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1、數(shù)學(xué)分析選講教案1授課時間2005 年9月12日第3周星期一 第 四 大節(jié)授課地點6402實到人數(shù)117授課題目函數(shù)的概念與性質(zhì)、實數(shù)理論授課專業(yè) 班級信息與計算科學(xué)教學(xué)目的與教學(xué)要求1. 掌握函數(shù)的概念、性質(zhì)和運算的方法。2. 理解實數(shù)理論的完備性，并會熟練運用，證明有關(guān)問題,.主要內(nèi)容1、各種符號，函數(shù)的概念，幾類重要函數(shù)，函數(shù)的性質(zhì)，定理1.1 Contor閉區(qū)間套定理，定理1.2 （Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界數(shù)列必有收斂子列（列緊性），定理1. 3 (完備性定理) 數(shù)列收斂的充要條件是它為基本數(shù)列。定理1.4 （單調(diào)收斂定理） 單調(diào)有界數(shù)列必收斂。定理1.

2、5 （確界存在定理）上有界的數(shù)集必有上確界；下有界的數(shù)集必有下確界。定理 1.6 （HeineBorel有限覆蓋定理）重點與難點重點：函數(shù)的性質(zhì)和實數(shù)理論。難點：實數(shù)理論教學(xué)方法手段（教具）討論法，傳統(tǒng)教學(xué)方法與使用多媒體相結(jié)合參考資料數(shù)學(xué)分析，高等數(shù)學(xué)，2005年數(shù)學(xué)研究生考題 2006年高等數(shù)學(xué)考試測試題課后作業(yè)與思考題作業(yè)1.2.3.4.5.6思考題：六個實數(shù)完備性定理的相互證明。教學(xué)后記講稿部分教學(xué)過程時間分配第一講：函數(shù)的概念與性質(zhì)，實數(shù)理論一、函數(shù)的概念與性質(zhì)（一）常用符號 N, Z, R, (二) 函數(shù)的概念1. 函數(shù)的定義2. 幾個重要函數(shù)l 分段函數(shù) l 符號函數(shù) l Dir

3、ichlet 函數(shù)l Rinmann 函數(shù) 3. 初等函數(shù) 4. 周期函數(shù) 5.奇偶函數(shù)6. 復(fù)合函數(shù) 7. 反函數(shù) (三) 函數(shù)的性質(zhì) l 有界性 l 周期性 l 奇偶性 l 單調(diào)性 20m第 1 頁 共 頁講稿部分教學(xué)過程時間分配 , 求 =， 求 設(shè) = 由數(shù)學(xué)歸納法 證明 為R上的有界函數(shù)。 二、實數(shù)完備性定理 在研究數(shù)列極限以前，我們要討論一下極限存在的環(huán)境問題。它是數(shù)學(xué)分析的另一個基礎(chǔ)：實數(shù)系和它的完備性。所謂完備性，實質(zhì)上就是對極限運算的“封閉性”。正因為實數(shù)系有完備性（或連續(xù)統(tǒng)），所以在實數(shù)系中討論極限問題時才沒有后顧之憂。 定理1.1 Contor閉區(qū)間套定理，定理1.2 （

4、Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界數(shù)列必有收斂子列（列緊性）。定理1. 3 (完備性定理) 數(shù)列收斂的充要條件是它為基本數(shù)列。20m第 2 頁 共 頁講稿部分教學(xué)過程時間分配定理1.4 （單調(diào)收斂定理） 單調(diào)有界數(shù)列必收斂。定理1.5 （確界存在定理）上有界的數(shù)集必有上確界；下有界的數(shù)集必有下確界。定理 1.6 （HeineBorel有限覆蓋定理）三、概念辨析與問題證明1、 區(qū)間套與有限覆蓋定理的應(yīng)用區(qū)間套定理通常用于將函數(shù)在某一閉區(qū)間上成立的性質(zhì)歸結(jié)為在某點鄰域的性質(zhì)，體現(xiàn)了整體收縮為局部的特點。他所證明的結(jié)論涉及到某一點的問題，例如，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點存在性問題，

5、有界數(shù)列存在收斂子列問題等。而有限覆蓋定理得作用與區(qū)間套定理相反，它是把函數(shù)在每點某鄰域的性質(zhì)拓展為函數(shù)在閉區(qū)間上所共有的性質(zhì)。例如函數(shù)在閉區(qū)間上逐點連續(xù)推出函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)。 區(qū)間套與有限覆蓋定理是同一事物的兩個方面，可以相互轉(zhuǎn)化，從反證法的觀點來看，局部點的反面變成了整體，反之亦然。若函數(shù) 在上有定義恒取正值， = 則在a, b 上必有正的下界。 2 聚點與聚點定理 是的聚點， 聚點是對數(shù)集而言，極限是對數(shù)列而言。聚點不一定是極限點，極限點也不一定是聚點。當收斂數(shù)列有無窮項相異時，則極限點比為聚點。 ，不是的聚點，但數(shù)列有極限。 有聚點但不是沒有極限點20m第 3 頁 共 頁講稿部分

6、教學(xué)過程時間分配聚點的等價定義：是的聚點，以下三個定義等價：I 含有的無窮多個點II 含有內(nèi)至少一個點III 使得 3確界原理應(yīng)用舉例設(shè)函數(shù) 在上單調(diào)遞增，且 證明 使得： 由， E非空有上界，必有上確界 欲證 單增 是的一個上界，所以 （1）又單增，得到 即 （2）由（1）（2）知道 3. 致密性定理應(yīng)用舉例設(shè)函數(shù)， 且有唯一最值點， 若 且 證明： 為有界數(shù)列，有收斂的子列記作20m第 4 頁 共 頁講稿部分教學(xué)過程時間分配并記 顯然 再由 這與為的唯一最值點矛盾。4多種方法證明設(shè)函數(shù) 在上只有第一類間斷點（可以有無窮多個），證明 在上有界1：（致密性定理）反證，若在上無界，存在，可找出，

7、有界，必有收斂的子列 時在上無界。小結(jié)：掌握函數(shù)的各種性質(zhì)，理解初等函數(shù)的概念及復(fù)合運算。 20m第 5頁 共 頁講稿部分教學(xué)過程時間分配作業(yè)題1 , 求 2 試證 不是周期函數(shù)3 證明 每一點都有有限值，但每一點的鄰域內(nèi)函數(shù)無界。 4 證明是滿足不等式 一切正有理數(shù)的下確界。 5 已知在每一點極限存在，證明在上有界6設(shè)函數(shù) 且有界，=在至多有有限實根，證明存在35m第 6 頁 共 頁數(shù)學(xué)分析選講教案2授課時間2005 年9月14日第3周星期三 第二 大節(jié)授課地點6403實到人數(shù)117授課題目數(shù)列極限，實數(shù)理論授課專業(yè) 班級信息與計算科學(xué)教學(xué)目的與教學(xué)要求1 掌握數(shù)列的概念、性質(zhì)和運算的方法。

8、2掌握數(shù)列收斂的判別方法，并會熟練運用，證明有關(guān)問題,.主要內(nèi)容1、數(shù)列極限概念、 性質(zhì)，唯一性、有界性、包號性、保序性、迫斂性。（Bolzano -Weierstrass定理）任何的有界數(shù)列必有收斂子列（列緊性），柯西基本列。2、 收斂數(shù)列判別 單調(diào)收斂定理、 單調(diào)有界數(shù)列必收斂。海因定理。Stolz 定理，壓縮影響原理3、 判別法應(yīng)用及運算技巧重點與難點重點：各種判別法。難點：運算技巧教學(xué)方法手段（教具）討論法，傳統(tǒng)教學(xué)方法與使用多媒體相結(jié)合參考資料數(shù)學(xué)分析，高等數(shù)學(xué)，2005年數(shù)學(xué)研究生考題 2006年高等數(shù)學(xué)考試測試題課后作業(yè)與思考題作業(yè)1.2.3.4.5.6思考題：各種判別法相互關(guān)系

9、。教學(xué)后記講稿部分教學(xué)過程時間分配第二講 數(shù)列的極限 數(shù)學(xué)分析的最根本的概念是極限。數(shù)學(xué)分析所有的概念都基于極限。如數(shù)列極限，函數(shù)極限，連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，積分等的定義都是某種類型的極限。 （一）基本概念和定理1 性質(zhì) 唯一性，有界性，保號性，保序性迫斂性2 四則運算3 幾個公式 4常用收斂判別方法（1）Cauchy Principle, （2）單調(diào)有界定理，（3）兩面夾定理，（4）Stolz定理。 （5）壓縮映像原理，（6）定積分法 5 三個不等式 （1）Bernulli Inequality (2) Schwarz Inequality (3)AG Inequality 20m第 1頁 共 頁講稿

10、部分不教學(xué)過程時間分配（二）應(yīng)用舉例 用Cauchy Principle證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散。用單調(diào)有界定理證明證明單調(diào)遞減下確界為零 設(shè)為兩正實數(shù)， 證明 收斂，并有相同的極限。 20m第 2頁 共 頁講稿部分教學(xué)過程時間分配 （三） 壓縮映像原理1壓縮數(shù)列 2壓縮函數(shù) 3 有界變差數(shù)列20m第 3頁 共 頁講稿部分教學(xué)過程時間分配 有界變差數(shù)列，壓縮數(shù)列均收斂 先證有界變差數(shù)列收斂 單調(diào)地遞增有上界 故收斂 收斂再證壓縮數(shù)列收斂 +2壓縮函數(shù) 壓縮函數(shù)列應(yīng)用 設(shè) 證明 20m第 4頁 共 頁講稿部分教學(xué)過程時間分配此題證明有理數(shù)逼近無理數(shù)。 為壓縮數(shù)列 (四)Stolz 定理1 如果 單調(diào)遞增趨于正無窮， 2應(yīng)用舉例 1 （算術(shù)平均收斂公式）設(shè) 證明 2 3 （五）運用定積分求極限 1 求 （）20m第 5頁 共 頁講稿部分教學(xué)過程時間分配 2 3 （六）運用級數(shù)收的必要條件證明極限為零1 證明 2 （七）運用海因定理求極限 1 令 20m第 6頁 共 頁講稿部分教學(xué)過程時間分配小結(jié)： 本次課主要掌握數(shù)列極限的各種收斂定理，判別方法，以及求極限的各種技巧，要多做練習(xí)，達到熟能生巧，融會貫通。作業(yè)21設(shè) 求2 證明 3 若 證明 4 求 5求6 已知 求 20m第 7頁 共 頁