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1、 2 正 項(xiàng) 級 數(shù) 三 、 積 分 判 別 法 收 斂 性 是 級 數(shù) 研 究 中 最 基 本 的 問 題 , 本 節(jié) 將對 最 簡 單 的 正 項(xiàng) 級 數(shù) 建 立 收 斂 性 判 別 法 則 .一 、 正 項(xiàng) 級 數(shù) 收 斂 性 的 一 般 判 別 原 則 二 、 比 式 判 別 法 和 根 式 判 別 法*四 、 拉 貝 判 別 法 一 、 正 項(xiàng) 級 數(shù) 收 斂 性 的 一 般 判 別 原 則若 數(shù) 項(xiàng) 級 數(shù) 各 項(xiàng) 的 符 號 都 相 同 , 則 稱 它 為 同 號 級 數(shù) . 對 于 同 號 級 數(shù) , 只 須 研 究 各 項(xiàng) 都 是 由 正 數(shù) 組 成 的 級 數(shù) (稱 正 項(xiàng)

2、 級 數(shù) ).若 級 數(shù) 的 各 項(xiàng) 都 是 負(fù) 數(shù) ,則 它 乘 以 -1后 就 得 到 一 個(gè) 正 項(xiàng) 級 數(shù) ,它 們 具 有 相 同 的 斂 散 性 . 定 理 12.5 nu正 項(xiàng) 級 數(shù) 收 斂 的 充 要 條 件 是 :部 分 和 nS數(shù) 列 有 界 , 即 存 在 某 正 數(shù) M, 對 一 切 正 整 數(shù) n 有 .nS M 0( 1,2, ),iu i由 于證 所 以 Sn是 遞 增 數(shù) 列 .而 單 調(diào) 數(shù) 列 收 斂 的 充 要 條 件 是 該 數(shù) 列 有 界 (單 調(diào) 有 界 定 理 ).這 就 證 明 了 定 理 的 結(jié) 論 . 僅 靠 定 義 和 定 理 12.5來

3、 判 斷 正 項(xiàng) 級 數(shù) 的 收 斂 性 是 不 容 易 的 ， 因 此 要 建 立 基 于 級 數(shù) 一 般 項(xiàng) 本 身 特 性 的 收 斂 性 判 別 法 則 . n nu v設(shè) 和 是 兩 個(gè) 正 項(xiàng)定 理 12.6 (比 較 原 則 ) 級 數(shù) , 如 果 存 在 某 正 數(shù) N, 對 一 切 n N 都 有 (1)n nu v則(i) , ;n nv u若 級 數(shù) 收 斂 則 級 數(shù) 也 收 斂 (ii) , .n nu v若 級 數(shù) 發(fā) 散 則 級 數(shù) 也 發(fā) 散 證 因 為 改 變 級 數(shù) 的 有 限 項(xiàng) 并 不 影 響 原 有 級 數(shù) 的 斂 散 性 ,因 此 不 妨 設(shè) 不 等

4、 式 (1)對 一 切 正 整 數(shù) 都 成 立 . n n n nS S u v現(xiàn) 在 分 別 以 和 記 級 數(shù) 與 的 部 分 和 .由 (1)式 可 得 ,對 一 切 正 整 數(shù) n, 都 有 (2)n nS S , lim ,n nnv S 若 收 斂 即 存 在 則 由 (2)式 對 一 切 n 有 nulimn nnS S nS, 即 正 項(xiàng) 級 數(shù) 的 部 分 和 數(shù) 列 有 界 , 由 定 理 12.5級 數(shù) nu 收 斂 , 這 就 證 明 了 (i). (ii)為 (i)的 逆 否 命 題 ,自 然 成 立 . 例 1 2 1 .1n n考 察 的 收 斂 性解 2 ,n由

5、 于 當(dāng) 時(shí) 有2 21 1 1 .1 ( 1)n n n n n n 因 為 正 項(xiàng) 級 數(shù) 2 1( 1)n n n 收 斂 ( 1例 5的 注 ), 故 由 比 較 原 則 和 定 理 12.3, 級 數(shù) 2 1 1n n 也 收 斂 . 2 2, ,n n n nu v u v收 斂 則 級 數(shù) 收 斂 . 例 2 若 級 數(shù) 2 2| |n n n nu v u v 2 2,n nu v證 因 為 , 而 級 數(shù) 收 斂 ， 根 據(jù) 比 較 原 則 , 得 到 級 數(shù) n nu v 收 斂 . 在 實(shí) 際 使 用 上 ,比 較 原 則 的 極 限 形 式 通 常 更 方 便 .,n

6、nu v 推 論 (比 較 原 則 的 極 限 形 式 ) 設(shè) 是 兩 個(gè) 正 項(xiàng) 級 數(shù) ,若 lim , (3)nn nu lv 則 (i) 0 , ;n nl u v 當(dāng) 時(shí) 級 數(shù) , 同 斂 散(ii) 0 , ;n nl v u 當(dāng) 且 級 數(shù) 收 斂 時(shí) 級 數(shù) 也 收 斂(iii) , .n nl v u 當(dāng) 且 級 數(shù) 發(fā) 散 時(shí) 級 數(shù) 也 發(fā) 散證 (i) 由 (3) ,l 對 任 給 正 數(shù) 存 在 某 正 數(shù) N, 當(dāng) n N時(shí) ,恒 有 nnu lv 或 ( ) ( ) . (4)n n nl v u l v 0 l當(dāng) nu由 比 較 原 則 及 (4)式 得 ,

7、時(shí) , 級 數(shù) 與 nv 同 時(shí) 收 斂 或 同 時(shí) 發(fā) 散 . 這 就 證 得 了 (i). (ii) 當(dāng) l = 0時(shí) ,由 (4)式 右 半 部 分 及 比 較 原 則 可 得 ,若 nv nu級 數(shù) 收 斂 , 則 級 數(shù) 也 收 斂 . (iii) ,l 若 則 對 于 正 數(shù) 1, 存 在 相 應(yīng) 的 正 數(shù) N,當(dāng) n N 時(shí) , 都 有 1 .n n nnu u vv 或 于 是 由 比 較 原 則 知 道 , 若 級 數(shù) nv 發(fā) 散 , 則 級 數(shù) nu 也 發(fā) 散 . 例 3 級 數(shù) 12n n 是 收 斂 的 , 因 為 1 2 12lim lim lim 11 2 1

8、2 2nn nn n nn nn nn以 及 等 比 級 數(shù) 12n 收 斂 , 根 據(jù) 比 較 原 則 的 極 限 形 12n n式 ,級 數(shù) 也 收 斂 . 例 4 正 項(xiàng) 級 數(shù) 1 1 1sin sin1 sin sin2n n是 發(fā) 散 的 , 因 為 1sinlim 1,1n nn 根 據(jù) 比 較 原 則 的 極 限 1n 1sinn形 式 以 及 調(diào) 和 級 數(shù) 發(fā) 散 , 得 到 級 數(shù) 也 發(fā) 散 . *例 5 判 斷 正 項(xiàng) 級 數(shù) 12 sin1n nn 的 斂 散 性 .1sinlim 1,1n nn 12 sin1n nn 21n解 因 為 故 可 將 與 進(jìn) 行 比

9、 較 . 由 于 12 sin 12 2(1 sin )12 sin21lim lim lim1n nn nn n nn nnn nnn 12(1 sin )lnlime ,n nnn 注 意 到 21 1 1lim 1 sin ln lim 1 lnn nn n n o nn n n 2 21 lnlim 0,n nn o nn 所 以 12(1 sin )lnlime 1.n nnn 根 據(jù) 比 較 原 則 , 原 級 數(shù) 收 斂 . 二 、 比 式 判 別 法 和 根 式 判 別 法 本 段 所 介 紹 的 兩 個(gè) 方 法 是 以 等 比 級 數(shù) 作 為 比 較 對 象 而 得 到 的

10、, 但 在 使 用 時(shí) 只 要 根 據(jù) 級 數(shù) 一 般 項(xiàng) 本 身 的 特 征 就 能 作 出 判 斷 .定 理 12.7(達(dá) 朗 貝 爾 判 別 法 , 或 比 式 判 別 法 )設(shè) nu為 正 項(xiàng) 級 數(shù) , 且 存 在 某 正 整 數(shù) 0 (0 1).N q q 及 常 數(shù) 0(i) ,n N若 對 一 切 成 立 不 等 式1 , (5)nnu qu 則 級 數(shù) nu 收 斂 . 0(ii) ,n N若 對 一 切 成 立 不 等 式1 1, (6)nnuu .nu則 級 數(shù) 發(fā) 散證 (i) (5) 1n不 妨 設(shè) 不 等 式 對 一 切 成 立 ,于 是 有 321 2 1, ,

11、, , .nnu uu q q qu u u 把 前 n-1個(gè) 不 等 式 按 項(xiàng) 相 乘 后 ,得 到 1321 2 1 nnnu uu qu u u 11 .nnu uq或 者由 于 當(dāng) 0 q N 時(shí) , 有 1 .nnuq qu 1 , 1,q q 當(dāng) 時(shí) 根 據(jù) 的 取 法 ,有 由 上 述 不 等 式的 左 半 部 分 及 比 式 判 別 法 的 (i), 得 正 項(xiàng) 級 數(shù) nu是 收 斂 的 . 1, 1,q q 若 則 有 根 據(jù) 上 述 不 等 式 的 左 半 部 分 及 比 式 判 別 法 的 (ii), 可 得 級 數(shù) nu 是 發(fā) 散 的 . , ,q N n N若

12、則 存 在 當(dāng) 時(shí) 有 1 1,nnuu.nu所 以 這 時(shí) 級 數(shù) 是 發(fā) 散 的 例 6 級 數(shù)2 2 5 2 5 8 2 5 8 2 3( 1) ,1 1 5 1 5 9 1 5 9 1 4( 1)nn 由 于 1 2 3 3lim lim 1,1 4 4nn nnu nu n根 據(jù) 推 論 1， 級 數(shù) 收 斂 . 例 7 討 論 級 數(shù) 1( 0)nnx x 的 斂 散 性 .解 因 為 1 1( 1) 1 ( ),nn nnu n x nx x nu nx n 根 據(jù) 推 論 1,當(dāng) 0 x 1時(shí) 級 數(shù) 發(fā) n散 ; 而 當(dāng) x = 1時(shí) , 所 考 察 的 級 數(shù) 是 , 它

13、顯 然 也 是 發(fā) 散 的 . 性 作 出 判 斷 . 例 如 級 數(shù) 21 1,n n和 它 們 的 比 式 極 1 211( ),nnu nu n限 都 是 但 收 斂 ( 1例 5), 1n而 卻 是 發(fā) 散 的 ( 1例 3).若 某 級 數(shù) 的 (7)式 的 極 限 不 存 在 ,則 可 應(yīng) 用 上 、 下 極限 來 判 別 收 斂 性 . 若 (7)中 q = 1,這 時(shí) 用 比 式 判 別 法 不 能 對 級 數(shù) 的 斂 散 *推 論 2設(shè) nu 為 正 項(xiàng) 級 數(shù) . 1(i) lim 1, ;nn nu qu若 則 級 數(shù) 收 斂1(ii) lim 1, ;nn nu qu

14、若 則 級 數(shù) 發(fā) 散*例 8 研 究 級 數(shù) 2 2 2 11 (8)n n n nb bc b c b c b c b c 的 斂 散 性 , 其 中 0 b c. 解 由 于 1 , ,nn b nuu c n 為 奇 數(shù) ,為 偶 數(shù)1 1lim , lim ,n nn nn nu uc bu u 故 有于 是 當(dāng) c 1時(shí) ,級 數(shù) (8)發(fā) 散 ; 但 當(dāng) b 1 N, 有 .n nl u l 于 是 由 根 式 判 別 法 就 得 到 推 論 所 要 證 明 的 結(jié) 論 . 推 論 1(根 式 判 別 法 的 極 限 形 式 ) 設(shè) nu 為 正 項(xiàng) 級 數(shù) ,且 例 9 研 究

15、 級 數(shù) 2 ( 1)2 nn 的 斂 散 性 .解 由 于 2 ( 1) 1lim lim ,2 2n nn nn nu 所 以 級 數(shù) 是 收 斂 的 .若 在 (11)式 中 l =1,則 根 式 判 別 法 仍 無 法 對 級 數(shù) 的 斂 散 性 做 出 判 斷 . 例 如 21 1,n n對 和 都 有 21 11( ), ,n nu n n n 但 是 收 斂 的 而 卻 是發(fā) 散 的 . 若 (11)式 的 極 限 不 存 在 , 則 可 根 據(jù) 根 式 n nu 的 上 極 限 來 判 斷 . *推 論 2 設(shè) nu 為 正 項(xiàng) 級 數(shù) , 且lim ,n nn u l 則 當(dāng)

16、 (i) l 1 時(shí) 級 數(shù) 發(fā) 散 . *例 10考 察 級 數(shù) 2 2 n nb c b c b c 的 斂 散 性 ， 其 中 0 1.b c 解 由 于 12 11 2 1( ) , ( )( ) ,m mn n m mc cu mb b 故 lim 1,n nn u c 因 此 級 數(shù) 是 收 斂 的 . 1lim lim ,nn nn nnu cu b 11lim lim 0 1,nn nnn nu bu c 如 果 應(yīng) 用 比 式 判 別 法 , 由 于 我 們 就 無 法 判 斷 其 收 斂 性 . 1lim nn nu qu lim .n nn u q 根 據(jù) 第 二 章 總

17、 練 習(xí) 題 4 (7), 當(dāng) 時(shí) , 必 有這 說 明 凡 能 由 比 式 判 別 法 判 別 收 斂 性 的 級 數(shù) , 也 能 由 根 式 判 別 法 來 判 別 , 亦 即 根 式 判 別 法 較 之 比 式 判 別 法 更 為 有 效 . 例 如 級 數(shù) 2 ( 1) ,2 nn 由 于 222 1 2 13 32lim lim ,1 22 mmm mm muu 2 12 12 21 12lim lim ,3 62mmm mm muu故 比 式 判 別 法 無 法 鑒 別 此 級 數(shù) 的 收 斂 性 . 但 應(yīng) 用 根 式 判 別 法 卻 能 判 定 此 級 數(shù) 是 收 斂 的 (例

18、 9).那 么 , 是 否 就 不 需 要 比 式 判 別 法 了 ？ 請 看 下 面 例 子 . 例 11 判 別 下 列 級 數(shù) 的 斂 散 性 ：21 ( !)(i) ;(2 )!n nn 21(ii) .12 nn nn 解 (i) 因 為 21 2( 1)! (2 )!lim lim2( 1)! ( !)nn nnu n nu n n 2( 1) 1lim 1,(2 1)(2 2) 4n nn n 由 比 式 判 別 法 ， 原 級 數(shù) 為 收 斂 . 1 1,2 2 2lim lim lim 11 22n nn n nn n nn n nu nn (ii) 因 為由 根 式 判 別

19、 法 , 原 級 數(shù) 為 收 斂 . 注 由 于 極 限 2( !)lim (2 )!nn nn 很 難 求 , 所 以 上 例 中 的 (i) 不 采 用 根 式 法 . 三 、 積 分 判 別 法由 于 比 式 和 根 式 判 別 法 的 比 較 對 象 是 幾 何 級 數(shù) ,局 限 性 較 大 , 所 以 還 需 要 建 立 一 些 更 有 效 的 判 別 法 .定 理 12.9 (積 分 判 別 法 )設(shè) 1, )f為 上 非 負(fù) 減 函 數(shù) , 那 么 正 項(xiàng) 級 數(shù) +1( ) ( )df n f x x與 反 常 積 分 同 時(shí)收 斂 或 同 時(shí) 發(fā) 散 . 證 由 假 設(shè) 1,

20、 )f 為 上 非 負(fù) 減 函 數(shù) , 對 任 何 正 數(shù) A,f 在 1, A上 可 積 ,于 是 1( ) ( )d ( 1), 2,3, .nnf n f x x f n n依 次 相 加 可 得 112 2 1( ) ( )d ( 1) ( ). (12)m m mmn n nf n f x x f n f n 若 反 常 積 分 收 斂 ,則 由 (12)式 左 邊 ,對 任 何 正 整 數(shù) m, 有 1 11 ( ) (1) ( )d (1) ( )d .m mm nS f n f f x x f f x x 根 據(jù) 定 理 12.5, 級 數(shù) ( )f n 收 斂 . 反 之 ,

21、 若 ( )f n 為 收 斂 級 數(shù) , 則 由 (12)式 右 邊 , 對 任 一 正 整 數(shù) m(1)有 11 ( )d ( ) . (13)m mf x x S f n S10 ( )d , 1.A nf x x S S n A n +111.2 ( )d .f x x根 據(jù) 定 理 得 反 常 積 分 收 斂因 為 f (x)為 非 負(fù) 減 函 數(shù) , 故 對 任 何 正 數(shù) A, 都 有用 同 樣 方 法 ,可 以 證 明 +1( ) ( )df n f x x與 是 同 時(shí) 發(fā) 散 的 . 例 12 討 論 1 .pp n級 數(shù) 的 斂 散 性1( ) , 0 1, )pf x

22、px 當(dāng) 時(shí) 在 解 函 數(shù) 上 是 非 負(fù) 減 函 +1 d 1 1px p px數(shù) ,反 常 積 分 在 時(shí) 收 斂 , 時(shí) 發(fā) 散 .故1 1 , 0 1p p pn由 積 分 判 別 法 得 當(dāng) 時(shí) 收 斂 當(dāng) 0p時(shí) 發(fā) 散 . 至 于 的 情 形 , 則 可 由 收 斂 的 必 要 條 件知 它 也 是 發(fā) 散 的 . 例 13 討 論 下 列 級 數(shù) 2 31 1(i) ; (ii) .(ln ) (ln )(lnln )p pn nn n n n n的 斂 散 性 .解 2 d ,(ln )pxx x研 究 反 常 積 分 由 于+2 2 ln2d d(ln ) d(ln )

23、(ln )p p px x ux x x u 1 , 1p p當(dāng) 時(shí) 收 斂 時(shí) 發(fā) 散 ,根 據(jù) 積 分 判 別 法 得 級 (i) 1 , 1 .p p數(shù) 在 時(shí) 收 斂 時(shí) 發(fā) 散 3(ii), ,(ln )(lnln )pdxx x x對 于 考 察 反 常 積 分 同 樣 可 1p推 得 級 數(shù) (ii) 在 p 1時(shí) 收 斂 , 在 時(shí) 發(fā) 散 . 由 于 比 式 和 根 式 判 別 法 的 比 較 對 象 是 幾 何 級 數(shù) , 如 果 級 數(shù) 的 通 項(xiàng) 收 斂 速 度 較 慢 , 它 們 就 失 效 了 , 如 p級 數(shù) . 拉 貝 (Raabe)判 別 法 是 以 p 級

24、數(shù) 為 比 較 對 象 , 這 類 級 數(shù) 的 通 項(xiàng) 收 斂 于 零 的 速 度 較 慢 , 因 此 較 比 式 或 根 式 法 在 判 斷 級 數(shù) 收 斂 時(shí) 更 精 細(xì) .*四 、 拉 貝 判 別 法 11 1,nnun ru;nu則 級 數(shù) 收 斂 0(ii) ,n N若 對 一 切 成 立 不 等 式 11 1,nnun u.nu則 級 數(shù) 發(fā) 散 0(i) ,n N若 對 一 切 成 立 不 等 式定 理 12.10 (拉 貝 判 別 法 ) 設(shè) nu 為 正 項(xiàng) 級 數(shù) , 且 存 0 .N r在 某 正 整 數(shù) 及 常 數(shù) .1 p r 由 于 10 011 1 1 (1 )

25、(1 )lim lim limp p pn x xx p xnr rx rn 1,pr 1 11 1, 1 .n nn nu u rn r pu u n由 得 選 使 得 證 (i)故 存 在 正 數(shù) N, 使 對 任 意 n N ， 都 有 11 1 .prn n 1 1 1 11 1 1 1 .p p pnnu nu n n n1 11 1n n Nn Nn n Nu u uu uu u u 這 樣 于 是 , 當(dāng) n N 時(shí) ， 有 1 2 11p p p Nn n N un n N ( 1) ( 1) 1 .p pNp pNN Nun u n 11 , , .npp un因 為 時(shí) 收

26、 斂 所 以 是 收 斂 的1 1 1 1(ii) 1 1, 1 ,n nn nu u nn u u n n由 得 于 是 1 31 21 2n nn n nu u uu uu u u 21 2 11 2n n un n 21 .un 1 , .nun因 為 發(fā) 散 故 是 發(fā) 散 的推 論 (拉 貝 判 別 法 的 極 限 形 式 )設(shè) nu 為 正 項(xiàng) 級 數(shù) , 且 極 限 1lim 1 nn nun ru (i) 1 , ;nr u當(dāng) 時(shí) 級 數(shù) 收 斂 (ii) 1 , .nr u當(dāng) 時(shí) 級 數(shù) 發(fā) 散 1 3 (2 1) (14)2 4 (2 ) Snn存 在 , 則當(dāng) s =1,

27、 2, 3時(shí) 的 斂 散 性 .例 14 討 論 級 數(shù)解 無 論 s =1, 2, 3哪 一 值 ,級 數(shù) (14)的 比 式 極 限 1lim 1nn nuu所 以 用 比 式 判 別 法 無 法 判 別 級 數(shù) (14)的 斂 散 性 . 現(xiàn)應(yīng) 用 拉 貝 判 別 法 來 討 論 . 當(dāng) s =1時(shí) ,因 1 2 1 11 1 ( ),2 2 2 2 2nnu n nn n nu n n 21 22 1 (4 3)1 1 1( ),2 2 2 2nnu n n nn n nu n n故 級 數(shù) (14)是 發(fā) 散 的 . 當(dāng) s = 2時(shí) , 利 用 極 限 形 式 , 有 無 法 對

28、級 數(shù) (14)的 作 出 判 斷 . 但 由 于由 拉 貝 法 的 非 極 限 形 式 知 級 數(shù) (14)發(fā) 散 . 當(dāng) s =3時(shí) ,31 2 1lim 1 lim 1 2 2nn nnu nn nu n 21 2 2(4 3) 4 31 1,4 8 42 2nnu n n n nn u n nn 2 3(12 18 7) 3lim 22 2n n n nn 所 以 級 數(shù) (14)收 斂 . 根 式 法 更 廣 泛 , 但 當(dāng) r =1 時(shí) 仍 無 法 判 別 . 而 從 例 12 似 乎 可 以 得 出 這 樣 得 結(jié) 論 ： 沒 有 收 斂 得 “ 最 慢 ” 的 收 斂 級 數(shù)

29、. 因 此 任 何 判 別 法 都 只 能 解 決 一 類 級 數(shù) 的 收 斂 問 題 ,而 不 能 解 決 所 有 級 數(shù) 的 收 斂 問 題 .當(dāng) 然 我 們 還 可 以 建 立 比 拉 貝 判 別 法 更 為 精 細(xì) 有 效 的 判 別 法 ,但 這 個(gè) 過 程 是 無 限 的 .從 上 面 看 到 , 拉 貝 判 別 法 雖 然 判 別 的 范 圍 比 比 式 或 復(fù) 習(xí) 思 考 題 1.設(shè) nu 為 收 斂 的 正 項(xiàng) 級 數(shù) ， 則 一 定 存 在 收 斂 的 正 nv lim nn nvu 項(xiàng) 級 數(shù) ,使 得 . 也 就 是 說 沒 有 收 斂 得 最 慢 的 級 數(shù) .是 否 存 在 發(fā) 散 得 最 慢 的 級 數(shù) ？ 1, 1nnuu 有,nu n N2.如 果 正 項(xiàng) 級 數(shù) 滿 足 對 一 切( 1) ?n n nu u 或 能 否 得 出 收 斂3.總 結(jié) 判 別 法 使 用 規(guī) 律 . 部 分 資 料 從 網(wǎng) 絡(luò) 收 集 整理 而 來 ， 供 大 家 參 考 ，感 謝 您 的 關(guān) 注 ！