高中數(shù)學(xué)《集合的概念》教案11新人教B版必修1
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1、 第一課時(shí)集合-集合的概念 教學(xué)目的: ( 1)使學(xué)生初步理解集合的概念,知道常用數(shù)集的概念及記法 ( 2)使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義 ( 3)使學(xué)生初步了解有限集、無限集、空集的意義教學(xué)重點(diǎn): 集合的基本概念及表示方法 教學(xué)難點(diǎn): 運(yùn)用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法,正確表示 一些簡(jiǎn)單的集合 授課類型: 新授課 課時(shí)安排: 1 課時(shí)羅華的手稿 1831 年 1 月伽羅華在 教 具: 多媒體個(gè)結(jié)論,他寫成論文提交給法國(guó)科、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析: 1 .集合是中學(xué)數(shù)已證明的一個(gè)結(jié)果可以表明伽羅華
2、學(xué)的一個(gè)重要的基本概念在小學(xué)數(shù) 學(xué)中, 就滲透了集合的初步概念, 到了初議科學(xué)院否定它 1832 年 5 月 30 日中,更進(jìn)一步應(yīng)用集合的語言表述一些問題例如, 在代數(shù)中用到的有數(shù)集、 解忙寫成后, 委托他的朋友薛伐里葉集等; 在幾何中用到的有點(diǎn)集至于邏輯, 可以說, 從開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就離不開對(duì)造福人類 1832 年 5 月 31 日離開了邏輯知識(shí)的掌握和運(yùn)用,基本的邏輯知識(shí)在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中,也是認(rèn)識(shí),他死后 14 年,法國(guó)數(shù)學(xué)家劉維問題、研究問題不可缺少的工具這些可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)本章的意義,也是于劉維爾主編的《數(shù)學(xué)雜志》上本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ) 把集合的初步知識(shí)與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)
3、安排在高中數(shù)學(xué)的最開始, 是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)中, 這些知識(shí)與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系, 它們是學(xué)習(xí)、 掌握和使用數(shù)學(xué)語言的基礎(chǔ)例如, 下一章 講函數(shù)的概念與性質(zhì),就離不開集合與邏輯 本節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例入手,引出集合與集合的元素的概念, 并且結(jié)合實(shí)例對(duì)集合的概念作了說明然后, 介紹了集合的常用表示方法, 包括列舉法、 描述 法,還給出了畫圖表示集合的例子 這節(jié)課主要學(xué)習(xí)全章的引言和集合的基本概念學(xué)習(xí)引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使 學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)本章的意義本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是集合的基本概念 集合是集合論中的原始的、 不定義的概念在開始接觸集合
4、的概念時(shí), 主要還是通過 實(shí)例,對(duì)概念有一個(gè)初步認(rèn)識(shí)教科書給出的“一般地, 某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè) 集合,也簡(jiǎn)稱集”這句話,只是對(duì)集合概念的描述性說明 教學(xué)過程: 一、復(fù)習(xí)引入: 1.簡(jiǎn)介數(shù)集的發(fā)展,復(fù)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù),質(zhì)數(shù)與和數(shù); 2.教材中的章頭引言; 3.集合論的創(chuàng)始人——康托爾(德國(guó)數(shù)學(xué)家) (見附錄); 4.“物以類聚” ,“人以群分” ; 5.教材中例子( P4) 二、講解新課: 閱讀教材第一部分,問題如下: ( 1)有那些概念?是如何定義的? ( 2)有那些符號(hào)?是如何表示的?
5、( 3)集合中元素的特性是什么? (一)集合的有關(guān)概念: 用心 愛心 專心 1 由一些數(shù)、一些點(diǎn)、一些 形、一些整式、一些物體、一些人 成的 . 我 ,每 一 象的全體形成一個(gè)集合,或者 ,某些指定的 象集在一起就成 一個(gè) 集合 , 也 稱 集 . 集合中的每個(gè) 象叫做 個(gè)集合的元素 . 定 : 一般地,某些指定的 象集在一起就成 一個(gè) 集合. 1、集合的概念 ( 1)集合 :某些指定的 象集在一起就形成一個(gè)集合( 稱 集) ( 2)元素 :集合中每個(gè) 象叫做 個(gè)集合的元素 ( 3)元素 于集合的隸屬關(guān)
6、系 ( 4)集合中元素的特性 確定性 :按照明確的判斷 準(zhǔn) 定一個(gè)元素或者在 個(gè)集合里,或者不在,不能模棱兩可 在 稱屬于,即 a 是集合 A 的元素,就 a 屬于 A, 作 a∈ A 集合通常用大寫的拉 丁字母表示,如 A、B、C、P、Q??元素通常用小寫的拉丁字母表示,如 a、b、c、p、q?? “∈”的開口方向,不能把 a∈A 倒 來寫 不在 稱,不屬于:如果 a 不是集合 A 的元素,就 a 不屬于 A, 作 a A 互異性 :集合中的元素沒有重復(fù) 無序性 :集合中的元素沒有一定的 序(通常用正常的 序?qū)懗觯? 2 、集合的表示方法
7、: ( 1)列 法:在大括號(hào)內(nèi)將集合中的元素一個(gè)個(gè)列 出來,元素之 用逗號(hào)隔開,具體又分以下三種情況: ①元素個(gè)數(shù)少且有限 ,全部列 ;如 {1 , 2, 3} ②元素個(gè)數(shù)多且有限 , 可以列 部分, 中 用省略號(hào)表示, 列 幾個(gè)元素,取決于能否 普遍看出其 律,稱中 省略列 。如“所有從 1 到 10000 的自然數(shù)全體”可以表示 {1 , 2, 3,??, 10000} ; ③三是當(dāng)元素個(gè)數(shù)無限但有 律 , 也可以用 似的省略號(hào)列 , 如:自然數(shù)構(gòu)成的集合, 可以表示 {0 , 1, 2, 3, 4,?? } ,稱端省略列 。 ⑵描述法
8、 它又可 分 文字描述及屬性描述法兩 :前者是在大括號(hào)內(nèi)用文字寫出集合的屬性,由于括號(hào)本身含有了“所有” 、“全部”的意 ,故 似的量 要去掉,如:全體自然數(shù)構(gòu)成 的集合寫成 { 自然數(shù) } 而不寫成 { 全體自然數(shù) } :特征描述法是集合中最廣泛、 最抽象的一種表 示方法,其格式一般 { 元素的一般形式 | 元素的特征 } ,如:{(x,y)|y=x 2,x ∈ R}={ 拋物 y=x2 上 的 點(diǎn) } , 而 {y|y=x 2,x ∈ R} 表 示 函 y=x 2 的 y 的 取 值 范 圍 ; 方 程 x2-1=0 的 解 集 為 {x|x 2-
9、1=0}={-1,1}, 不是 {x 2-1=0} (它 是用列 法表示的一個(gè)集合, 個(gè)集合中只有一 個(gè)元素,就是方程 x2-1=0, 不是它解的集合。 ( 3) 示法 一是一 數(shù) 表示, 如初中 段所學(xué)的不等式解集表示方法, 其原理是數(shù) 的定 與數(shù) 上的點(diǎn)與 數(shù)一一 ;二是直角坐 表示,如 { ( x,y ) |y=x 2 }; 三是 Venn ,即畫個(gè) 圈表示集合(有的 上稱文氏兔、文斯 ) ; ( 4)符號(hào)表示法分 符號(hào)法及區(qū) 表示法:常用數(shù)集及 法 非 整數(shù)集 (自然數(shù)集):全體非 整數(shù)的集合 作 N, N 0,1,2,
10、正整數(shù)集 :非 整數(shù)集內(nèi)排除 0 的集 作 N* 或 N+ N * 1,2,3, 用心 愛心 專心 2 整數(shù)集 :全體整數(shù)的集合記作 Z , Z 0, 1, 2, 有理數(shù)集 :全體有理數(shù)的集合記作 Q , Q 整數(shù)與分?jǐn)?shù) 實(shí)數(shù)集 :全體實(shí)數(shù)的集合記作 R R 數(shù)軸上所有點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的 數(shù) 不含任何元素的集合稱空集,符號(hào)為 注:( 1)自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的,也就是說,自然數(shù)集包括 數(shù) 0 ( 2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除 0 的集記作 N* 或 N+ Q、 Z、 R 等其它
11、 數(shù)集內(nèi)排除 0 的集,也是這樣表示,例如,整數(shù)集內(nèi)排除 0 的集,表示成 Z* 3,集合的分類: 有限集(元素的個(gè)數(shù)有 限個(gè),含有空集) 按元素的個(gè)數(shù)分作 無限集(元素的個(gè)數(shù)有 無限個(gè)) 三、練習(xí)題: 1、下列各組對(duì)象能確定一個(gè)集合嗎? ( 1)所有很大的實(shí)數(shù)(不確定) ( 2)好心的人 (不確定) ( 3) 1, 2, 2,3, 4, 5.(有重復(fù)) a b _-2,0,2__ 2、設(shè) a,b 是非零實(shí)數(shù),那么 可能取的值組成集合的元素是 a b 3、由實(shí)數(shù) x, -x, | x| , x 2 ,
12、 3 x3 所組成的集合,最多含( A ) ( A)2 個(gè)元素 ( B) 3 個(gè)元素 (C) 4 個(gè)元素 ( D)5 個(gè)元素 4、設(shè)集合 G中的元素是所有形如 a+ b 2 ( a∈ Z, b ∈ Z)的數(shù),求證: (1) 當(dāng) x∈ N時(shí) , x ∈ G; (2) 若 x∈ G, y∈ G,則 x+ y∈G,而 1 不一定屬于集合 G x 證明 (1) :在 a+ b 2 (a∈ Z, b ∈ Z)中,令 a=x∈N,b=0, 則 x= x + 0* 2 = a + b 2 ∈ G,即 x∈ G 證明
13、(2) :∵ x∈G, y∈ G, ∴ x= a + b 2 (a∈ Z, b ∈ Z) ,y= c + d 2 ( c∈ Z, d ∈ Z) ∴ x+y=( a + b 2 )+( c + d 2 )=(a+c)+(b+d) 2 ∵ a∈ Z, b ∈ Z,c ∈ Z, d ∈Z ∴ (a+c) ∈ Z, (b+d) ∈ Z 用心 愛心 專心 3 ∴ x+y =(a+c)+(b+d) 2 ∈ G, 又∵ 1 1 = a 2b2 a2 b 2
14、 x a b 2 a2 2b 2 且 a , b 不一定都是整數(shù), 2 2b 2 2 2b 2 a a ∴ 1 1 = a a 2 b 2 不一定屬于集合 G x a b 2 a2 2b 2 2b2 四、小結(jié): 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容: 1.集合的有關(guān)概念: 確定性,互異性,無序性 列舉法 2.集合的表示 描述法 圖示法 符號(hào)表示法 五、
15、課后作業(yè) :教材 P7____1~5 第二課時(shí) 集合表示法的轉(zhuǎn)換 教學(xué)目的:( 1)進(jìn)一步理解集合的有關(guān)概念,熟記常用數(shù)集的概念及記法 ( 2)使學(xué)生初步了解有限集、無限集、空集的意義 ( 3)會(huì)運(yùn)用集合的兩種常用表示方法 教學(xué)重點(diǎn): 集合的表示方法 教學(xué)難點(diǎn): 運(yùn)用集合的列舉法與描述法,正確表示一些簡(jiǎn)單的集合 授課類型: 新授課 課時(shí)安排: 1 課時(shí) 教學(xué)過程: 一、復(fù)習(xí)引入: 上節(jié)所學(xué)集合的有關(guān)概念 1、集合的概念 集合 :某些指定的對(duì)象集在一起就形成一個(gè)集合集合具有 ( 1)確定性 :按照明
16、確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里,或者不在,不能模棱兩可 ( 2)互異性 :集合中的元素沒有重復(fù) ( 3)無序性 :集合中的元素沒有一定的順序(通常用正常的順序?qū)懗觯? 2、集合的表示方法 列舉法(含全部列舉、 中間省略列舉、端省略 列舉) 描述法(含文字描述及 特征描述) 圖示法(含數(shù)軸、直角 坐標(biāo)、 Venn圖表示) 符號(hào)表示法(常用數(shù)集 及空集) 二,新課 1,其實(shí),在符號(hào)表示法中還有一種方法——區(qū)間表示法 用心 愛心 專心 4 集合 區(qū)間 讀法 {x|a
17、 18、:
列舉法
具體化
文字描述法
熟悉化
屬性描述法
簡(jiǎn)單化
符號(hào)表示法
直觀化
圖示法
數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵也是這“四化”
3,典型例題
例 1、已知集合 A={a-2,2a 2+5a,10}, 且 -3 ∈ A, 求 a 解: a-2=-3 或 2a2 +5a=-3 故 a=-1 或 a=-3/2
當(dāng) a=-1 時(shí), 2a2+5a=a-2=-3 與集合的互異性矛盾,舍去
當(dāng) a=-3/2
時(shí),滿足條件
總之, a=-3/2
[ 說明 ] 由于解題過程中用到了不等價(jià)變形,所 19、以要進(jìn)行檢驗(yàn)
例 2
、已知集合 {1,a,b}={a,a
2
,ab}, 求實(shí)數(shù) a,b
1 b
a2
ab
(a 1)( a b 1)
0
解[ 方法一 ]
1.b a2 ab
( a3
1)b 0
因 a≠1 故 a=-1,b=0
[ 方法二 ] 由已知
a 2
1
a2
b
∵a≠ 1
∴a=-1,b=0
ab
b
或
1
ab
練習(xí): {m,m+d,m 20、+2d}={m,mq,mq 2}, 求 q
(答案: q=-1/2 )
例 3,已知集合 A={x|(a 2-1)x
2+(a+1)x+1=0,x ∈ R} 中僅有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)
a 的值
解:本題分兩類進(jìn)行
2
時(shí) ,a=1
或 a=-1; 當(dāng) a=1 時(shí), A={x|2x+1=0}={-1/2},
滿足條件;當(dāng)
a=-1
⑴當(dāng) a -1=0
時(shí),A=
,舍去。
⑵當(dāng) a2-1 ≠ 0 時(shí) ,a ≠ 1 且 a≠ -1 ,△ =0, a 21、=5/3
總之, a=5/3
或 1
例 4,已知 S 是滿足下列兩個(gè)條件的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合:①
1∈ S; ②若 a∈ S,則
1 ∈
1
a
用心 愛心 專心 5
S. 請(qǐng)回答下列問題
⑴若 2∈ S, 求證 S 必有另外兩個(gè)數(shù);⑵求證,若
a∈ S,則 1- 1 ∈ S; ⑶ S 中元素能否
a
只有一個(gè)?說明理由;⑷求證:
S 中至少有三個(gè)不同的元素
解⑴ 2∈ S
1
22、1
1
-1 ,
=-1 ∈ S
=1/2 ∈ S
=2∈ S,S 中必有另外兩個(gè)數(shù)
1
2
1 ( 1)
1
1
1/2
2
⑵證明: a∈ S
1
∈ S
1
1
= a 1 =1- 1 ∈ S
1
a
1
a
a
a
1
⑶假設(shè) S 中元素只有一個(gè),則
1
1
=a,a 2-a+1=0 有實(shí)數(shù)解,與 a2-a+1=0
沒有實(shí)數(shù)解矛
盾,故 S 中的元不能只 23、有一個(gè)
a
⑷由⑵ S 中,至少有
a,
1
,1-
1 三個(gè)不同的元,只要證明三者兩兩不等。假設(shè)
1- 1
= 1
1
a
a
,有 a2-a+1=0
但它沒有實(shí)數(shù)解,矛盾。同理,三者兩兩不等,從而
S 中至少有
a
1
a
三個(gè)不同的元素
4,總結(jié):
本節(jié)主要在符號(hào)表示法上又加了區(qū)間表示的概念, 同時(shí),集合表示法之間的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的四大原則性思想
作業(yè):見補(bǔ)充習(xí)題
用心 愛心 專心 6
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