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1、經濟數學線性代數學習輔導及典型例題解析第1-2章 行列式和矩陣 了解矩陣的概念,熟練掌握矩陣的運算。 矩陣的運算滿足以下性質 了解矩陣行列式的遞歸定義,掌握計算行列式(三、四階)的方法;掌握方陣乘積行列式定理。 是同階方陣,則有: 若 是 階行列式, 為常數,則有: 了解零矩陣,單位矩陣,數量矩陣,對角矩陣,上(下)三角矩陣,對稱矩陣,初等矩陣的定義及性質。理解可逆矩陣和逆矩陣的概念及性質,掌握矩陣可逆的充分必要條件。 若 為 階方陣,則下列結論等價 可逆 滿秩 存在 階方陣 使得 熟練掌握求逆矩陣的初等行變換法,會用伴隨矩陣法求逆矩陣,會解簡單的矩陣方程。 用初等行變換法求逆矩陣: 用伴隨矩
2、陣法求逆矩陣: (其中 是 的伴隨矩陣) 可逆矩陣具有以下性質: 了解矩陣秩的概念,會求矩陣的秩。將矩陣用初等行變換化為階梯形后,所含有的非零行的個數稱為矩陣的秩。典型例題解析例1 設 均為3階矩陣,且 ,則 。解:答案:72因為 ,且 所以 例2 設 為 矩陣, 為 矩陣,則矩陣運算( )有意義。解:答案:A因為 ,所以A可進行。關于B,因為矩陣 的列數不等于矩陣 的行數,所以錯誤。關于C,因為矩陣 與矩陣 不是同形矩陣,所以錯誤。關于D,因為矩陣 與矩陣 不是同形矩陣,所以錯誤。例3 已知 求 。分析:利用矩陣相乘和矩陣相等求解。解:因為得 。例4 設矩陣 求 。解:方法一:伴隨矩陣法 可
3、逆。且由 得伴隨矩陣 則 = 方法二:初等行變換法注意:矩陣的逆矩陣是唯一的,若兩種結果不相同,則必有一個結果是錯誤的或兩個都是錯誤的。例4 設矩陣 求 的秩。分析:利用矩陣初等行變換求矩陣的秩。解: 。例5若 是 階矩陣,且 ,試證 證明: 注意:在證明中用到了已知條件和轉置行列式相等的結論。第三章 線性方程組一、本章主要內容主要概念:齊次線性方程組 非齊次線性方程組 方程組的矩陣表示 系數矩陣 增廣矩陣 一般解 通解(全部解) 特解 基礎解系 自由元(自由未知量)維向量 線性組合(線性表出)線性相關 線性無關 極大線性無關組 向量組的秩 向量空間 向量空間的基和維數主要性質:齊次線性方程組
4、解的性質 非齊次線性方程組解的性質主要定理:線性方程組的理論 齊次線性方程組有非零解的充分必要條件 齊次線性方程組解的結構 非齊次線性方程組有解的充分必要條件 非齊次線性方程組解的結構 向量組線性相關性的有關定理(教材中第三章第三節(jié))定理1、2、3及有關推論;極大無關向量組的有關定理(教材中第三章第四節(jié))定理1、2、3主要方法:高斯消元法 齊次線性方程組解的情況判別 非齊次線性方程組解的情況判別 基礎解系的求法 通解的求法 向量組線性相關(無關)的判別法 極大線性無關組的求法二、本章重點:向量組相關性的概念及判別,線性方程組相容性定理,齊次線性方程組基礎解系幾通解的求法,非齊次線性方程組特解和
5、全部解的求法。三、典型例題解析例1 向量組,若向量組線性相關則= 。解:答案:2因為由有關定理,向量組線性相關的充要條件是向量組的秩數小于向量組向量個數,所以求向量組的秩,決定的取值,使其秩數小于3。具體解法是 當時,故向量組線性相關。例2 設向量組為 求它的一個極大無關組,并判斷向量組的相關性。分析:解:是向量組的一個極大無關組,此向量組線性相關。例3 線性方程組當為何值時方程組有解,有解時解的情況如何?分析:因為增廣矩陣的秩與的取值有關,所以選擇的值,使解 時,有,方程組有解且有無窮多解。例4 設線性方程組的增廣矩陣經初等行變換后化為求方程組的通解。分析:將階梯形矩陣繼續(xù)化為行簡化階梯形矩陣,求出方程組的一般解,然后求特解,相應齊次方程組的基礎解系,寫出方程組的通解。解: 得到方程組的一般解為 (其中是自由元)令,得的一個特解再由相應齊次方程組的一般解 (其中是自由元)令,得的一個解向量令,得的另一個解向量是的一個基礎解系,于是方程組的通解為其中為任意常數。