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1、第十二章 實數(shù)第1講 實數(shù)的概念【知識要點】1. 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù),也就是不能用兩整數(shù)比表示的數(shù).無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負無理數(shù).只有符號不同的兩個無理數(shù)是互為相反數(shù).2. 實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).3. 實數(shù)分類：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解無理數(shù)、實數(shù)的概念【典型例題】【例1】 下列表述是否正確,并說明理由：（1）一個實數(shù),不是正數(shù),就是負數(shù).（2）有限小數(shù)都是有理數(shù),無限小數(shù)都是無理數(shù).（3）一個有理數(shù)不是整數(shù),就是負數(shù).（4）一個無理數(shù),不是正數(shù)就是負數(shù).（5）一個實數(shù)不是有理數(shù),就是無理數(shù).【分析】利用實數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)的概念.【解答】因為零是實數(shù),但它既不是正數(shù)也不是負

2、數(shù),在（1）的實數(shù)分類中并沒有把零包括在內(nèi),所以（1）不正確.無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù),而無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù),所以（2）不正確.因為零是有理數(shù),它既不是正數(shù)也不是負數(shù),在（3）的有理數(shù)分類中沒有把零包括在內(nèi),所以（3）不正確.無理數(shù)可分為正無理數(shù)和負無理數(shù),所以（4）正確.實數(shù)是有理數(shù)與無理數(shù)的統(tǒng)稱,所以（5）正確.【注】零在實數(shù)中仍是正、負數(shù)的分界點,不可忽視.【例2】選擇題：（1） 在實數(shù)范圍內(nèi),有一個數(shù)不是正實數(shù),這個數(shù)一定是（A） 負實數(shù) （B）負有理數(shù) （C）非正實數(shù) （D）非負實數(shù)（2） 實數(shù)(兩個11之間依次多一個0)中,無理數(shù)的個數(shù)有 （ ）（A）2個 （B）

3、3個 （C）4個 （D）5個【解答】（1）按實數(shù)可以分為正實數(shù),零,負實數(shù),非正實數(shù),即零或負實數(shù),選（C）.（2）判斷無理數(shù)應(yīng)根據(jù)無理數(shù)的概念“無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”來斷定,應(yīng)選（B）.【例3】分別將下列各數(shù)填入相應(yīng)的橫線上： （每兩個3之間1的個數(shù)依次多1）有理數(shù)是無理數(shù)是【分析】有理數(shù)是能表示為形式的數(shù),無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),分別用這兩條標(biāo)準去檢驗上面的數(shù)得出正確結(jié)果.【解答】有理數(shù)是：無理數(shù)是：（每兩個3之間1的個數(shù)依次多1）.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1. 實數(shù)可以分為和兩類.2 有理數(shù)可以分為和;但按符號來分還可以分為、和.3叫無理數(shù).4,無理數(shù)有個,它們是5寫出在2和3之間的一個無理數(shù).第

4、2講 數(shù)的開方（1）平方根和開平方【知識要點】1.平方根如果一個數(shù)的平方根等于,那么這個數(shù)叫做的平方根,也可敘述為：“如果,那么就叫做的平方根.”2.開平方求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方,叫做被開方數(shù).3.平方根的性質(zhì) 一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù).正數(shù)的兩個平方根可以用“”表示,其中表示的正平方根（又叫算術(shù)平方根）,讀作“根號”; 表示的負平方根,讀作“負根號”.零的平方根記作,. 因為任何一個正數(shù)、負數(shù)或零的平方都不是負數(shù),所以負數(shù)沒有平方根.4.開平方與平方的關(guān)系開平方與平方互為逆運算,根據(jù)平方根的意義,“如果,那么叫做的平方根”, 記作,我們得到：（1）一個正數(shù)的平方根的平方

5、等于這個數(shù),即：當(dāng)時,（2）一個正數(shù)的平方的正平方根等于這個數(shù),即：當(dāng)時,一個負數(shù)的平方的正平方根等于這個數(shù)的相反數(shù),即：當(dāng)時,【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解平方根與開平方的概念;2.理解開平方與平方互為逆運算的關(guān)系;3.掌握平方根的性質(zhì),分清平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別,并知道它們之間的聯(lián)系.【典型例題】例1 判斷下列說法是否正確：（1）1的平方根是1. （2）-16的平方根是. （3）的平方根是9.（4）. （5）-7是49的平方根 （6）的平方根是【解答】（1）不正確.因為1是正數(shù),1的平方根有兩個,是.（2）不正確.因為-16是負數(shù),負數(shù)沒有平方根.（3）不正確.應(yīng)該是的平方是9.（4）不正確.表示

6、81的正的平方根.它是一個正數(shù),=9,而.（5）正確.因為根據(jù)平方根的概念,-7是49的平方根,但反過來說,49的平方根是-7就錯了.(6)不正確.,的平方根即為4的平方根,所以的平方根應(yīng)是.【點評】解答這道題目是對鞏固和掌握平方根的概念和性質(zhì)不可忽視的基本訓(xùn)練.【例2】求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）【分析】求的值就是求144的正的平方根（即144的算術(shù)平方根）;求的值就是求的負的平方根（即的算術(shù)根的相反數(shù)）;求的值就是求0.01的平方根;求的值就是求的算術(shù)平方根的相反數(shù).搞清各式的符號語言的意義,是得到正確解的關(guān)鍵.【解答】（1） （2） （3） （4）【例3】求下列各數(shù)的平

7、方根：（1）0.64 （2） （3）0 （4）【解答】（1）的平方根是即：（2）（3）（4）【點評】運用平方運算求一個非負數(shù)的平方根是常用的方法.用符號語言表示一個非負數(shù)的平方根,應(yīng)由不習(xí)慣到習(xí)慣,這對加深平方根概念和性質(zhì)的理解有好處.【例4】 已知的平方根是,的平方根是,求的平方根.【分析】由已知得：=,即： , ,解由方程和組成的方程組得和的值,再求的平方根.【解答】由已知得解得的平方根是.【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1.下列說法正確的是（ ）（A）因為3的平方是9,所以9的平方根是3（B）因為-3的平方是9,所以9的平方根是-3（C）因為的底數(shù)為-3,所以沒有平方根（D）因為-9是負數(shù),所以-9沒有平方

8、根2.下列各數(shù)是否有平方根,如果有,有幾個？并說明理由.（1）（2）-8 （3）0 （4）3.已知與互為相反數(shù),求的值4.求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根（1）0.0009 （2） （3）5.求值.（1） （2） （3）（4） （5） （6）【提高訓(xùn)練】1.一個數(shù)的算術(shù)平方根為,比這個數(shù)大2的數(shù)是 ( )(A) （B） （C） （D）2. ,則的取值范圍為 （ ）(A) （B） （C） （D）3.若,則4.已知,求的值.5.已知一個正數(shù)的平方根是和,求的值.6.已知為實數(shù),求的最小值和取得最小值時的值.第2講 數(shù)的開方（2）立方根和開立方【知識要點】1.立方根與平方根類似,有：如果一個數(shù)的立方等

9、于,那么這個數(shù)叫做的立方根,用“”表示,讀作“三次根號”,中的叫做被開方數(shù),“3”叫做根指數(shù);也可敘述為“如果,那么就叫做的立方根”,記作.2.開立方求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方.開立方與立方互為逆運算.3.立方根的性質(zhì)我們已學(xué)過正數(shù)的立方是一個正數(shù),負數(shù)的立方是一個負數(shù),零的立方等于零,由立方運算可知正數(shù)有一個正立方根,負數(shù)有一個負立方根,零的立方根是零,也就是說任意一個數(shù)都有立方根,而且只有一個立方根.類似于平方與開平方之間的關(guān)系,根據(jù)立方根的意義,可以得到.（以上是實數(shù)）方法與技能：一個數(shù)的立方根記作“”,根指數(shù)3不能忽略.由于,有,有,可見.一般地,如果0則,如果把非負數(shù)的立方根叫

10、做算術(shù)立方根,那么負數(shù)的立方根可以由它的相反數(shù)的算術(shù)立方根的相反數(shù)來表示,也就是把“”號提到根號外面來.典型剖析【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解立方根與開立方的概念;2.理解開立方與立方互為逆運算的關(guān)系;【典型例題】【例1】 求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）【分析】 由立方根的意義,如果,那么就叫做的立方根,記作,可知的立方根的立方：.【解答】 （1） （2） 也可以這樣求：（3）（4）【例2】 判斷題（對的打“”,錯的打“”）（1）1的立方根是.（2）任何數(shù)都有立方根.（3）如果,那么.（4）兩個互為相反數(shù)的立方根也是互為相反數(shù).（5）一個數(shù)的立方根和平方根都是它本身,這個數(shù)是0或1.（6

11、）的平方根是.【解答】（1）（）. 1的立方根是1.（2）（）.任何實數(shù)都有唯一的立方根,記作.（3）（）.因為是的立方根,則;同理,.由可推出,即.（4）（）. ,兩個互為相反數(shù)的立方根也互為相反數(shù).(5) () 如果一個數(shù)的立方根是它本身,則或.如果一個數(shù)的平方根是它本身,則,則,所以或1.（6）（）. ,它的平方根為.【例3】 若0,則_.【解答】 x，x 4且x 114x，x 4;所以4 x 0, c+b-a0, 所以原式0，選C2內(nèi)角的計算【例1】如圖，已知120，225，A35，求BDC的度數(shù)。【分析】利用“三角形內(nèi)角和等于180”計算。【解答】 所以【例2】在不等邊三角形，它的最

12、小內(nèi)角的取值范圍是_.【分析】利用內(nèi)角和定理，并注意到是最小內(nèi)角?！窘獯稹吭O(shè)三內(nèi)角為，且，則，且三角形內(nèi)角.所以.【點評】在討論取值范圍是不要忘了內(nèi)角大于零度，并且不要遺漏“”.【例3】ABC中，如果那么ABC是（ ）（A） 銳角三角形（B） 直角三角形（C） 鈍角三角形（D）等腰三角形【分析】用內(nèi)角和定理結(jié)合提干信息，得到每個內(nèi)角的取值范圍。【解答】同理根據(jù)三角形的分類，三個內(nèi)角都是銳角的三角形是銳角三角形，選（A）?！纠?】已知ABC中，, D、E為垂足， BD、CE交于點H，如圖，求的度數(shù)。【分析】用內(nèi)角和定理以及“直角三角形兩銳角互余”，加上一個量再減去這個量保持原數(shù)量不變?！窘獯稹俊?/p>

13、點評】此題涉及了4個三角形的內(nèi)角和關(guān)系，處理這樣看似復(fù)雜的題目，只要理清關(guān)系就迎刃而解。3內(nèi)角與外角的聯(lián)系【例1】ABC中，的外角平分線交于點O，如果，求的度數(shù)?！痉治觥坷脙?nèi)角和定理以及“三角形外角等于其不相鄰兩內(nèi)角的和”計算?！窘獯稹?【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1. 三條線段a，b，c如能組成三角形，那么它們的長度比可能是（ ）（A）1：2：4 （B）1：3：4 （C）3：4：7 （D）2：3：42. 已知三角形的三邊分別為1，x，5，且x為整數(shù)，求x.3. 對于ABC，下列命題中不正確的是（ ）（A） 如果，那么ABC是直角三角形（B） 如果，那么ABC是銳角三角形（C） 如果，那么ABC是鈍角三角形

14、（D） 如果，那么ABC是直角三角形4. 已知ABC的三個內(nèi)角滿足關(guān)系式，則此三角形（ ）（A） 一定有一內(nèi)角為45（B） 一定有一內(nèi)角為60（C） 一定是直角三角形（D） 一定是鈍角三角形5. 如果以4cm長的線段為底組成一個等腰三角形,腰長x應(yīng)在的范圍是( )（A）x4cm （B）x2cm （C）x4cm （D）x2cm6. 在ABC中,A=2B=75,則C等于( )（A）30 （B）6730 （C）105 （D）1357. 若三角形兩邊長分別為6cm和2cm,第三邊長為偶數(shù),則第三邊長為( )（A）2cm （B）4cm （C）6cm （D）8cm8. 一個三角形有_條角平分線,_條中線,

15、_條高.9. 三角形兩邊分別為5cm和6cm,則第三邊c的范圍為_.10. 若等腰三角形兩邊長分別為3和4,則它的周長為_.11. 在ABC中,A=B=C,則A=_.12. 在ABC中, ,則B=_.13. 在ABC中,的平分線交于點O,則_.【能力提高】1. 已知a，b，c是三角形的三邊長，那么代數(shù)式的值是（ ）（A） 小于零 （B） 等于零 （C） 大于零 （D） 不能確定2. 已知ABC是等腰三角形（1） 如果AB8cm，BC16cm，求AC之長；（2） 如果AB8cm，BC12cm，求AC之長.3. 中，ABAC，AC邊上的中線BD，把分成兩個三角形，其周長之差為4cm，如果的周長為1

16、6cm，求此三角形三邊之長。4. 如圖,在ABC中,AF、CE、BD都是中線,且交于點H,在圖中找出ABH、AHC、BHC的三邊AB、AC、BC邊上的中線.5. 兩根木棒的長分別是7cm和10cm,要選擇第三根木棒,將它們釘成一個三角形,第三根木棒的長有什么限制?說明理由.6. 一個零件的形狀如圖,按規(guī)定A應(yīng)等于90,B與C應(yīng)分別是32和21,檢驗工人量得BDC=148,就判斷這個零件不合格,試用三角形有關(guān)知識說明理由.7. 如圖,在ABC中,A:ABC:ACB=3:4:5,BD、CE分別是邊AC、AB上的高,并相交于H,求BHC的度數(shù).第二講 全等三角形【知識要點】1全等三角形的概念：經(jīng)過平

17、移、翻折、旋轉(zhuǎn)能夠重合的兩個三角形叫做全等三角形?！咀⒁狻炕ハ嘀睾系捻旤c叫做對應(yīng)頂點；互相重合的邊叫做對應(yīng)邊；互相重合的角叫做對應(yīng)角。2. 兩個全等三角形的表示：ABCDEF【注意】把對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。3. 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。4. 全等三角形的判定（1） 兩邊夾一角對應(yīng)相等：S.A.S；（2） 兩角夾一邊對應(yīng)相等：A.S.A；（3） 兩角一對邊對應(yīng)相等：A.A.S；（4） 三邊對應(yīng)相等：S.S.S；【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解全等形的概念；2. 理解全等三角形的性質(zhì)；3. 熟練使用全等三角形的4條判定法則，并利用全等三角形的性質(zhì)證明邊或者角的關(guān)系?！镜?/p>

18、型例題】1全等三角形的性質(zhì)【例1】如圖，AB=AD, AC=AE, 如果ABEACD全等，BAD90,BE=10,CAE_,CD=_.【分析】利用全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等?！窘獯稹緼BEACD，則BADCAE90,.2全等三角形的判定【例1】如圖，已知 , 求證：【分析】只要證明ABDACE，就可證明。已知,，如果能再找出一對角相等就可判定全等。由已知，則，即【解答】【點評】從已知條件中獲取足夠信息證明兩個三角形全等，進而證明對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等，是重點考察的內(nèi)容。而利用角和邊的等量加減等量其和差相等，也是常用技巧?！纠?】如圖，A在OC上, B在OD上, OA=O

19、B, OC=OD, BC與AD相交于T，求證：OT平分.【分析】只要證明，就是OT平分, 可尋求證明, 為此要證CT=DT，這樣又要證，那么可從判定入手。【解答】【點評】證明全等三角形并利用其性質(zhì)和其他信息證明另一對三角形全等，是一個難點，只要我們耐心就可以解決?！纠?】 水管沿公路直線鋪設(shè)，A、B是公路同側(cè)的兩個居民點，為了給這兩點供水需在總水管上選一點P，使自P到A、B所鋪設(shè)水管的總長最短，問P應(yīng)設(shè)在總水管上哪一點？【分析】自點A向總水管所在直線l引垂線，垂足為D，延長AD到A, 使AD=AD，這樣l就是AA的中垂線，聯(lián)結(jié)AB交l于P，點P即為所求點。【解答】在l上取異于點P的點P1，則A

20、P1=AP1(中垂線定理）【點評】這個取對稱點利用中垂線定理的解法叫做“軸對稱變換法”，是解決此類問題的典型解法，需要體會掌握。【基礎(chǔ)訓(xùn)練】1. 如圖AB=AC, AD=AE, CD與BE交于點F，則ABEACD;BDFCEF;F在A的平分線上.以上結(jié)論正確的是（A）只有 （B）只有 （C）只有 （D）2. 下列命題中正確的是（ ）（A）全等三角形的高相等 （B）全等三角形的中線相等（C）全等三角形的角平分線相等 （D）全等三角形對應(yīng)角的平分線相等3. ABC是不等邊三角形, DE=BC,以 D、E為兩個頂點作位置不同的三角形，使所作的三角形與ABC全等，這樣的三角形最多可以畫出（A）2個 （

21、B）4個 （C）6個 （D）8個4. 兩三角形有以下元素對應(yīng)相等，不能判定全等的是（ ）（A）兩角和一邊 （B）兩邊及夾角 （C）三個角 （D）三條邊5. 如果兩個三角形兩邊對應(yīng)相等，且其中一邊所對的角也相等，那么這兩個三角形（ ）（A）一定全等 （B）一定不全等 （C）不一定全等 （D）面積相等6. 如果兩個三角形中兩條邊和其中一邊上的高對應(yīng)相等，那么這兩個三角形的第三條邊所對的角的關(guān)系是（ ）（A）相等 （B）不相等 （C）互余或相等 （D） 互補或相等7. 如圖，求證：AB=DE,ABDE.8. 在ABC中，B=60，A和C的平分線相交于點O，求證：AE+CD=AC.【能力提高】1. 在

22、ABC中，ABBCCA, 那么在C60,B60,A=60中正確的是（ ）（A） （B） （C） （D）2. 如圖，已知AB=DE，直線AE、BD相交于C，B與C互補，求證：AC=EC.3. 如圖,設(shè)ABC在邊AC、AB上的高分別為BE、CF，在BE上截取BP=AC，在直線CF上截取CQ=AB，求證：AP=AQ, APAQ.4. ABC為等腰直角三角形，A=90，D為BC的中點，P是線段BD上任意一點，PEAB，PFAC, E、F是垂足，求證：DE=DF，且DEDF.5. 如圖和均為等邊三角形，求證：DC=BE。6. 如圖ABC90ABBC，D為AC上一點分別過A.C作BD的垂線，垂足分別為E.F,求證：EFCFAE.7. 如圖，ABC中，E、F分別是AB、AC上的點 AD平分BAC， DEAB，DFAC， ADEF以此三個中的兩個為條件，另一個為結(jié)論，可構(gòu)成三個命題，即： ， ， （1）試判斷上述三個命題是否正確（直接作答）；（2）請證明你認為正確的命題8. 如圖，已知為等邊三角形