《五年級(jí)下冊(cè)同步奧數(shù)培優(yōu)北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《五年級(jí)下冊(cè)同步奧數(shù)培優(yōu)北師大版（42頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、讓每一個(gè)學(xué)生成功目 錄第一講 分?jǐn)?shù)乘法（乘法中的簡(jiǎn)算） 2練習(xí)卷. 5第二講 長(zhǎng)方體和正方體（巧算表面積） 6練習(xí)卷. 10第三講 分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題 11練習(xí)卷. 15第四講 長(zhǎng)方體和正方體（巧算體積） 16練習(xí)卷 20第五講 較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（尋找不變量） 21練習(xí)卷. 24第六講 百分?jǐn)?shù)（濃度問(wèn)題） 25練習(xí)卷. 28綜合演習(xí)（1） 29綜合演習(xí)（2） 31第一講 分?jǐn)?shù)乘法例題講學(xué) 例1 （1）19 （2） 27【思路點(diǎn)撥】 觀察這兩道題中數(shù)的特點(diǎn)，第（1）題中的比1少，可以把看作1-，然后和19相乘，利用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便；同樣，第（2）題中27與中的分母26相差1，可以把27看作（2

2、6+1），然后和相乘，再運(yùn)用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。技巧 把哪個(gè)數(shù)拆分是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，或拆成與1有關(guān)的兩數(shù)之差或和；或者把一個(gè)數(shù)拆分成與分?jǐn)?shù)分母相關(guān)的和或差，最后用乘法分配律使計(jì)算簡(jiǎn)便。同步精練1. 35 2. 103. 8 4. 1265. 17 6. 例2 【思路點(diǎn)撥】 仔細(xì)觀察分子、分母中各數(shù)的特點(diǎn)，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)，分子1999+20001998=1999+2000（1999-1）=1999+20001999-2000=20001999-1，這樣就把分子轉(zhuǎn)化成與分母完全相同的式子，結(jié)果自然就好計(jì)算了，試試吧！技巧 解決稍復(fù)雜的分?jǐn)?shù)乘法問(wèn)題時(shí)，不要慌張，要仔細(xì)觀察數(shù)的特點(diǎn)，根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)一般都

3、能化成分子、分母能約分的情況，然后使計(jì)算簡(jiǎn)便。同步精練1. 2. 例3 【思路點(diǎn)撥】 在這道題中，每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，分母是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的乘積?？聪旅嬉?guī)律：=1-， =-， =-， 把每個(gè)分?jǐn)?shù)都拆寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差，使部分分?jǐn)?shù)前后互相抵消，使計(jì)算簡(jiǎn)便。技巧 做這類題目的關(guān)鍵是把一個(gè)分?jǐn)?shù)式子如何進(jìn)行拆分，并把拆分的結(jié)果統(tǒng)一前后抵消，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便。同步精練 1. + 2. + 3. 練 習(xí) 卷1. 27 2. 3. 4. 5. 6. 7 第二講 長(zhǎng)方體和正方體（巧算表面積）例題講學(xué) 例1 兩個(gè)棱長(zhǎng)是2厘米的小正方體可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少？【40】 【思路點(diǎn)撥】 先根據(jù)題

4、意畫圖： 從圖上可以清楚地看出：兩個(gè)正方體原先各有6個(gè)正方形的面，當(dāng)把它們拼起來(lái)時(shí)就少了2個(gè)正方形的面。這時(shí)，求長(zhǎng)方體的表面積只相當(dāng)于求（12-2=）10個(gè)正方形的面積；還可以這樣想：當(dāng)兩個(gè)正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體時(shí)，求長(zhǎng)方體的表面積，我們可以先分別求出這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，再求出它的表面積。技巧 1.當(dāng)物體拼合時(shí)表面積之和少了，可以根據(jù)用原來(lái)的面去掉減少了的面，從而求出拼合后物體的面積數(shù)量，然后求出表面積。2.還可以求出拼成后大物體的長(zhǎng)、寬、高，再根據(jù)物體形狀直接求表面積。同步精練1. 把兩個(gè)棱長(zhǎng)是3厘米的小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少？ 2把底面積是36平方厘米的兩個(gè)正方體

5、木塊拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的表面積是多少？3把三個(gè)完全相同的正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是350平方厘米。每個(gè)正方體的表面積是多少平方厘米？ 例2 把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是7厘米、6厘米、5厘米的長(zhǎng)方體截成兩個(gè)長(zhǎng)方體，使這兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和最大，這時(shí)表面積之和是多少平方厘米？【(7x6+7x5+6x5)x2+7x6x2=298】 【思路點(diǎn)撥】把長(zhǎng)方體截成兩個(gè)長(zhǎng)方體后，兩個(gè)長(zhǎng)方體表面積之和等于原長(zhǎng)方體表面積再加上兩個(gè)截面的面積。這個(gè)長(zhǎng)方體幾個(gè)面中，上、下面的面積最大，所以要看哪個(gè)面的面積最大，于是本題就按平行于上、下面的方式去截，才使表面積之和最大。技巧 長(zhǎng)方體截成兩個(gè)長(zhǎng)方體有三種截

6、法，如圖： 每一種截法都會(huì)產(chǎn)生不同的面，所以判斷怎么樣截是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。同步精練1. 把一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬8厘米、高6厘米的長(zhǎng)方體木料截成兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體，怎樣截才能使截成之后，得到兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和最大？最大是多少？【536】2. 把兩個(gè)長(zhǎng)3厘米、寬2厘米、高1厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)表面積最大的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積是多少平方厘米？【40】3把兩個(gè)長(zhǎng)6厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，這個(gè)大長(zhǎng)方體的表面積的最大值與最小值相差多少？ 【192】-【168】=【24】例3 求出下面立體圖形的表面積。（單位：厘米）6 【思路點(diǎn)撥】 從圖上看出，這個(gè)圖形是由一個(gè)長(zhǎng)方體和一

7、個(gè)正方體組成的，求它的表面積時(shí)，可以把正方體的右側(cè)面平移到長(zhǎng)方體上，這個(gè)立體圖形的表面積就可以用一個(gè)完整的長(zhǎng)方體表面積加上一個(gè)正方體的上、下、前、后四個(gè)面的面積。4810【440】44同步精練1. 在一個(gè)棱長(zhǎng)為5分米的正方體上放一個(gè)棱長(zhǎng)為4分米的小正方體（如圖），求這個(gè)立體圖形的表面積。【214】 2.求下列組合圖形的表面積。（三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)從上往下依次是1厘米、2厘米、4厘米） 【116】 3. 18個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的小正方體堆成如下圖的形狀，求它的表面積。上下兩面面積：(2x3)x(2x3)x2=72 左右兩面面積: 2x(2x3)+2x(2x2)+ 2x(2x2)+2x2x2=64前后兩

8、面面積：(2+2)x(2+2+2)+2x(2+2)+2x2x2=72 總面積：72+64+72=208平方厘米 例4 如圖，從右面這個(gè)圖形的頂點(diǎn)處挖去一個(gè)小正方體，那么所得物體的表面積是多少平方厘米？（每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)為1厘米） 【思路點(diǎn)撥】從頂點(diǎn)處挖掉一個(gè)小正方體后，原來(lái)的小正方體露在外面的3個(gè)面就少了，但這時(shí)又有3個(gè)同樣大小的面露了出來(lái)，所以表面積是沒(méi)有大小變化的。【54】同步精練 1.如上圖，如果從小正方體的上面的中間挖去一個(gè)小正方體，那么此時(shí)正方體的表面積是多少了呢？【58】 2.如下圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為6厘米的大正方體的6個(gè)面上分別挖去一個(gè)小正方體，現(xiàn)在剩下圖形的表面積是多少？ 【31

9、2】 2. 從一個(gè)長(zhǎng)方體的上面往下挖通，求現(xiàn)在物體的表面積是多少。（原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是10厘米、8厘米、12厘米，挖去的圖形為長(zhǎng)、寬都是4厘米的小長(zhǎng)方體。） (10x8+10x12+8x12)x2-4x4x2+(4+4+4+4)x12=752練 習(xí) 卷1.長(zhǎng)方體的底面積是12平方厘米，寬2厘米，高和寬相等，表面積是（56）平方厘米，底面周長(zhǎng)是（16）厘米。2.一個(gè)正方體的底面積是25平方分米，它的表面積是（150）平方分米。3.一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是a米、b米、h米，如果高增加4米后，新的長(zhǎng)方體表面積比原來(lái)增加了（8a+8b）平方米。4.把一根長(zhǎng)2.4米，寬0.8米，高0.4米的

10、木料鋸成大小相等的2段，它的表面積最少增加多少平方米？【0.64】5.將兩本長(zhǎng)25厘米、寬20厘米、厚5厘米的書包成一包，怎樣才能節(jié)約包裝紙？請(qǐng)畫圖表示，并求出需要多少包裝紙？【25x20+25x10+20x10】x2=19006.求下面立體圖形的表面積。（單位：厘米） 前后兩面面積：(14x6+7x7+5x3)x2=296 左右兩面面積：14x20x2=560 上下兩面面積：20x(6+7+5)x2=720總面積為：296+560+720=1576平方厘米7.把一個(gè)棱長(zhǎng)為3厘米的正方體外面全部涂上紅色，再把它切成棱長(zhǎng)為1厘米的小正方體，共切成多少塊？在這些小正方體中：三面涂紅的有多少塊？83

11、cm兩面涂紅的有多少塊？123cm3cm一涂紅的有多少塊？ 6任何一面都沒(méi)有涂紅的有多少塊？1第三講 分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題例題講學(xué) 例1 加工一批零件，第一天加工210個(gè)，第二天加工240個(gè)，這兩天共加工了這批零件的。這批零件共有多少個(gè)？【750】【思路點(diǎn)撥】總個(gè)數(shù)的？個(gè) 技巧根據(jù)題意，把這批零件的總數(shù)看作單位“1”，兩天共加工210+240=450（個(gè)），450正好占這批零件總數(shù)的。求單位“1”的量用除法計(jì)算。 求單位“1”時(shí)，用除法，可以用“具體的量它所對(duì)應(yīng)的分率”。同步精練1.超市運(yùn)進(jìn)水果，第一批運(yùn)進(jìn)320千克，第二批運(yùn)進(jìn)400千克，這兩批運(yùn)進(jìn)的水果重量占超市現(xiàn)在所有水果的，超市現(xiàn)在一共有水果

12、多少千克？ 【1080】2.一條鐵路，修完900千米后，剩余部分比全長(zhǎng)的少300千米，這條鐵路全長(zhǎng)多少千米？ （900-300）*4=2400千米3.修路隊(duì)修一條路，第一天修了全長(zhǎng)的，第二天修了1000米。這時(shí)已修的米數(shù)占全長(zhǎng)的。這條路全長(zhǎng)多少千米？1000/(8/15-1/5)=3000米例2 李添三天看完一本書，第一天看了這本書的，第二天看了24頁(yè)，還剩下全書的未看。這本書共有多少頁(yè)？【80】全書的全書的【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)題意畫線段圖，幫助理解題意，分析數(shù)量關(guān)系。？頁(yè)24頁(yè) 技巧這道題中有一個(gè)具體數(shù)量“第二天看了24頁(yè)”，所以這是解決問(wèn)題的突破口，要找出24頁(yè)所對(duì)應(yīng)的分率，即總頁(yè)數(shù)-第一天

13、看的-剩下的=1-=，用24除以它所對(duì)應(yīng)的分率，即可求出全書頁(yè)數(shù)。 從具體數(shù)量出發(fā)，找出具體數(shù)量的對(duì)應(yīng)分率，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵之所在。同步精練1.電腦公司要修一批電腦，已經(jīng)修了這批電腦的，再修24臺(tái)就正好修了這批電腦的一半。這批電腦有多少臺(tái)？24/(1/2-1/3)=1443. 一筐蘿卜賣掉以后，又賣出6千克，這時(shí)賣出的正好是剩下的。這筐蘿卜原有多少千克？解：由原有X千克蘿卜，由題意得到21/5X+6=X-1/5X+6 解的：X=453.筑路隊(duì)三天修好一條馬路，第一天修了全長(zhǎng)的，第二天修了全長(zhǎng)的，第一天比第二天少修90米，這條馬路全長(zhǎng)多少米？解：設(shè)馬路全長(zhǎng)X米，由題意得到：1/4X+90=2/5

14、X 得X=600米例3 一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的，第二次用去余下的，這時(shí)還剩下108米。這捆電線共長(zhǎng)多少米？【180】【思路點(diǎn)撥】 這道題中已知的具體數(shù)量是“還剩下108米，”所以要找出它所對(duì)應(yīng)的分率還剩下幾分之幾。 第一次用去全長(zhǎng)的，第二次用去余下的，而余下的即是（1-）的=，108米對(duì)應(yīng)的分率是（1-）=，所以用108除以求出這捆電線的總長(zhǎng)度。技巧 問(wèn)題的關(guān)鍵還是找題中具體數(shù)量所對(duì)應(yīng)的分率。謹(jǐn)記：“具體量對(duì)應(yīng)分率=單位1”同步精練1.工廠進(jìn)了一批原料，第一個(gè)星期用去總數(shù)的，第二個(gè)星期用去總數(shù)的，這時(shí)用去的比剩下的多31噸，這批原料共有多少噸？解：設(shè)共有X噸，則2/5X+4/9X-31=X

15、-2/5X+4/9X 得X=45噸2.牛師傅計(jì)劃做一批零件，第一天做了計(jì)劃的，第二天又做了余下的，這時(shí)還剩42個(gè)零件沒(méi)做。牛師傅計(jì)劃做多少個(gè)零件？解：設(shè)計(jì)劃做X個(gè)，由題意的：X-(4/7)X+X-(4/7)X (3/5)=42得：X=2453.一批木料，先用去總數(shù)的，又用去剩下的，這時(shí)用去的比剩下的多10立方米，這批木料共有多少立方米？70立方米例4 有一堆蘋果，吃了后又買來(lái)324個(gè)，這時(shí)這堆蘋果的個(gè)數(shù)比原來(lái)多了。原來(lái)這堆蘋果有多少個(gè)？720 【思路點(diǎn)撥】 這道題中僅有一個(gè)具體數(shù)量“又買來(lái)324個(gè)”所以解決問(wèn)題的關(guān)鍵即是找準(zhǔn)324的對(duì)應(yīng)分率，也就是找出“又買來(lái)的324個(gè)蘋果占幾分之幾”根據(jù)已知

16、條件吃了，還剩下，而買來(lái)324個(gè)之后，比原來(lái)多了，也就是占原來(lái)的，所以買來(lái)的324個(gè)蘋果就占（-=），所以用324除以對(duì)應(yīng)的分率就可以求出單位“1”，即原來(lái)的蘋果總數(shù)了?！舅悸伏c(diǎn)撥】 吃了后總數(shù)少了，而當(dāng)買來(lái)324個(gè)蘋果之后，卻比原來(lái)的總數(shù)還多了，這說(shuō)明這324個(gè)蘋果不但把吃了的補(bǔ)上了，而且還多出來(lái)了，所以324個(gè)蘋果就占（+=），故而用324即可以求出單位“1”了。同步精練1.食堂原有一批大米，吃了后，有運(yùn)進(jìn)170千克，這時(shí)大米的總重量比原來(lái)還多了，原來(lái)食堂有大米多少千克？300千克2.玩具店開業(yè)當(dāng)天賣出玩具，第二天又新進(jìn)150件新玩具，這時(shí)玩具總數(shù)比原來(lái)卻少了。玩具店原來(lái)有玩具多少件？54

17、0件練 習(xí) 卷1.某家具店要生產(chǎn)一批沙發(fā)，第一周生產(chǎn)了64套，第二周生產(chǎn)了86套，兩周共生產(chǎn)了這批沙發(fā)總數(shù)的。家具廠還要生產(chǎn)多少套沙發(fā)？(64+86)/(3/10)=500500*(7/10)=3502.服裝廠第一車間有工人150人，第二車間的工人數(shù)是第一車間的，兩個(gè)車間的人數(shù)正好是全廠工人總數(shù)的，全廠有工人多少人？第二車間有人：150*（2/5）=60兩車間的人數(shù)為：150+60=210全廠工人有：210/(5/6)=2523.一根鋼筋截去8米后，所剩部分比原長(zhǎng)的還多2米。這根鋼筋原長(zhǎng)多少米254.學(xué)校植樹，第一天完成了計(jì)劃的，第二天完成了計(jì)劃的，第三天植樹55棵，結(jié)果超過(guò)計(jì)劃的，學(xué)校計(jì)劃植

18、樹多少棵？(3/8)X+(5/12)X+55=(1+1/4)X X=1205.欣欣原有一些糖果，吃了后，媽媽又給她買來(lái)14顆，這時(shí)的糖果總數(shù)是原來(lái)的。欣欣原來(lái)有糖果多少顆？(1/4)x+14=(5/6)x x=24第四講 長(zhǎng)方體和正方體（巧算體積）例題講學(xué) 例1 把一塊棱長(zhǎng)為6分米的正方體鋼坯，熔鑄成橫截面是9平方分米的長(zhǎng)方體鋼材。鑄成的鋼材有多長(zhǎng)？【6x6x6】/9=24分米技巧【思路點(diǎn)撥】 把正方體鋼坯熔鑄成長(zhǎng)方體后，雖說(shuō)形狀變了，可體積沒(méi)有變，正方體鋼坯的體積就是長(zhǎng)方體鋼材的體積。所以先求出正方體的體積，也就是長(zhǎng)方體的體積。用體積除以長(zhǎng)方體鋼材的橫截面面積，就可以求出長(zhǎng)方體鋼材的長(zhǎng)度了。

19、抓住體積不變這個(gè)隱藏的量，熔鑄前體積等于熔鑄后的體積，再根據(jù)“體積橫截面積=長(zhǎng)”這個(gè)公式，從而輕松解決問(wèn)題。 同步精練1.把一塊棱長(zhǎng)為0.8米的正方體鋼坯，鍛造成底面積是0.16平方米的長(zhǎng)方體鋼材，鍛造成的鋼材有多高？3.2米2.把一個(gè)棱長(zhǎng)10厘米的正方體橡皮泥，重新捏成一個(gè)高和寬都是2厘米的長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是多少分米？10x10x10/2x2=250厘米=25分米 3.棱長(zhǎng)為6分米的正方體容器內(nèi)有4分米高的水，把這些水全部倒入一個(gè)長(zhǎng)4分米、寬3分米、高15分米的長(zhǎng)方體水箱內(nèi)，這時(shí)水深多少？要注滿水箱還需要再倒入多少升水？h=6x6x4/4x3=12分米還需倒入：長(zhǎng)x寬x（H-h）= 4

20、x3x3=36立方分米=36升 例2 一只長(zhǎng)15分米、寬12分米的長(zhǎng)方體玻璃鋼中，有10分米深的水。放入一塊棱長(zhǎng)為3分米的正方體鐵塊，鐵塊全部浸沒(méi)在水中并且水未溢出，這時(shí)，水面升高了幾厘米？技巧【思路點(diǎn)撥】 將物體放入容器中，水面的高度肯定上升，上升的水的體積其實(shí)就是物體的體積。本題可以先求出正方體鐵塊的體積，也就是增加的水的體積，再用這個(gè)體積除以容器的底面積從而求出水面上升的高度了。 要明白一點(diǎn)：當(dāng)物體完全沉沒(méi)在水中時(shí)，物體的體積=上升的水的體積。正方體體積：3x3x3=27立方分米 h=27/15x12=0.15分米同步精練1.一個(gè)長(zhǎng)方體容器，底面積是200平方厘米，高10厘米，里面盛有5

21、厘米深的水。現(xiàn)將一塊石頭放入水中，水面升高到8厘米處，這塊石頭的體積是多少立方厘米？V=200X(8-5)=600立方厘米2.一個(gè)長(zhǎng)60厘米、寬20厘米的盛水容器，把5塊體積相等的鐵塊投入水中后，容器中的水面剛好上升了4厘米，求每塊鐵塊的體積。V=(60X20X4)/5=960立方厘米3.在一只長(zhǎng)120厘米、寬60厘米、深70厘米的浴缸中放入水，李明進(jìn)入浴缸后，水剛好沒(méi)到李明頸部。已知水上升了20厘米，求出李明頸部以下的體積是多少立方分米？V=120X60X20=144000立方厘米=144立方分米例3 如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體，高截去2cm，表面積就減少了48平方厘米，剩下部分成為一個(gè)正方體，求原長(zhǎng)

22、方體的體積?！舅悸伏c(diǎn)撥】 當(dāng)高少了2cm后，首先明白表面積少了哪些面？應(yīng)該是前后左右四個(gè)小面，因?yàn)樯厦骐m然也少了，但又多出來(lái)一個(gè)上面，所以少了4個(gè)小面，因?yàn)槭Ｏ碌牟糠质且粋€(gè)正方體，所以這四個(gè)小面是完全相等的，故用48除以4從而得出一個(gè)小面的面積，再用一個(gè)小面的面積除以2，從而能求出正方體的棱長(zhǎng)，也是原長(zhǎng)方體的長(zhǎng)和寬，接著求出原長(zhǎng)方體的高，最后求出體積。技巧解：48/4=12平方厘米,12/2=6厘米，V=6x6x8=288立方厘米 關(guān)鍵是看截去一個(gè)小長(zhǎng)方體后，表面積是少了哪些面，一般會(huì)認(rèn)為少了5個(gè)小面，其實(shí)上面并沒(méi)有少，只少了4個(gè)，而少的這4個(gè)面本題是有關(guān)系的，因?yàn)槭Ｏ碌臑橐粋€(gè)正方體，所以先求

23、出一個(gè)面積，從而打開解決問(wèn)題的入口。同步精練1.把一個(gè)長(zhǎng)方體的高截去3厘米后，剩下的部分正好是一個(gè)正方體，而表面積卻減少了36平方厘米，求原長(zhǎng)方體的表面積。36/4=9 9/3=3,長(zhǎng)=寬=3厘米，高=3+3=6厘米，S=2x3X3+3X6+3X6=90【錯(cuò)題】2.從一個(gè)長(zhǎng)是12厘米、高9厘米的長(zhǎng)方體上，平行于底截掉一個(gè)4厘米高的小長(zhǎng)方體，表面積減少了80平方厘米，求截掉的小長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？例4一個(gè)長(zhǎng)方體，前面和上面的面積之和是209平方厘米，這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高以厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？技巧【思路點(diǎn)撥】 要求長(zhǎng)方體的體積，就要求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。因?yàn)?/p>

24、這個(gè)長(zhǎng)方體的前面和上面的面積之和是209平方厘米，也就是長(zhǎng)寬+長(zhǎng)高=長(zhǎng)（寬+高）=209。根據(jù)“長(zhǎng)、寬、高以厘米為單位的數(shù)都是質(zhì)數(shù)”這個(gè)條件可知：209=1119。而11和19哪個(gè)數(shù)能寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和呢，只有19=2+17，所以長(zhǎng)、寬、高就分別是11、2、17，從而能求出長(zhǎng)方體的體積了。 V=11X2X17=374立方厘米 解決此類題目的關(guān)鍵是在把面積之和如何分成兩個(gè)數(shù)的積，并且這兩個(gè)數(shù)中首先必須有一個(gè)是質(zhì)數(shù)，再把另一個(gè)數(shù)分成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。同步精練【略】1.一個(gè)長(zhǎng)方體的前面和右面的面積之和是54平方厘米，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是整數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少？1.一個(gè)長(zhǎng)方體前面和上面的面積之和

25、為39平方厘米，它的長(zhǎng)、寬、高都是整厘米，且都是質(zhì)數(shù)，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？考點(diǎn)：整數(shù)的裂項(xiàng)與拆分；長(zhǎng)方體和正方體的體積分析：根據(jù)題意：一個(gè)長(zhǎng)方體前面和上面的面積=長(zhǎng)高+長(zhǎng)寬=長(zhǎng)（高+寬）=39，又知它的長(zhǎng)、寬、高都是整厘米，且都是質(zhì)數(shù)，39只有1種組合133，3不可再分，13只能分為2、11，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式求出得數(shù)解答：解：一個(gè)長(zhǎng)方體前面和上面的面積=長(zhǎng)高+長(zhǎng)寬=長(zhǎng)（高+寬）=39（平方厘米），39=313=3（2+11），所以：長(zhǎng)寬高分別為2、3、11，體積=2311=66立方厘米答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是66立方厘米故答案為：66立方厘米【略】2.一個(gè)長(zhǎng)方體的上面和右面的面

26、積之和是36平方厘米，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都是整數(shù)，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積和表面積分別是多少？練 習(xí) 卷1.一個(gè)正方體玻璃缸棱長(zhǎng)2分米，向容器中倒入5升水，再放入一塊不規(guī)則的石頭，這時(shí)量得容器內(nèi)的水深15厘米。石頭的體積是多少立方厘米？h=5/(2X2)=1.25分米 V=2X2X(1.5-1.25)=1立方分米=1000立方厘米2.一個(gè)封閉的長(zhǎng)方體容器的高是25厘米，長(zhǎng)和寬都是10厘米，容器內(nèi)裝著一些水。如果把該容器長(zhǎng)、寬都是10厘米的面做底面放在桌面上，這時(shí)水的高度是15厘米。如果把容器長(zhǎng)25厘米、寬10厘米的面做底面放在桌子上，這時(shí)水的高度是多少厘米？H=10x10x15/（25x10）=6

27、厘米3.一只底面是正方形的長(zhǎng)方體鐵箱，如果把它的側(cè)面展開，正好得到一個(gè)邊長(zhǎng)是40厘米的正方形。求這只長(zhǎng)方體鐵箱的容積是多少升？長(zhǎng)=寬=40/4=10厘米 高=40厘米 V=10x10x40=4000立方厘米=4升4. 一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高截去2厘米，表面積就減少了32平方厘米，剩下的正好是一個(gè)正方體。原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是多立方厘米？32/4=8厘米 8/2=4厘米 長(zhǎng)=寬=4厘米 高=6厘米 V=4X4X6=96立方厘米第五講 較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題（尋找不變量）例題講學(xué) 例1 乙隊(duì)原有的人數(shù)是甲隊(duì)人數(shù)的?，F(xiàn)在甲隊(duì)派30人到乙隊(duì)，則乙隊(duì)人數(shù)現(xiàn)在是甲隊(duì)的。原來(lái)兩隊(duì)一共有多少人？ 【思路點(diǎn)撥】 當(dāng)“現(xiàn)在甲

28、隊(duì)派30人到乙隊(duì)”后，甲、乙兩隊(duì)的人數(shù)都發(fā)生了改變，所以單位“1”不好確定，但有一個(gè)未變的量，那就是兩隊(duì)的總?cè)藬?shù)，因此我們可以把兩隊(duì)的總?cè)藬?shù)看作單位“1”。 從“乙隊(duì)原有的人數(shù)是甲隊(duì)人數(shù)的”可以把乙隊(duì)人數(shù)看作3份，甲隊(duì)人數(shù)看作7份，總?cè)藬?shù)為10份，則乙隊(duì)人數(shù)占總?cè)藬?shù)的=，后來(lái)甲隊(duì)派30到乙隊(duì)后，乙隊(duì)占總?cè)藬?shù)的=，那么乙隊(duì)多了（-）而正是多了30人所致。求出30人所對(duì)應(yīng)的分率，再求出原來(lái)的總?cè)藬?shù)。技巧 令甲人數(shù)X,則乙(3/7)X,(X-30)(2/3)=(3/7)X+30 X=210(甲) （乙）=90 此類題目的兩個(gè)量都是變化的，所以單位“1”不能確定，一定要找出不變的量，把它確定為單位“1

29、”，然后再看其中的一個(gè)量前后分別是單位“1”的幾分之幾，最后再利用具體數(shù)量和分率從而求出單位“1”。 同步精練 1.甲、乙兩個(gè)糧庫(kù)，甲糧庫(kù)存糧的噸數(shù)是乙糧庫(kù)的。現(xiàn)在從乙糧庫(kù)調(diào)6噸糧食到甲糧庫(kù)，則甲糧庫(kù)存糧的噸數(shù)是乙糧庫(kù)的。原來(lái)兩個(gè)糧庫(kù)各存糧多少噸？令乙原有X，則甲(5/7)X,(5/7)X+6=(4/5)(X-6) 【X=126:乙】【甲：90】3. 五（3）班在一次聚會(huì)中，請(qǐng)假人數(shù)是出席人數(shù)的，中途又有一人離開，這樣請(qǐng)假人數(shù)是出席人數(shù)的。五（3）班共有多少人？令：出席人X,則請(qǐng)假人X/9，X/9+1=(3/22)(X-1) X=45 X/9=5 50總?cè)藬?shù) 例2 甲、乙、丙、丁四人向希望工程

30、捐款，結(jié)果甲捐了另外三人的一半，乙捐了另外三人的，丙捐了另外三人的，丁捐了91元。甲、乙、丙、丁四人共捐了多少元？【思路點(diǎn)撥】 根據(jù)題意可知，單位“1”是另外三人的總和，但另外三人的總和是無(wú)論如何也不知道，且是變化的，所以行不通。但甲乙丙丁四人的總和是固定不變的，所以可以把四人的錢數(shù)總和看作單位“1”。 “甲捐了另外三人的一半”，可以看作甲捐的錢是1份，另外三人是2份，共3份，甲捐的是四人總數(shù)的，同理，乙捐的是四人總數(shù)的，丙捐的是四人總數(shù)的。那么我們就可以求出剩下的丁捐的錢數(shù)占四人總數(shù)的幾分之幾了，再用具體數(shù)量91除以對(duì)應(yīng)分率，從而求出總數(shù)。技巧1- 1-1/3-1/4-1/5X=91 X=4

31、20元 此類題目的難點(diǎn)就在于雖然單位“1”名字上統(tǒng)一，但卻不是固定的，所以要找出固定不變的量作為統(tǒng)一的單位“1”，然后求出每個(gè)量占單位“1”的幾分之幾，最后用對(duì)應(yīng)的具體數(shù)量除以對(duì)應(yīng)分率，從而求出單位“1”。同步精練 1.三個(gè)小朋友合買一枚價(jià)值24元的2008年奧運(yùn)會(huì)紀(jì)念章，第一個(gè)小朋友付的錢是其他孩子付的錢的一半，第二個(gè)孩子付的錢是其他孩子付的錢的。問(wèn)：第三個(gè)孩子付了多少元錢？【10元】2.甲乙丙丁四個(gè)數(shù)，甲數(shù)是其它三個(gè)數(shù)之和的，乙數(shù)是其它三個(gè)數(shù)之和的，丙數(shù)是其它三個(gè)數(shù)之和的。已知丁數(shù)是260，求四個(gè)數(shù)的和是多少？甲數(shù)是多少？【1200】 【400】例3一堆糖果，其中奶糖占，再放入16塊水果糖

32、后，奶糖就只占。這一堆糖果原來(lái)一共有多少塊？【思路點(diǎn)撥】 解答這道題時(shí)，應(yīng)抓住奶糖不變這個(gè)條件。因?yàn)樵诳倲?shù)發(fā)生了變化，水果糖也發(fā)生了變化的時(shí)候，奶糖卻是不變的，所以把變化的量水果糖，求出變化前后分別是奶糖的幾分之幾，再看變化前后的具體數(shù)量，然后求出單位“1”奶糖，最后再求出總數(shù)來(lái)。具體解法：變化前，奶糖占總數(shù)的，水果糖就占（1-）=，水果糖占奶糖的（）=；加入16塊水果糖后，奶糖占總數(shù)的，水果糖就占（1-）=，水果糖占奶糖的=3，水果糖變化前后共增加了（3-）=，正是由于增加16塊所致，所以用16=9塊奶糖單位“1”，那么原來(lái)的水果糖就有9=11塊，總數(shù)為9+11=20（塊）。同步精練 1.袋

33、里有若干個(gè)球，其中紅球占，后來(lái)又往袋里放了6個(gè)紅球，這時(shí)紅球占總數(shù)的。原來(lái)袋里共有多少個(gè)球？【36】 2.某科技發(fā)明興趣小組中女生占，后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)了15名女生，這樣女生占總?cè)藬?shù)的。這個(gè)興趣小組的男生有多少人？【150】練 習(xí) 卷1. 某公司男職工比全公司總?cè)藬?shù)的多60人，女職工人數(shù)是男職工的，這個(gè)公司共有多少人？解：設(shè)公司員工人數(shù)為X,(3/5X+60)+(3/5X+60)/3=X X=4002.某工廠有三個(gè)車間，第一車間的人數(shù)是另外兩個(gè)車間人數(shù)的，第三車間的人數(shù)是另外兩個(gè)車間人數(shù)的，已知第二車間有30人。另兩個(gè)車間各有多少人？ 解：設(shè)總?cè)藬?shù)為X.X-X/4-3/8X=30 X=80 一車間：2

34、0 二車間：303.紡織廠女工占工人總數(shù)的，后來(lái)又調(diào)來(lái)30名女工，這時(shí)女工人數(shù)是男工人數(shù)的2倍。問(wèn)：現(xiàn)在廠里共有多少人？解：設(shè)現(xiàn)在人數(shù)為X.則原來(lái)為X-30.5(X-30)/8+30=23(X-30)/8 X=2704.甲、乙兩人共有郵票若干張，其中甲占，若乙給甲12張，則乙余下的張數(shù)占總數(shù)的。兩人共有郵票多少?gòu)垼拷猓涸O(shè)共有郵票為X張。11X/20-12=2X/5 X=805.科技活動(dòng)小組中，男生人數(shù)占，后來(lái)又轉(zhuǎn)來(lái)4名男生參加，這時(shí)，男生人數(shù)占小組人數(shù)的。求這個(gè)科技活動(dòng)小組女生有多少人？現(xiàn)在共有多少人？解：設(shè)現(xiàn)在人數(shù)為X.則原來(lái)為X-4.3(X-4)/8+4=4X/9 X=36 女生：5（X-

35、4）/8=20第六講 百分?jǐn)?shù)（濃度問(wèn)題）【知識(shí)概述】 把鹽溶于水就得到鹽水，其中鹽叫做溶質(zhì)，水叫溶劑，鹽與水的混合液叫做溶液。我們把鹽占鹽水的百分比叫做鹽水的濃度，通常濃度用百分?jǐn)?shù)表示，又叫做百分比濃度，這一類問(wèn)題叫做濃度問(wèn)題。【鹽水的濃度也就是含鹽率，糖水的濃度也叫做含糖率】例題講學(xué)例1 現(xiàn)有濃度為25%的鹽水80克，加入多少克水就能得到濃度為10%的鹽水？【思路點(diǎn)撥】 將濃度為25%的鹽水變?yōu)闈舛葹?0%的鹽水，鹽水中的水的重量增加了，但是鹽的重量卻沒(méi)有任何變化。可以根據(jù)已知條件先求出不變的量鹽的重量，再求出現(xiàn)在鹽水的重量，最后再用現(xiàn)在鹽水的重量減去原來(lái)鹽水的重量，就是增加的水的重量。解：

36、8025%=20（克），2010%=200（克），200-80=120（克）答：加入120克水就能得到濃度為10%的鹽水。同步精練1.把碘溶在酒精里，配成碘酒，現(xiàn)在有含碘15%的碘酒50千克，要把它變成含碘3%的碘酒，需要加入多少千克酒精？解：5015%=7.5（克），7.53%=250（克），250-50=200（克）2.現(xiàn)有濃度為20%的鹽水80克，加入多少克水就能得到濃度為16%的鹽水？解：8020%=16（克），1616%=100（克），100-80=20（克）例2 現(xiàn)有濃度為25%的鹽水80克，要使鹽水的濃度提高到40%，需要加多少克鹽？【思路點(diǎn)撥】 將濃度為25%的鹽水變?yōu)闈舛葹?

37、0%的鹽水，在鹽水的變化過(guò)程中，鹽的重量增加了，但是水的重量并沒(méi)有發(fā)生變化，也就是原來(lái)鹽水中的水的重量等于現(xiàn)在鹽水中水的重量。解：80（1-25%）=60（克），60（1-40%）=100（克），100-80=20（克）。答：需要加20克鹽。同步精練1. 現(xiàn)有濃度為15%的鹽水20千克，要使鹽水濃度提高到20%，需要加多少千克鹽？解：20（1-15%）=17（克），17（1-20%）=21.25（克），21.25-20=1.25（克）。2.濃度為10%的糖水300克，要把它變成濃度為25%的糖水，需要加糖多少克？解：300（1-10%）=270（克），270（1-25%）=360（克）， 36

38、0-300=60（克）3.往40千克含鹽16%的鹽水中加入10千克鹽。求這時(shí)鹽水的濃度。解：4016% =6.4（克），(6.4+10)(40+10)=32.8% 例3 有濃度為2.5%的鹽水700克，為了制成濃度為10%的鹽水，從中要蒸發(fā)掉多少克水？【思路點(diǎn)撥】 要使溶液的濃度變大，可以采取增加溶質(zhì)（糖、鹽、純酒精等）的方法，也可以用蒸發(fā)水的辦法。把鹽水加熱，一部分水變成水蒸氣蒸發(fā)掉了，于是鹽水中的水的重量減少了，而在變化過(guò)程中鹽的重量卻沒(méi)有變化。先根據(jù)條件求出原來(lái)鹽水中鹽的重量，由于在變化過(guò)程中鹽的重量沒(méi)有變化，所以原來(lái)鹽水中鹽的重量也是現(xiàn)在鹽水中鹽的重量，再求出現(xiàn)在鹽水的重量，最后用原來(lái)

39、鹽水的重量減去現(xiàn)在鹽水的重量，就是要蒸發(fā)掉水的重量。解：7002.5%=17.5（克），17.510%=175（克），700-175=525（克）答：從中要蒸發(fā)掉525克水。同步精練1.現(xiàn)有濃度為12.5%的鹽水40千克，將它變成濃度為20%的鹽水，要蒸發(fā)掉多少千克水？解：4012.5%=5（克），520%=25（克），40-25=15（克）2.有濃度為2.5%的鹽水700克，為了制成濃度為20%的鹽水，從中要蒸發(fā)掉多少克水？解：7002.5%=17.5（克），17.520%=87.5（克），700-87.5=612.5（克）練 習(xí) 卷1.一瓶鹽水共重200克，其中鹽有20克，這瓶鹽水的濃度是

40、（ 10）%。2.配制一種鹽水，在450克水中加了50克鹽，這種鹽水的濃度是（10）%。3.一種糖水的濃度是15%，200克糖水中，含糖（ 30）克。4.一種糖水的濃度為10%，15克糖需加水（135）克。5.現(xiàn)有濃度為20%的鹽水80克，加入20克水，這時(shí)鹽水的濃度是多少？解：8020%=16（克），16(80+20)=16%， 6.在濃度為15%的糖水200中，加入多少克水就能得到濃度為10%的糖水？解：20015%=30（克），3010%=300（克），300-200=100（克）7.濃度為20%的糖水500克，要把它變成濃度為50%的糖水，需要蒸發(fā)掉多少克水？解：50020%=100（

41、克），10050%=200（克），500-200=300（克）8.現(xiàn)有濃度為20%的鹽水80克，加入20克鹽，這時(shí)鹽水的濃度是多少？解：8020%=16（克），(16+20)(80+20)= 36%綜 合 演 習(xí)（1）1.體積是72立方厘米的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)6厘米，寬3厘米，高多少厘米？2.把3個(gè)棱長(zhǎng)為2厘米的小正方體拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積和體積分別是多少？3.一堆西瓜重10噸，上午賣出總重量的，下午賣出余下的，還有多少噸沒(méi)賣出？4.一批水果，第一天賣掉后，第二天又賣掉240千克，這時(shí)還剩下160千克，原來(lái)這批水果有多少千克？5.小明看一本課外書，第一周看了總頁(yè)數(shù)的，第二周比第一周多看了

42、25頁(yè)，這時(shí)還剩下15頁(yè)沒(méi)看，這本課外書一共有多少頁(yè)？6.從甲地到乙地，一輛汽車第一小時(shí)行了全程的，第二小時(shí)比第一小時(shí)少行了10千米，這時(shí)還剩下26千米不到乙地。甲乙兩地的全長(zhǎng)多少千米？7.求下圖組合圖形的表面積和體積。（單位：厘米） 上面的小正方體的棱長(zhǎng)為4厘米8.把一塊石頭放入一個(gè)長(zhǎng)5分米、寬4分米的玻璃容器中，水面上升了2厘米，這塊石頭的體積是多少？9.簡(jiǎn)便計(jì)算 129 41綜 合 演 習(xí)（2）1.在興華學(xué)校五年級(jí)剛分班的時(shí)候，五一班的人數(shù)占五二班人數(shù)的，后來(lái)又從五二班調(diào)3人到五一班去了，這時(shí)五一班人數(shù)占五二班人數(shù)的。五一班原來(lái)有多少人？2.把一個(gè)長(zhǎng)18分米、寬和高都是2分米的長(zhǎng)方體鋼坯

43、鍛造成一個(gè)長(zhǎng)6分米、寬3分米的另一個(gè)長(zhǎng)方體鋼材，這個(gè)新的鋼材的高是多少？3.一堆石子，運(yùn)走后，又運(yùn)進(jìn)38噸，這時(shí)的石子重量比原來(lái)的還多了。原來(lái)有石子多少噸？4.一個(gè)西瓜，唐僧師徒四個(gè)人吃。悟空吃了整個(gè)西瓜的，八戒吃了余下的，沙僧吃了又余下的，最后唐僧只吃了千克。問(wèn)：這個(gè)西瓜有多重？5. 在一次課外活動(dòng)中，五四班有的學(xué)生先出去玩，過(guò)了一會(huì)，又出去了余下學(xué)生的，此時(shí)班級(jí)內(nèi)只剩下24人。五四班有多少人？6.五年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組中，男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，后來(lái)又增加2位男生，這時(shí)男生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的?，F(xiàn)在數(shù)學(xué)興趣小組共有多少人？7.甲乙丙丁四人合買一些書，甲拿出的錢占其余三人和的，乙拿出的錢占其余三人和的，丙拿出的錢占其余三人和的，丁拿出18元。這些書價(jià)值多少元？8.簡(jiǎn)便計(jì)算38 （用兩種方法） 1998- 42 -