《平面向量數(shù)量積導學案(3課時)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《平面向量數(shù)量積導學案(3課時)（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、11平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義導學案（1）學習目標:1、利用物理中功的概念了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解向量的數(shù)量積概念及幾何意義；能夠運用這一概念求兩個向量的數(shù)量積，并能根據(jù)條件逆用等式求向量的夾角;2、掌握由定義得到的數(shù)量積的 5條重要性質(zhì)，并能運用性質(zhì)進行相關的判斷和運算；3、了解用平面向量數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，培養(yǎng)學生的應用意識學習過程一、課前準備復習：1、向量加法和減法運算的兩個法則是 和.2、向量數(shù)乘運算的定義是 .思考：通過前面的學習我們知道向量的運算有向量的加法、減法、數(shù)乘，那么向量與向量能否“相乘”呢？二、新課導學探究1:如下圖，如果一個物體在

2、力 F的作用下產(chǎn)生位移 s,那么力F所做的功W=,其中方是 思考：這個公式的有什么特點？請完成下列填空：f （力）是 量；s （位移）是 量；a是； w（功）是 量；結論：功是一個標量，功是力與位移兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積啟示：能否把“功”看成是力與位移這兩個向量的一種運算的結果呢？新知1 ：向量的數(shù)量積（或內(nèi)積）的定義已知兩個非零向量 a和b ,我們把 數(shù)量a|b cosB叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記b cosH.其中日是a和b的夾角（0 w 。w兀）作a b ,即說明：記法“ a b”中間的“ ”不可以省略，也不可以用“ x ”代替。 兩個非零向量夾角的概念：非零向量a與b ,

3、作OA = a , OB = b ,則/aob =。（ow。w兀）叫a與b的夾角（兩向量必須是 同起點的）特別地：當。=o時，a與b同向；當。=兀時，a與b反向；當。=工時，a與b垂直，記al b ；2“規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零，即0，a=0。探究2：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結果有什么不同？影響數(shù)量積大小因素有哪些？ 期望學生回答：線性運算的結果是向量；數(shù)量積的結果則是數(shù)，這個數(shù)值的大小不僅和向量a與b的模有關，還和它們的夾角有關。這個數(shù)的符號由cos6的符號所決定學生討論，完成下表：e的范圍0 9 908=900 e 443、向量a在b方向上的投影是 ； a b的幾何意義為：

4、數(shù)量積a七等于a的長度a與b在a方向上的投影 的乘積.r -444、設a和b都是非零向量，8是a與b的夾角，則當a與b垂直時，9 =90s,即a _Lb a b =當a與b同向時，日=0a b=；當a與b反向時，1 =180 , a b=;當 a =b ,即 a a=,或 a1 =；cosi=因為cos9| 1 ,所以a鼻 a lb .二、新課導學探究1：我們學過了實數(shù)乘法的哪些運算律？學習了向量數(shù)量積后，這些運算律對向量是 否也適用？（學生猜想并給出解釋說明，錯誤的說明理由）探究2：你能推導向量數(shù)量積運算律 （a+b ）c=a c+b，c嗎?（師生共同完成）新知1 ：已知向量a,b,c和實數(shù)

5、九，則 a b =b a a b = a b =a b a b c = a c b c證明：交換律 設a, b夾角為e,則a b = | a| b|cos日，b a = | b| a|cos 6 a b = b a(2)數(shù)乘結合律：(, a) b = (a b) = a( 1 b)證：若 2 0,(九a) b =九| a| b|cos 日， 九(a b) =X| a| b|cos 日，a(九b) =X | a| b|cos 6,若, 0, ( 1 a) b =| a| b|cos(二”)=一生|a| b|( -cos 力= | a| b|cos 二(a b) =| a| b|cos ja (

6、1 b) =| a| b|cos(二-力= -1| a| b|( -cos u) = | | a| b|cos 口三、典型例題2OOOO例 1、 我們知道，對任思 a, b 匚 R,恒有（a +b ） =a +2ab + b , （a +b a -b）=a -b對任意向量a,b ,是否也有下面類似的結論？-14 2 -124 442j -I 222 22（a +b ） =a +2a b +b ；（a +b ）a-b ）=a -b .例2、 已知a =6, b=4, a與b的夾角為60，求：4一 叱、 4444 4 a b ; a -b ；（a +2b ） a -3b ）； （4） a + b

7、.例3、已知a=3,b=4,且a與b不共線，k為何值時，向量t + kb與akb互相垂直？課堂練習 判斷正誤，并簡要說明理由a - 0 = 0；0,a=o；00-7B = BA； I a - b I = I a | | b I ;若a w 0,則對任一非零b有a b wo；ab=o,則a與b中至少有一個為0 ；對任意向量a , b , c都有（a.b）C = a（b.C）；a與b是兩個單位向量，則 a 2 = b 2 ；若a b = b c則a = c解：上述8個命題中只有正確；對于：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應有 0 a=o；-4對于：應有o a = 0 ；對于：由數(shù)量積定義有I a b

8、|a I - I b | | cos 9 | | a | | b | ,a - b | = | a| b | ；這里。是a與b的夾角，只有。=o或。=兀時，才有|對于：若非零向量 a、b垂直，有a - b = o ；對于：由a b =?？芍猘 b可以都非零；對于：若a與C共線，記a=入C.則 a b =（入 C） b = x （C b）=入（b .C）,.1. （ a - b ） , C = x （b.C）C=（b.C）入 C=（b.C） a若a與C不共線，則（a.b）Cw（b.C）a,這是因為左端是與C共線的向量，而 右端是與a共線的向量，而一般 a與C不共線.對于：已知實數(shù) a、b、c（b

9、M）,則ab=bc=a=c.但是a b = b，C* a 二 C如右圖：a b = | a| b |cos p = | b|OA| , b C = | b | c |cos a = | b |OA|= ab=bC 但 a#c評述：這一類型題，要求學生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運上土二Cj b .算律.四、總結提升1、向量數(shù)量積的運算律及其應用：(；，a b - a b = a 1 b三 R4一 彳交換律成立：a b =b3對實數(shù)的結合律成立:分配律成立：a-b c=a c-b c特別注意：（i）結合律不成立：即一般的（ab）c#a（b-c）；（2）消去律不成立：即一般的a,b=bc a =

10、 c- - *（3）a b = o,則a與b中至少有一個為0是錯誤結論2、課本中的結論:T T T T I? a b i ia -b = a -bj 2 244 4 42 *24(a +b ) =a +2a b +b = a +2a2 2a a -2a32 2b+b可直接應用美過自我評價：你完成本節(jié)導學案的情況為（）A. 很好B. 較好C. 一般D. 較差 五、當堂檢測：1 .若a,b,c為任意向量，mwR,則下列等式不一定成立的是（）A. a b】qc=ai.b c B. a b c=ac bc廿&4C. m a b = ma mb D. a b c = a b c2.已知a =6, a與b

11、的夾角為60 ,且（a +2b ）a -3b ）=72，則b為（A. 16 B. 6 C. 5 D. 444443 .已知a =1, b =應，且（a b ）與a垂直，則a與b的夾角為（）A. 601B. 301 C.135：D. 451,+ HiW 4“424 . a =3,H =4 ,且 a 與 b 的夾角為 150 ,則（a +b ）=.5 .已知 a =21b =5,a b=3,則？+b=, a _b =.六、課后作業(yè)1、已知a =3, b|=4,且a與b的夾角e=150：,求：小 4 1G 唾 ,、d J 2 ,、 J /J - a b ; a -b ；（a +b ）； a +b ；

12、 （5） （a +2b ），（a -3b ）2、已知a1 =2,b=5 ,a b =-3，求 a +b , a -b1;,144 4 4443、已知a =4,b=3,（2a3bM2a+b ）=61 ,求a與 b的夾角8及 a + b 值、i dTwdd4 .設m,n是兩個單位向量，其夾角為60,求向量a =2m+ n與b =2n -3m的夾角.5 .已知 a =7,b =4,a +b| =9 ,求 a -b1.6 .已知a, b是非零向量，且滿足 （a2b），a, （b 2a） _L b ,求a與b的夾角.課題2 . 4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角導學案學習目標1.掌握平面向量數(shù)量積

13、的坐標表示方法及其變式（夾角公式） ；2、熟練掌握向量垂直的兩種形式的等價條件；3.理解模長公式與解析幾何中兩點之間距離公式的一致性學習過程 A，jni. H一、課前準備復習：1、設兩向量 a,b的夾角為0 ,則日w；且當 日=時，a/b ;當 9 = 時，a _Lb.2、已知兩個非零向量a和b,把數(shù)量 叫做向量a與b的數(shù)量積，記作，即;4 44 44 443、向量a在b方向上的投影是 ； a b的幾何意義為：數(shù)量積a，b等于a的長度a與b在a方向上的投影 的乘積.4、設a和b都是非零向量，日是a與b的夾角，則當a與b垂直時，日=90,即a_Lbu a b=, 廿當a與b同向時，6=0, a

14、b =;T r4 4當a與b反向時，0=180 , a b=;當 a =b ,即 a a=,或 a =； COST1 =因為COS0| 1 ,所以5、向量數(shù)量積的運算率：向量數(shù)量積的交換律：（，a 卜b = 向量的數(shù)量積的分配律：2 2 2-j T t -i(a +b ) =. (a +b ) (a _b 尸.二、新課導學探究1 ：平面向量數(shù)量積的坐標表示已知兩個非零向量 ：=缶，乂)b = (x2,y2 ),怎1用a與b的坐標表示3 3呢？思考1：設i、j是分別與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若兩個非零向量a=(x1,y1),4 * *b = (x2,y2),則向量a與b用i、j分別如何表示

15、？4 44思考2：對于上述向量i、j ,則i2=, j2 =, ij=根據(jù)數(shù)量積的運算性質(zhì)，a b = 新知1：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和，即g3 =x1x2 + y1y2.探究1：由平面向量數(shù)量積的坐標表示可以得到哪些結論呢？思考1：設向量a=(x,y),利用數(shù)量積的坐標表示，I a I = 思考2：如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1, y1), (x2,y2),那么向量a的坐標如何表示？ I a I = 思考3：設向量a = (x1，必)，b = (x2, y2),若a，b ,則x1，y1，x2, y2之間的關系如何？反之成立嗎？思考4 ：設a、b是兩個

16、非零向量，其夾角為。，若a = (x1, y1), b = (x2, y2),那么cos 0如何用坐標表示？新知2：44 2彳 2222右 a =(x, y，則 a =x +y ，或 a = %x + y .T ；22右 A(x1,y1), B(x2,y2 )，則 AB =dx1, y2 y),則 AB =色-x)+必-y ).葉胃.若 a 二(%,弘)b=(x2，y2 ),則 a_Lbu xp2 +yy2=0.兩個非零向量a=(x1,y1)b=(x2,y2 a是a與b的夾角，則 d 河二一 Jy1y2一 ab1.x； y2、x； y2三、典型例題例1、(1)已知a =(,4 )b=(5,2%

17、求 丸b , a b及a,b之間夾角8余弦值.444444444444(2)已知 a=(2,3 )b=(2,4)c =(1,-2 卜求a b, (a+b) (a-b) , a(b + c), (a+b)2例2、已知A(1,2 ), B(2,3 ), C(2,5 ),試判斷AABC的形狀，并給出證明。變式：在4ABC中，AB=(1,1), AC =(2, k),且 ABC的一個內(nèi)角為直角，求 k值。小結：向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應的兩條線段或直線是否垂直的重要方法之一.444例3、已知 a=(3,2), b=(T,k ),若(5a b )(b3a )= 55 ,試求 k 的值.四、總結提升

18、1 .用坐標表示向量的數(shù)量積，模，夾角等 .什*4附v(1)若 a =(x，y)，b =(x2,yz),則|a 匕=為*2 +丫7，M 2 0c+ I r r(2)若 a =(x,y ,則 a =x +y ,或 a =Jx +y .,、什，T ,22(3)右 A(x1，y1)，B(x2,y2 ),則 AB =x 2y 2 ) 1 )，則 AB =丫一為)十2y1).44 4兩個非零向量a =(x,y1 1b =口2, y2 )日是a與b的夾角，則 COST J=X2 y1y2a bX12 y2 x2 y2H4)，則 a!buab=0u *涇+丫1丫2 = 0_4H2.兩向量垂直的兩種表不：若a

19、 =x y，1bJ x 2,2空另一自我評價：你完成本節(jié)導學案的情況為(A. 很好B. 較好C. 一般D. 較差 五、當堂檢測叫叫4 41 .已知a =(4,41b =(5,2,則a b等于()A. 23 B. 7 C.-23D.-7用442 .若a=(Y4 ), b =(5,12),則a與b夾角的余弦為()A. 63B.丑C. .33d -6365656565T 2 T 3 .若 a=( b=(5,6 卜則 3a 4a b 等于(A. 23 B. 57 C. 63 D. 834 . a =(2,3), b =(-2,4 ),則(a+b ab 戶一5.已知向量OA=(1,2OB=(3,m ),

20、若 OA_l7B,則 m =17六、課后作業(yè)1、若 a 二( 34)b =(5,A.23B.7C. 23D. -72、若 a 二( 34)b =(5,12),則a與b夾角的余弦值為(1.63A. 一6533B. 一6533 C. 65D.6365已知 a =(3,Y), b =(2,x),c =(2,y )，且 a/ b , a _l_c ,求 b -c ; b、c 的夾角.4、已知平面向量a =(1 , - 3), b =(4 , 2),若九a+b與a垂直，= ；2.已知點A(1,2劉B(4,1 ),問能否在y軸上找到一點C ,使ACB=90 ,若不能，說明理由；若能，求C點坐標.3、已知a=(4,3), b=(1,2), m=a_bn=2，+b,按下列條件求實數(shù)九的值.(i)mn；(2)mn ；(3)m=1n4、已知四點 A(1,0), B(5,2), C(8,4卜D(4,6)求證：四邊形 ABCD是直角梯形.5、已知a =(%2 )b =(2,5 ),且a與b的夾角是鈍角，求 人的取值范圍。