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1、數(shù) 量 關(guān) 系 第 8章第 一 部 分 向 量 代 數(shù)第 二 部 分 空 間 解 析 幾 何 在 三 維 空 間 中 :空 間 形 式 點(diǎn) , 線 , 面基 本 方 法 坐 標(biāo) 法 ; 向 量 法坐 標(biāo) , 方 程 （ 組 ）空 間 解 析 幾 何 與 向 量 代 數(shù) 四 、 利 用 坐 標(biāo) 作 向 量 的 線 性 運(yùn) 算 第 一 節(jié)一 、 向 量 的 概 念二 、 向 量 的 線 性 運(yùn) 算 三 、 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系五 、 向 量 的 模 、 方 向 角 、 投 影 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 向 量 及 其 線 性 運(yùn) 算 第 8章 .a或表 示 法 :向 量

2、 的 模 : 向 量 的 大 小 , ,21MM記 作一 、 向 量 的 概 念向 量 : (又 稱 矢 量 ). 1M 2M既 有 大 小 , 又 有 方 向 的 量 稱 為 向 量向 徑 (矢 徑 ):自 由 向 量 : 與 起 點(diǎn) 無 關(guān) 的 向 量 .起 點(diǎn) 為 原 點(diǎn) 的 向 量 .單 位 向 量 : 模 為 1 的 向 量 , . a或記 作 a零 向 量 : 模 為 0 的 向 量 , .0 0或，記 作 有 向 線 段 M1 M2 , 或 a , ,a或 .a或 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 規(guī) 定 : 零 向 量 與 任 何 向 量 平 行 ;若 向 量 a

3、 與 b大 小 相 等 , 方 向 相 同 , 則 稱 a 與 b 相 等 ,記 作 a b ;若 向 量 a 與 b 方 向 相 同 或 相 反 , 則 稱 a 與 b 平 行 , a b ;與 a 的 模 相 同 , 但 方 向 相 反 的 向 量 稱 為 a 的 負(fù) 向 量 ,記 作因 平 行 向 量 可 平 移 到 同 一 直 線 上 , 故 兩 向 量 平 行 又 稱 兩 向 量 共 線 .若 k (3)個 向 量 經(jīng) 平 移 可 移 到 同 一 平 面 上 , 則 稱 此 k 個 向 量 共 面 .記 作 a ; 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 二 、 向 量 的

4、線 性 運(yùn) 算1. 向 量 的 加 法三 角 形 法 則 :平 行 四 邊 形 法 則 :運(yùn) 算 規(guī) 律 : 交 換 律結(jié) 合 律三 角 形 法 則 可 推 廣 到 多 個 向 量 相 加 . 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 b b abba cba )( )( cba cba a bcba cb)( cba cba )(aa baba 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 s 3a4a 5a2a1a 54321 aaaaas 2. 向 量 的 減 法三 角 不 等 式 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ab )( ab 有時特 別 當(dāng) ,ab aa )

5、( aa baba ab ab aba0baba aa 3. 向 量 與 數(shù) 的 乘 法 是 一 個 數(shù) , .a規(guī) 定 : 時 ，0 ，同 向與 aa ,0時 ,0時 .0 a ;aa ;1 aa 可 見 ;1 aa ;aa 與 a 的 乘 積 是 一 個 新 向 量 , 記 作，反 向與 aa 總 之 :運(yùn) 算 律 : 結(jié) 合 律 )( a )( a a分 配 律 a)( aa )( ba ba ,0a若 a則 有 單 位 向 量 .1 aa 因 此 aaa 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 定 理 1. 設(shè) a 為 非 零 向 量 , 則 ( 為 唯 一 實(shí) 數(shù) )證 :

6、“ ”. , 取 且再 證 數(shù) 的 唯 一 性 . 則,0故 . 即a b ab 設(shè) a b b a取 正 號 , 反 向 時 取 負(fù) 號 , , a , b 同 向 時則 b 與 a 同 向 ,設(shè) 又 有 b a , 0)( aa a b aa b.ab 故 ,0a而 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 “ ” 則,0 時當(dāng) 例 1. 設(shè) M 為 M BA CD解 : ABCD 對 角 線 的 交 點(diǎn) ,0 時當(dāng) b a,0 時當(dāng) ,aAB ,bDA AC MC2 MA2BD MD2 MB2已 知 b a ,b 0a , b 同 向a , b 反 向 a b ., MDMCMBM

7、Aba 表 示與試 用 ba ab )(21 baMA )(21 abMB )(21 baMC )(21 abMD 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 x yz三 、 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系由 三 條 互 相 垂 直 的 數(shù) 軸 按 右 手 規(guī) 則組 成 一 個 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 . 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 坐 標(biāo) 軸 x軸 (橫 軸 ) y軸 (縱 軸 )z 軸 (豎 軸 )過 空 間 一 定 點(diǎn) o , o 坐 標(biāo) 面 卦 限 (八 個 ) 面xoy面yozzox面1. 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 的 基 本 概 念 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 x y

8、zo 向 徑在 直 角 坐 標(biāo) 系 下 11 坐 標(biāo) 軸 上 的 點(diǎn) P, Q , R ;坐 標(biāo) 面 上 的 點(diǎn) A , B , C點(diǎn) M特 殊 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) : 有 序 數(shù) 組 ),( zyx 11 )0,0,(xP )0,0( yQ),0,0( zR )0,( yxA ),0( zyB),( zoxC (稱 為 點(diǎn) M 的 坐 標(biāo) )原 點(diǎn) O(0,0,0) ; rr 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 M 坐 標(biāo) 軸 : 軸x 00zy 00 xz軸y 軸z 00yx坐 標(biāo) 面 :面yox 0z面zoy 0 x面xoz 0 y 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束

9、 x yzo 2. 向 量 的 坐 標(biāo) 表 示在 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 下 , 設(shè) 點(diǎn) M ,),( zyxM 則 沿 三 個 坐 標(biāo) 軸 方 向 的 分 向 量 .kzjyixr ),( zyx xo yz MN BCi jkA , 軸 上 的 單 位 向 量分 別 表 示以 zyxkji 的 坐 標(biāo) 為此 式 稱 為 向 量 r 的 坐 標(biāo) 分 解 式 ,rkzjyix 稱 為 向 量, r任 意 向 量 r 可 用 向 徑 OM 表 示 .NMONOM OCOBOA 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 ,ixOA ,jyOB kzOC 四 、 利 用 坐 標(biāo) 作 向 量

10、 的 線 性 運(yùn) 算設(shè) ),( zyx aaaa ,),( zyx bbbb 則ba ),( zzyyxx bababa a ),( zyx aaa ab ,0 時當(dāng) a ab xx ab yy ab zz ab xxab yyab zzab平 行 向 量 對 應(yīng) 坐 標(biāo) 成 比 例 : ，為 實(shí) 數(shù) 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 2. 求 解 以 向 量 為 未 知 元 的 線 性 方 程 組ayx 35 byx 23 .211,212 ），（），（其 中 ba 解 : 2 3 , 得bax 32 )10,1,7( 代 入 得 )3(21 bxy )16,2,11( 機(jī)

11、 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 3. 已 知 兩 點(diǎn)在 AB直 線 上 求 一 點(diǎn) M , 使解 : 設(shè) M 的 坐 標(biāo) 為 ,),( zyx 如 圖 所 示 A BMo11 MA B ,),( 111 zyxA ),( 222 zyxB 及 實(shí) 數(shù) ,1得 ),( zyx 11 ),( 212121 zzyyxx 即 .MBAM AM MB AM OAOM MB OMOBAOOM )( OMOBOM OBOA ( 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 說 明 : 由得 定 比 分 點(diǎn) 公 式 : ,1 21 xx ,1 21 yy1 21 zz,1時當(dāng) 點(diǎn) M 為

12、 AB 的 中 點(diǎn) ,于 是 得x ,2 21 xx y ,2 21 yy z 2 21 zz A BMo MA B),( zyx 1 1 ),( 212121 zzyyxx x yz中 點(diǎn) 公 式 : 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 五 、 向 量 的 模 、 方 向 角 、 投 影 1. 向 量 的 模 與 兩 點(diǎn) 間 的 距 離 公 式 222 zyx ),( zyxr 設(shè) 則 有OMr 222 OROQOP xo yz MN QRP由 勾 股 定 理 得 ),( 111 zyxA 因 A B得 兩 點(diǎn) 間 的 距 離 公 式 : ),( 121212 zzyyxx 21

13、2212212 )()()( zzyyxx 對 兩 點(diǎn) 與 ,),( 222 zyxB ,rOM 作OMr OROQOP BABA OAOBBA 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 4. 求 證 以 )3,2,5(,)2,1,7(,)1,3,4( 321 MMM證 : 1M 2M 3M21MM 2)47( 2)31( 2)12( 1432MM 2)75( 2)12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2)13( 63132 MMMM 即 321 MMM 為 等 腰 三 角 形 .的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 . 為 頂 點(diǎn) 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁

14、 返 回 結(jié) 束 例 5. 在 z 軸 上 求 與 兩 點(diǎn) )7,1,4(A 等 距解 : 設(shè) 該 點(diǎn) 為 ,),0,0( zM ,BMAM 因 為 2)4( 21 2)7( z 23 25 2)2( z解 得 ,914z 故 所 求 點(diǎn) 為 及 )2,5,3( B.),0,0( 914M思 考 : (1) 如 何 求 在 xoy 面 上 與 A , B 等 距 離 之 點(diǎn) 的 軌 跡 方 程 ?(2) 如 何 求 在 空 間 與 A , B 等 距 離 之 點(diǎn) 的 軌 跡 方 程 ?離 的 點(diǎn) . 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 提 示 :(1) 設(shè) 動 點(diǎn) 為 ,)0,(

15、yxM 利 用 ,BMAM 得,028814 yx(2) 設(shè) 動 點(diǎn) 為 ,),( zyxM 利 用 ,BMAM 得014947 zyx 且 0z例 6. 已 知 兩 點(diǎn) )5,0,4(A 和 ,)3,1,7(B解 : 求141 )2,1,3( 142,141,143 .BABA BABA 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 o yzx2. 方 向 角 與 方 向 余 弦設(shè) 有 兩 非 零 向 量 ,ba 任 取 空 間 一 點(diǎn) O , ,aOA 作,bOB O AB稱 = AOB (0 ) 為 向 量 ba , 的 夾 角 . ),( ab 或類 似 可 定 義 向 量 與 軸

16、, 軸 與 軸 的 夾 角 . ,0),( zyxr給 定 與 三 坐 標(biāo) 軸 的 夾 角 , , r r稱為 其 方 向 角 .cos rx 222 zyx x 方 向 角 的 余 弦 稱 為 其 方 向 余 弦 . 記 作 ),( ba 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 o yzx r cos rx 222 zyx x cos ry 222 zyx y cos rz 222 zyx z 1coscoscos 222 方 向 余 弦 的 性 質(zhì) : :的 單 位 向 量向 量 r rrr )cos,cos,(cos 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 7. 已

17、知 兩 點(diǎn) )2,2,2(1M 和 ,)0,3,1(2M的 模 、 方 向 余 弦 和 方 向 角 . 解 : ,21 ,23 )20 計 算 向 量)2,1,1( 222 )2(1)1( 2,21cos ,21cos 22cos ,32 ,3 4321MM (21 MM 21MM 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 例 8. 設(shè) 點(diǎn) A 位 于 第 一 卦 限 ,解 : 已 知角 依 次 為 , 43 求 點(diǎn) A 的 坐 標(biāo) . , 43 則 222 coscos1cos 41因 點(diǎn) A 在 第 一 卦 限 , 故 ,cos 21 于 是(6 ,21 ,22 )21 )3,23,

18、3(故 點(diǎn) A 的 坐 標(biāo) 為 .)3,23,3( 向 徑 OA 與 x 軸 y 軸 的 夾 ,6AO且OA OAAO 第 二 節(jié) 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 3. 向 量 在 軸 上 的 投 影 uAA B，、投影分別為軸上的在、若BA uBA ，分向量方向上的軸的在為稱uABBA 方向上的單位向量，為記ue . uu )AB(ABjPr 或，則、為在軸上的投影坐標(biāo)分別、若baBA . Pr abABju )(a )(b B，記做投影軸上的的在為稱uAB，若eBA , ),( zyx aaaAB 若則, Pr xx aABj , Pr yy aABj . Pr zz aABj 2

19、4/26 投 影 的 性 質(zhì) （ 1）軸的夾角，則與為記ua . cos|)( aa u 投 影 的 性 質(zhì) （ 2）.)()( )( 21 uu u21 aa aa uA BA BB uAA BB CC u1a 2a 25/26 六 、 小 結(jié)1、向量的概念（注意與標(biāo)量的區(qū)別）2、向量的線性運(yùn)算3、空間點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)4、利用直角坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算5、向量的模、方向角、方向余弦、投影 26/26 備 用 題解 : 因 pnma 34 )853(4 kji )742(3 kji )45( kji kji 15713 1. 設(shè) ,853 kjim ,742 kjin 求 向 量 pnma 34 在 x 軸 上 的 投 影 及 在 y軸 上 的 分 向 量 . 13xa在 y 軸 上 的 分 向 量 為 jjay 7故 在 x 軸 上 的 投 影 為 jip 5,4k 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 2. 設(shè) 求 以 向 量行 四 邊 形 的 對 角 線 的 長 度 . 該 平 行 四 邊 形 的 對 角 線 的 長 度 各 為 11,3 對 角 線 的 長 為解 ： 為 邊 的 平 機(jī) 動 目 錄 上 頁 下 頁 返 回 結(jié) 束 mn nm,|,| nm | nm)1,1,1( nm )1,3,1( nm 3| nm 11| nm ,2 kjn ,jim