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1、函數(shù)概念發(fā)展的四個(gè)重要時(shí)期
一、函數(shù)概念的萌芽時(shí)期
函數(shù)思想是隨數(shù)學(xué)開始研究事物的運(yùn)動(dòng)變化而出現(xiàn)的。早期的數(shù)學(xué)是不研究事物的運(yùn)動(dòng)變化的。古希臘數(shù)學(xué)家亞里斯多德曾指出,數(shù)學(xué)研究的是抽象的概念,而抽象概念是來自事物靜止不動(dòng)的屬性。例如數(shù)學(xué)中的數(shù)、線、形,這些數(shù)學(xué)對象都不包括運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)變化是物理學(xué)研究物體的對象,等等。受其影響,直到14世紀(jì),數(shù)學(xué)家才開始研究物體的運(yùn)動(dòng)問題。到了16世紀(jì),由于實(shí)踐的需要,自然科學(xué)轉(zhuǎn)向?qū)\(yùn)動(dòng)的研究,自然各種變化和各種變化著的量之間的關(guān)系成為數(shù)學(xué)家注意的對象。伽利略是最早開展這方面研究的科學(xué)家之一,在他的著作中多處使用比例的語言表達(dá)了量與量之間的依賴關(guān)系,例如從靜止?fàn)?/p>
2、態(tài)自由下落的物體所經(jīng)過的距離與所用時(shí)間的平方成正比,等等。這正是函數(shù)概念所表達(dá)的思想意義。
16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在研究曲線問題時(shí),注意到量的變化及量之間的依賴關(guān)系,在數(shù)學(xué)中引時(shí)了變量思想,成為數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑,也為數(shù)函數(shù)的產(chǎn)生準(zhǔn)備了思想基礎(chǔ)。但直到17世紀(jì)下半期,牛頓-萊布尼茨建立微積分時(shí)還沒有明確的函數(shù)概念。
函數(shù)作為數(shù)學(xué)術(shù)語是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1673年引進(jìn)的,當(dāng)時(shí)萊布尼茨指的是曲線上的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線的長度、垂結(jié)的長度等,凡與曲線上的有關(guān)的量,稱為函數(shù)。從這個(gè)定義可以看出,萊布尼茨利用了幾何概念,在幾何的范圍內(nèi)提示了某些量之間的依存關(guān)系。
總之,18世紀(jì)以前,函數(shù)的研究
3、多從屬于曲線的研究,帶有“幾何”烙印的萊布尼茨的函數(shù)定義廳以說是這個(gè)時(shí)期函數(shù)思想發(fā)展的總結(jié)。
二、 函數(shù)概念的“解析定義”時(shí)期
18世紀(jì)微積分的發(fā)展促進(jìn)了函數(shù)概念“解析定義的發(fā)展。出生于伯努利家族的雅各.伯努利和約翰.伯努利兩兄弟,在數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域有過建樹,他們不但整理加工了萊布尼茨零碎而又是梗概性的文章,而且他們對函數(shù)概念的發(fā)展也做了創(chuàng)造性的工作。在研究積分計(jì)算問題上,約翰.伯努力認(rèn)為:積分計(jì)算的目的是給定變量的微分中,找出變量本身之間的關(guān)系。在對待”找出變量本身之間的關(guān)系”.的表示上,顯然用萊布尼茨定義的函數(shù)表示是困難的。于是1718年約翰.伯努利從解析的角度給出了函數(shù)的定義:變量的函
4、數(shù)就是變量和常數(shù)以任何方式組成的表達(dá)式,記作X或ζ。其后,他對函數(shù)記號又作了改進(jìn),用φx表示x的函數(shù)。記號f(x)是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于1734年引進(jìn)的。
歐拉是18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家,他的研究涉及數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域,在歐拉時(shí)代,主要運(yùn)算關(guān)系是算術(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算、指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算,歐拉把由這些運(yùn)算結(jié)合起來的變量和常數(shù)而得到的式子稱為解析表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上,歐拉把伯努利的函數(shù)定義改進(jìn)了一步,1748年歐拉在他的《無窮小分析引論》中寫到:變量的函數(shù)是一個(gè)解析表達(dá)式,它是這個(gè)變量和一些常數(shù)以任何方式組成的。歐拉又稱這種“解析函數(shù)”。另外,歐拉在這部著作中還定義了多元函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù),這對函數(shù)意義
5、的認(rèn)識(shí)起到很重要的作用。
1750年左右,在研究弦振動(dòng)問題時(shí),歐拉發(fā)現(xiàn)所有的解析式都能用一條曲線表示,但并不是所有的曲線都能用一條曲線來表示,又由于當(dāng)時(shí)積分運(yùn)算的發(fā)展以及對橢圓積分的進(jìn)一步認(rèn)識(shí),歐擔(dān)意識(shí)到原的函數(shù)定義有些狹隘,于是他相繼給出了比上述定義更廣泛的函數(shù)定義:若某些量以如下方式依賴于另一些量,即當(dāng)后者變化時(shí)前者也隨之而變化,則稱前量是后量的函數(shù)。
函數(shù)概念雖經(jīng)伯努利、歐拉等人的努力,其意義有了較大的擴(kuò)展,但在當(dāng)時(shí),人們對函數(shù)的認(rèn)識(shí)普遍是:(1)連續(xù)曲線所給的函數(shù)是連續(xù)函數(shù),并一定能由一個(gè)解析式來表示;(2)把不連續(xù)的曲線或折線分成多條曲線或折線而建立的函數(shù),不是一個(gè)函數(shù)而是多個(gè)函
6、數(shù)的集合,故絕不可能用一個(gè)解析式表示。能用一個(gè)式子表示的函數(shù)稱作真函數(shù),其余的都叫偽函數(shù);(3)基于對多項(xiàng)式相等的認(rèn)識(shí),認(rèn)為對區(qū)間[a,b]上的一切值,恒有相同函數(shù)值的兩個(gè)函數(shù)是相同的,從而對[a,b]以外的x的值,這兩個(gè)函數(shù)的值也相待;(4)只有周期性曲線才能用周期函數(shù)(三角類)表示。
對于上述認(rèn)識(shí),1807年中,法國數(shù)學(xué)家傅立葉在他的《熱的分析理論》一文中,舉了如下例子來說明“由不連續(xù)的線給出的函數(shù)能用一個(gè)三角函數(shù)式來表示”。
函數(shù)是不連續(xù)的。如果令n=1,2,3……,則此函數(shù)可用所得到的無窮多個(gè)子工來表示。傅立葉還證明了這個(gè)不連續(xù)線可唯一地用 y=+++…… 來表示。這說明(1
7、)函數(shù)能否用唯一的一個(gè)式子表示,作為區(qū)分函數(shù)的真?zhèn)蔚臉?biāo)準(zhǔn),顯然是不合理的;(2)直線 y= 與式子y=+++……所表示的線,在0
8、值的量叫做變量。當(dāng)變量之間這樣聯(lián)系起來的時(shí)候,即給定了這些變量中一個(gè)的值,就可以決定所有其他變量的值的時(shí)候,人們通常想象這些量是用其中的一個(gè)來表達(dá)的,這時(shí)這個(gè)量就取名為自變量,而由這自變量表示的其他量就叫做這個(gè)自變量的函數(shù)。按照這個(gè)定義,只要由自變量x的一個(gè)值就可以決定y的相應(yīng)值 ,則y就 是x的函數(shù)。顯然,這個(gè)函數(shù)定義比以往的要廣泛得多,。后來德國數(shù)學(xué)家狄利克雷和黎曼注意到,重要的不是“自變”所引起的因變現(xiàn)象,應(yīng)該是變量間的“對應(yīng)”關(guān)系。1837年,狄利克雷給出了意義更廣泛的函數(shù)定義。
狄氏的函數(shù)定義:若對給定區(qū)間上x每個(gè)值,有唯一的一個(gè)y值與之對應(yīng),則稱y是x的函數(shù)。
狄利克雷上的述定
9、義,成功地引進(jìn)了“單值”對應(yīng)這個(gè)概念,巧妙地避免了過去函數(shù)定義中的不明確的“依賴關(guān)系”的描述,以清晰完美的方式表達(dá)了變量間的依賴關(guān)系,被19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家普遍接受,成為函數(shù)的近代定義的原型。按照這個(gè)定義可以清楚地解釋函數(shù):
f(x)=
對于這個(gè)函數(shù)狄利克雷還巧妙地給出了它的極限形式:
四、 函數(shù)概念的“集合定義”時(shí)期
19世紀(jì)70年代 ,康托的集合論誕生以前,函數(shù)的研究僅限于數(shù)的范圍內(nèi)。集合論的產(chǎn)生對函數(shù)概念的研究也突破了“數(shù)”的界限。20世紀(jì)初,美國數(shù)學(xué)家維布倫首先使用集合給出了以下概念定義:(1)變量定義。所謂變量,就是代表事物的集合中任一事物的記號;(2)常量定義。常量是變量
10、的特殊情形,即是上述集合中只含有一個(gè)事物時(shí)的變量;(3)區(qū)域定義。變量x所代表的“事物的集合”稱為該變量的區(qū)域或變域。
這組定義比以往使用的變量、區(qū)域的意義更一般,因?yàn)樗黄屏藬?shù)的限制,并且這個(gè)變量定義還彌補(bǔ)了過去的變量包含的“變動(dòng)”意思的不明確缺陷。利用這組定義,維布倫給出了以下函數(shù)定義:若在變量y的集合與另一變量x的集合之間,有這樣的關(guān)系成立,即對x的每一個(gè)值,有完全確定的y值與之對應(yīng),則稱變量y是變量x的函數(shù)。
后來數(shù)學(xué)家又注意到“對應(yīng)”意義也不夠明確,于是法國布爾巴基學(xué)派用“有序?qū)Α贝媪恕皩?yīng)”,提高了概念的準(zhǔn)確性,從而也擴(kuò)大函數(shù)的適用范圍。
布爾巴基的函數(shù)定義:設(shè)A和B是兩個(gè)集合,f是AXB的一個(gè)非空子集,若f滿足對于任意a ∈A,存在唯一的b∈B,使(a,b)∈f,則稱f為A到B的一個(gè)函數(shù)。
總之,在函數(shù)概念的發(fā)展過程中,函數(shù)概念是一步步走向完善的,而且每一步所建立的函數(shù)新概念,總是全部包含以前的函數(shù)概念,直到成庫今天這樣優(yōu)美、精確而令人贊嘆的形式。