體 的和 慎的，而萊布尼茨是富于想象的、喜 推廣的而且是大膽的；他 號的關(guān)心也有 差 ，牛 用什么 號無關(guān) 要， 而萊布尼茨卻花 很多 來 富有提示性的符號． 人 求 （ 分學的中心 ）的探 ，可以追溯到 古．但 切 （微 分學的中心 ）的探 卻是比 晚的事．因而微分學的起點 落后于 分學．牛 、萊 布尼茨將 兩個貌似不相關(guān)的 系起來，用“微 分基本定理”或稱“牛 —萊布尼茨 公式”表達出來．他

14、有效地 立了微 分的基本定理和運算法 ，從而使微 分能成 一 用心 愛心 專心 - 4 - 門獨立的學科， 并成為數(shù)學中最大分支 “分析學” 的起源，終于不再是古希臘幾何學的延展． 這 都是他們作出貢獻以前不可能達到的． 三、發(fā)展 在數(shù)學上，有人把十七世紀叫做天才的時期，也有人把十八世紀叫做發(fā)明的時期．這 兩個世紀的數(shù)學成就是巨大的． 微積分學的深入發(fā)展，成為了十八世紀數(shù)學發(fā)展的主要線索．這種發(fā)展與廣泛的應用緊 密交織在

15、一起，刺激和推動了許多新分支的產(chǎn)生，使分析形成了在觀念和方法上都具有鮮明 特別的獨立的數(shù)學領(lǐng)域．這個時期微積分學的發(fā)展有三個顯著特征． 第一個特征是分支廣泛．數(shù)學家從物理學、力學、天文學的研究中發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)立了許多數(shù) 學新分支，這些分支在十八世紀大都處于萌芽狀態(tài)，未形成系統(tǒng)嚴密的理論．他們的目標不 是研究數(shù)學，而是用數(shù)學去解決物理學中的問題．他們認為數(shù)學只是物理學的一個工具．他 們關(guān)心的只是數(shù)學對天文學、物理學的價值．可以說十八世紀數(shù)學的推動力是物理學和天文 學． 泰勒（ Taylor

16、 ，B．（英） 1685～ 1731）和馬克勞林（ Macleaurin ，C．（英） 1698～ 1746）在研究弦振動理論和天文學問題時， 得到級數(shù)展開理論； 微分幾何是克萊羅 （Clairaut ， A．— C．（法） 1713～ 1765）歐拉（ Euler ， L．（瑞） 1707～ 1783）在研究曲線曲面的力學 問題、光學問題、大地測量和地圖繪制問題時產(chǎn)生的； 歐拉、拉格朗日（ Lagrange ，J．－ L．（法） 1736～ 1813）和伯努利兄弟 （Nikolaus Bernoulli1695 ～ 1726， Dami

17、elBernoulli 1700～ 1782 （瑞））在研究力學和天體運行問題之時，建立了變分法和常微分方程；達朗貝爾（ d′ Alembert ，J．leR ．（法） 1717～ 1783）、拉普拉斯 （ Laplace ，P．－ S．（法） 1749～ 1827 ）、 用心 愛心 專心 - 5 - 拉格朗日在研究弦振 、 性力學和 ??有引力 建立了偏微分方程理 （主要是一 的） ； 歐拉、柯西（ Cauchy， A－ L．（法） 1789～ 1857）在研究流體力學 ，建立了復 函數(shù)

18、 等等． 第二個特征是方法的交替．幾何 法是自古以來人 研究數(shù)學 所廣泛使用的方 法．十七世 的 候，代數(shù)是人 趣的中心，那 候代數(shù)和分析 沒有分開來．但是到了 十八世 ，它 成從屬于數(shù)學分析，而且除了數(shù) 以外，促 代數(shù)研究的因素大部分來自數(shù) 學分析． 隨著 微 分研究的 一步深入， 歐拉和拉格朗日 到分析方法具有更大的效用， 就慎重地、逐 地把幾何 成分析 ．歐拉的 多教科 里都著重 明了怎 使用分 析法．拉格朗日在他的《分析力學》的序言中大力推廣分析 ．拉普拉斯在他的《宇宙

19、體 系 》中也 了分析法的重要作用．后來 多數(shù)學家開始 到分析法的重要性， 數(shù) 學分析的思想方法逐 被普遍地采用了． 第三個特征是不 密．正如任何一 重大的 明，都不可能在一開始 便完整無瑕， 微 分在其 生的初期，也因理 的不 密而在 多方面陷入了自相矛盾的困境． 微 分 生于解析幾何、物理等的直 的需要，而同 也廣泛地被利用．它沒有 相 的數(shù)學理 作指 ， 來不及 自己打基 ．微 分的基 是極限理 ，而牛 ，萊布 尼茨的極限 念是十分模糊的．究竟什么是極限？無 小又是

20、什么？ 在當 沒有人作出 合理的解 ． 數(shù)和 分的收 性，微分和 分次序交 ，高 微分的使用，以及微分方程 解的存在性 等等，那 幾乎沒有人涉足．數(shù)學家就沉迷于用新的數(shù)學方法去解決物理、 天文等方面的 ，而又被得到的新的成果所陶醉．大家 及不上去追究在數(shù)學推理上的 密性．在當 的情況下也沒看到有 必要．正如達朗 在 1743 年 ： “直到 在??表 出更多關(guān)心的是去 大建筑，而不是在人口 燈 彩；是把房子蓋得更高些，而不是 用心 愛心 專心 - 6 - 基礎

21、補充適當?shù)膹姸龋币虼耍耸兰o的數(shù)學家開墾了許多新的處女地，數(shù)量之多是驚人 的，但是他們的工作是粗糙的，不嚴密的，是刀耕火種式的工作方法．由于十八世紀的數(shù)學 家忙于應用解析幾何和微積分這兩種強有力的數(shù)學工具去解決科學和技術(shù)中的許多實際問 題，并被新方法的成功所陶醉，而無暇顧及所依據(jù)的理論是否可靠，基礎是否扎實，這就出 現(xiàn)了謬誤越來越多的混亂局面． 四、深入 到了十九世紀， 新數(shù)學中直觀的不嚴密的論證導致的局限性和矛盾愈發(fā)顯著， 微積分 的嚴密化日益引起數(shù)學家的關(guān)注． 嚴密的分析是

22、從波爾查諾 （ Bolzano ，B．（捷）1786～ 1848）、 柯西、阿貝爾 （ Abei ，N．H．（挪） 1802～ 1829）和狄利克雷 （ Dirichlet ，P．G．（德） 1805～ 1859）的工作開始的，為它的進一步發(fā)展作出了大重大貢獻的有維爾斯特拉斯（ Weier － strass ，K．（ T． W．）（德） 1815～ 1897）．柯西在他的《分折教程》（ 1821）中從定義變 量開始，對于函數(shù)概念引進了變量之間的對應關(guān)系．而單值函數(shù)的確切定義，是狄利克雷在 一篇關(guān)于博里葉級數(shù)的論文中《用正弦和余弦級數(shù)來表示完全任意的函數(shù)》

23、（ 1837）中給出 的． 1829 年狄利克雷給出了著名的狄利克雷函數(shù)（在一切有理數(shù)時取 1，在一切無理數(shù)時取 0）．以后維爾斯特拉斯利用三角級數(shù)構(gòu)造出處處連續(xù)處處不可導的函數(shù)例子．關(guān)于函數(shù)連續(xù) 性的確切定義， 即 說法，是由維爾斯特拉斯在 1841～1856 年間作中學教師時給出的． 波 爾查諾于 1817 年首先給出了導數(shù)的定義．柯西于 1823 年在他的《無窮小分析教程概論》的 著作中，對定積分作了系統(tǒng)的開創(chuàng)性工作，對于連續(xù)函數(shù)給出了定積分作為和函數(shù)的極限的 確切定義．黎曼（ Riemann，（ G． F．） B．（德） 1826 ～ 1866）完成了定積

24、分概念中對一般 的有界函數(shù)的定義． 分析的嚴密化促進了實數(shù)系的邏輯基礎的建立． 維爾斯特拉斯于 1840 年 就開始考慮了無理數(shù)理論．到 1872 年戴德金（ Dedekind ，J． W．R 德） 1831～ 1916 ）的分化 用心 愛心 專心 - 7 - 使實數(shù)系建立在有理數(shù)基礎上，康托爾（ Cantor ，M． B．（德） 1829～ 1920）等建立了嚴格 的實數(shù)理論，使極限理論有了鞏固的基礎，從此微積分學才形成了嚴密理論體系，蘇聯(lián)數(shù)學 課程的設置中，稱這種理論體系的微積分為數(shù)學分析，并結(jié)合一般拓撲學的基礎、實變函數(shù) 論和泛函分析的基礎內(nèi)容，作為數(shù)學分析的延伸。 用心 愛心 專心 - 8 -