《華南理工大學網絡教育學院：《工程數學》作業(yè)之01(答案)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《華南理工大學網絡教育學院：《工程數學》作業(yè)之01(答案)（13頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 工 程 數 學作業(yè)之一解答 作業(yè)一：線性代數 一．問答題 1．敘述三階行列式的定義。 a11 a12 a13 答：定義 1：用 32 個數組成的記號 a21 a22 a23 表示數值： a31 a32 a33 a22 a23 a21 a23 a21 a22 a11 a32 a33 a12 a31 a33 a13 a31 a32 稱為三階行列式，即：

2、 a11 a12 a13 a22 a23 a21 a23 a21 a22 a21 a22 a23 ＝ a11 a12 a13 a32 a33 a31 a33 a31 a32 a31 a32 a33 a11 a1n 定義 2：用 n2 個數組成的記號 D＝ 表示數值： a

3、n1 ann a22 a23 a2 n a21 a23 a2n ( 1)1 1 a11 a32 a33 a3 n ＋ ( 1)1 2 a12 a31 a33 a3n ＋ ＋ an 2 an 3 ann an1 an3 ann a21 a22 a2, n 1 ( 1)1 n a1n a31 a32 a3, n 1

4、 an1 an 2 an ,n 1 稱為 n 階行列式。 2．敘述 n 階行列式的余子式和代數余子式的定義， 并寫出二者之間的關系。 答：定義：在 n 階行列式 D 中劃去 aij 所在的第 i 行和第 j 列的元素后，剩下的元 素按原來相對位置所組成的（ n－1）階行列式，稱為 aij 的余子式，記為 M ij ，即 a11 a

5、1, j 1 a1, j 1 a1n M ij ＝ ai 1,1 ai 1, j 1 ai 1, j 1 ai 1,n ai 1,1 ai 1, j 1 ai 1, j 1 ai 1,n an1 an, j 1 an , j 1 ann ( 1)i j M ij 稱為 aij 的代數余子式，記為 Aij ，即 Aij ＝ ( 1)i j M ij 3．敘述矩陣的秩的定義。 答：定義：設 A 為 m n 矩陣。如果 A 中不為零的子式最高階為 r，即存在 r 階子式不為零

6、，而任何 r+1 階子式皆為零，則稱 r 為矩陣 A 的秩，記作（秩）＝ r 或 R（A ）＝ r 4．敘述對稱陣、可逆矩陣的定義。 答：定義  1：滿足條件  aij  a ji  (i  ,  j  1,2,  , n)  的方陣  ( aij )n n 稱為對稱陣。其特點 是：它的元素以主對角線為對稱軸對應相等。 定義 2：對于 n 階方陣 A ，如果存在 n 階方陣 B，使得 AB ＝ BA=E ，其中 E 為 n 階單位陣，則稱 A 為可

7、逆陣，稱 B 為 A 的逆矩陣。 5．敘述矩陣的加法運算、數乘運算定義。 答：定義 1：設兩個 m n 矩陣 a11  a1n  b11  b1n A＝  ，B＝ am1  amn  bm1  bmn a11  b11  a1n  b1n 則稱 m n 矩陣  為矩陣  A 與  B 的和，記作  A ＋ B am1  bm1  amn  bmn 定義  2：

8、以數  k 乘矩陣  A 的每一個元素所得到的矩陣，稱為數  k 與矩陣  A 的積， 記作  kA ，如果  A ＝  (aij )m n ，那么  kA=  k (aij ) m n  (kaij ) m n ,即 ka11  ka12  ka1n kA=  ka21  ka22  ka2 n kam1  kam2  kamm 6．敘述向量組的

9、線性相關和線性無關的定義。 答：定義：設有向量組  1 ,  2 ,  ,  s,  如果存在一組不全為零的數  k1 , k2 ,  ,ks, 使得 k1 1  k2  2  ks s  O 成立，則稱向量組  1 ,  2 ,  ,  s, 線性相關。否則，即僅 當 k1  k2  ks  0 時 ， 才 有  k1 1  k2 2 

10、 ks s  O 成 立 ，則 稱 向 量 組 1 ,  2 ,  ,  s ,  線性無關。 7．齊次線性方程組的基礎解系是什么？ a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 答：定義：設 T 是 a21 x1 a22 x2 a2n xn 0 的所有解的集合，若 T 中存在一 an1 x1 an 2 x2 annxn 0 組非零解 1 , 2 , , s , 滿足 （ 1） 1 , 2 ,

11、, s , 線性無關； （ 2）任意 T ，都可用 1 , 2 , , s , 線性表出則稱 1, 2 , , s , 是此方程組的 一個基礎解系 8．試述克萊姆法則的內容。 答：克萊姆法則：如果線性方程組 a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a21x1 a22x2 a2n xn b2 an1 x1  an2 x2  ann  xn  bn 的系數  aij  (i ,  j  1,2,  ,

12、 n)  構成的行列式  D  0 ,則此線性方程組有唯一解： x1  D1 , x2 D  D2 D  ,  , xn  Dn D  , 其中，  D j (  j  1,2,  , n)  是將系數行列式  D 中第  j  列元素對應地換為常數項 b1, b2 , ,bn 得到的行列式 a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1,n

13、 a21 a2, j 1 b2 a2, j 1 a2,n D j an 1 an, j 1 bn an, j 1 ann 二．填空題（共 8 題，每題 4 分，共計 32 分） 1 1 1 1．行列式 D 1 1 1 4 ． 1 1 1 ．若 A 是對稱矩陣，則 AT A O 。 2

14、 a11 a12 a13 a11 a12 a13 3．設 A ＝ a21 a22 a23 ，則 3a21 3a22 3a23 18|A| ． a31 a32 a33 6a31 6a32 6a33 4．設 A, B 均為 3 階矩陣，且 | A | | B | 3，則 2 ABT 72 。 1 3 2 1 3 1 1 ． 5．設行列式 D1 0 2 ，則 D 中元素 a23 的代數余子式 A23 = 1 1 2

15、 6． n 階行列式 D n 中元素 aij 的代數余子式 Aij 與余子式 M ij 之間的關系是 Aij ( 1) i j M ij 。 7．設矩陣 A 中的 r 階子式 Dr 0 ，且所有 r+1 階子式（如果 有的話）都為 0，則 r ( A) r 。 1 0 0 1 0 0 1 8．設 A 0 2 0 ，則 A 1 0 0 。 0 0

16、 1 2 0 0 1 a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a21 x1 a22 x2 a2 n xn 0 的系數行列式 | D | 0 ， 9．如果齊次線性方程組 an1 x1 an2 x2 ann xn 0 那么它有 只有零 解． 10．齊次線性方程組 AX 0 總有 0 解；當它所含方程的

17、個數小于 未知量的個數時，它一定有 非零 解。 11．用消元法解線性方程組 AX b ，其增廣矩陣 A 經初等行變換后 ,化為階 梯陣 1 5 3 1 A 0 2 3 4 ， 0 0 s t 0 0 0 0 則 (1)當 s=0, t 0時 , AX b 無解 ; (2)當 s=0, t =0 時 ,

18、 AX b 有無窮多解 ; (3)當 s 0 , t 是任意實數時 , AX b 有唯一解 . 三．計算題 x 1 3 3 1．計算行列式 3 x 5 3 ． 6 6 x 4 解：原行列式可化為： (x x 5 3 3 3 3 x 5 1) 6 x 4 3 4 ( 3) 6 6 x 6 ＝ ( x 2

19、) 2 ( x 4) ＝ x3 12x 16 1 2 1 3 3 1 3 2．計算行列式 1 3 1 6 ． 1 0 0 1 3 1 1 9 2 2 2 1 2 1 3 1 2 1 1 解：原行列式可化為： 1 1 3 1 6 1 0 5 2 9 ＝

20、6 1 0 0 1 6 0 2 1 4 3 1 2 9 0 5 5 0 5 2 9 5 2 9 1 4 2 4 2 1 1 2 1 4 ＝ 1 2 1 4 ＝ 1 5 （ 5 0 2 0 9 ）＝ 6 5 5 6 5 5 6 5 5 5 5 2 0 0 2 1 1 1 3．計算行列式 4 2 1 1 ．

21、 201 102 99 98 1 2 1 2 2 1 0 2 2 1 0 2 解：原行列式可化為： 0 0 1 3 0 0 1 3 201 102 99 98 201 102 0 395 1 2 0 5 1 2 0 5 2 1 2 102 395 201 395 201 102 ＝ 201 102 395 ＝ 2 ( 2)

22、 1 2 5 2 5 1 5 1 2 ＝－ 2600＋ 1400－ 600＝ -1800 2 3 1 1 2 3 4．設矩陣 A 1 1 1 , B 1 1 2 ，求 AB 。 0 1 1 0 1 1 2 3 1 1 2 3 5 6 11 解： AB 1 1 1 1 1 2 ＝ 2 4 6 0 1 1 0 1

23、 1 1 0 1 5 6 11 6 11 5 6 | AB | 2 4 6 ( 1) ＝ 0 ＝ 6 2 4 1 0 1 4 2 5 1 2 5．已知行列式 3 7 1 4 ，寫出元素 a43 的代數余子式 A43 ，并求 A43 的 4 6 1 2 5 9 2 7 值． 2 5 2 解： A43 ( 1)4 3

24、 M 43 3 7 4 4 6 2 7 4 3 4 3 7 (2 2 ( 5) 2 2 ) 6 4 4 6 ＝ 54 1 2 0 1 1 1 6．設 A 2 1 1 4 ， B 2 1 ，求 ( I A) B 。 0 2 0 1 0 1 1 4 3 1 1 2 1 0 0 0 1 2 0 1 0 2 0 1 解： ( I A) 0 1 0 0

25、 － 2 1 1 4 ＝ 2 2 1 4 0 0 1 0 0 2 0 1 0 2 1 1 0 0 0 1 1 4 3 1 1 4 3 0 0 2 0 1 1 1 5 4 (I A) B 2 2 1 4 2 1 ＝ 2 5 0 2 1 1 0 1 5 3 1 4 3 0 1 2 9 0 2 5 3 2 1 5 8 5 4 3 7．求矩陣 A 7 4 2 的秩。

26、 1 0 4 1 1 2 3 2 5 3 2 1 1 7 4 2 0 1 7 4 2 0 解： A 5 8 5 4 3 2 5 3 2 1 0 9 5 2 1 1 7 4 2 0 → 1 1 2 3 → 27 15 6 → 4 0 3 4 1 1 2 3 5 8 5 4 3 0 27 15 6 3 1 7 4 2 0 0 9 5

27、 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 所以，矩陣的秩為 2 x1 2x2 x3 4x4 0 8．解齊次線性方程組 2x1 3x2 4 x3 5x4 0 x1 4x2 13x3 14x4 。 0

28、 x1 x2 7x3 5x4 0 解：對系數矩陣施以初等變換： 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 A＝ 2 3 4 5 → 0 1 2 3 → 0 1 2 3 → 1 4 13 14 0 6 12 18 0 0 0 0 1 1 7 5 0 3 6 9 0 0 0 0 1 0 5 2 1 0 5 2 0 1

29、 2 3 → 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 與原方程組同解的方程組為： x1 5x3 2x4 0 x2 x3 3x4 0 所以：方程組的一般解為 x1 5x3 2x4 （其中， x3 , x4 為自由未知量） x2 2x3 3x4 3x1 x2 x3 0 9．試問 取何值時，齊次線性方程組 2 x2 x3 0 有非零解？ x1 x2 2x3 0 解：系數行列式為： 3 1 1 1 2 1 1

30、 2 0 2 1 0 4 6 0 2 1 1 1 2 0 2 1 0 0 8 所以，當 8 時，該齊次線性方程組有非零解． x1 x2 3x3 1 10．解線性方程組 3x1 x2 3x3 1 。 x1 5x2 9 x3 0 解：對增廣矩陣施以初等行變換： 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3 1 A 3 1 3 1 0 4 6 2 0 4 6 2 1 5 9 0 0 4 6 1 0 0 0

31、3 所以，原方程組無解。 2x1 5x2 3x3 2 x4 1 11．解線性方程組 8x2 5x3 4x4 。 5x1 3 解：對增廣矩陣施以初等行變換： 2 5 3 2 1 → 2 5 3 2 1 A 9 5 1 1 → 5 8 5 4 3 0 2 2 2  5 3 1 1 2 1 2 2 → 9 5 1

32、 0 2 1 2 2 1 5 3 1 1 1 1 4 7 2 2 2 0 9 9 → 9 5 2 1 5 2 1 0 1 0 9 9 9 1 9 9 9 與原方程組同解的方程組為： x1 1 x3 4 x4 7 9 9 9 x2 5 x3 2 x4 1 9 9 9 所以：方程組的一般解為 x1 1 x3 4 x4 7 9 9 9 ( x3 ,

33、 x4 是自由未知量 ) ; 5 x3 2 x4 1 x2 9 9 9 0 1 2 2 1 3 12．設矩陣 A 1 1 4 , B 5 ，解矩陣方程 AX BT 。 2 1 0 3 6 2 1 1 2 3 解： A 1 4 2 1 ； BT 1 5 3 1 1 3 6 2 2 B T . 則有 X A 1 BT 2 1

34、 1 2 3 6 5 由于 AX 4 2 1 1 5 9 16 3 1 1 3 6 7 13 2 2 2 2 四．應用題 7．某工廠采用三種方法生產甲乙丙丁四種產品，各種方案生產每種產品的數量如下列矩陣所示： 甲 乙 丙 丁 5 9 7 4 方法一 A 7 8 9 6 方法二 4 6 5 7 方法三 若甲乙丙丁四種產品的單位成本分別為 10、 12、8、15（萬元），銷售單位價格分別為 15、16、14、17（萬元），試用矩陣運算計算用何種方法進行生產獲利最大？ 10 15 解：設單位成本矩陣 C 12 ，銷售單價矩陣為 P 16 ，則單位利潤矩陣為 8 14 15 17 5 5 9 7 4 5 111 4 4 B P C ，從而獲利矩陣為 L AB 7 8 9 6 133 ，于是可知， 6 4 6 5 7 6 88 2 2 采用第二種方法進行生產，工廠獲利最大。