高等數學教案 11 無窮級數
第十一章 無窮級數
教學目的：
1．理解常數項級數收斂、發(fā)散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件。
2．掌握幾何級數與P級數的收斂與發(fā)散的條件。
3．掌握正項級數收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。
4．掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。
5．了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關系。
6．了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。
7．理解冪級數收斂半徑的概念，并掌握冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。
8．了解冪級數在其收斂區(qū)間內的一些基本性質（和函數的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分），會求一些冪級數在收斂區(qū)間內的和函數，并會由此求出某些常數項級數的和。
9．了解函數展開為泰勒級數的充分必要條件。
10．掌握，和的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。
11. 了解傅里葉級數的概念和函數展開為傅里葉級數的狄利克雷定理，會將定義在[-l，l]上的函數展開為傅里葉級數，會將定義在[0，l]上的函數展開為正弦級數與余弦級數，會寫出傅里葉級數的和的表達式。
教學重點 ：
1、級數的基本性質及收斂的必要條件。
2、正項級數收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別；
3、交錯級數的萊布尼茨判別法；
4、冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；
5、，和的麥克勞林展開式；
6、傅里葉級數。
教學難點：
1、 比較判別法的極限形式；
2、 萊布尼茨判別法；
3、 任意項級數的絕對收斂與條件收斂；
4、 函數項級數的收斂域及和函數；
5、 泰勒級數；
6、 傅里葉級數的狄利克雷定理。
11. 1 常數項級數的概念和性質
一、常數項級數的概念
常數項級數: 給定一個數列
u1, u2, u3, , un, ,
則由這數列構成的表達式
u1 + u2 + u3 + + un +
叫做常數項)無窮級數, 簡稱常數項)級數, 記為, 即
,
其中第n項u n 叫做級數的一般項.
級數的部分和: 作級數的前n項和
稱為級數的部分和.
級數斂散性定義: 如果級數的部分和數列有極限s, 即,
則稱無窮級數收斂, 這時極限s叫做這級數的和,
并寫成
;
如果沒有極限, 則稱無窮級數發(fā)散.
余項: 當級數收斂時, 其部分和s n是級數的和s的近似值, 它們之間的差值
rn=s-sn=un+1+un+2+
叫做級數的余項.
例1 討論等比級數(幾何級數)
的斂散性, 其中a0, q叫做級數的公比.
例1 討論等比級數(a0)的斂散性.
解 如果q1, 則部分和
.
當|q|<1時, 因為, 所以此時級數收斂, 其和為.
當|q|>1時, 因為, 所以此時級數發(fā)散.
如果|q|=1, 則當q=1時, sn =na, 因此級數發(fā)散;
當q=-1時, 級數成為
a-a+a-a+ ,
時|q|=1時, 因為sn 隨著n為奇數或偶數而等于a或零,
所以sn的極限不存在, 從而這時級數也發(fā)散.
綜上所述, 如果|q|<1, 則級數收斂, 其和為; 如果|q|1, 則級數發(fā)散.
僅當|q|<1時, 幾何級數a0)收斂, 其和為.
例2 證明級數
1+2+3+ +n+
是發(fā)散的.
證 此級數的部分和為
.
顯然, , 因此所給級數是發(fā)散的.
例3 判別無窮級數
的收斂性.
解 由于
,
因此
從而
,
所以這級數收斂, 它的和是1.
例3 判別無窮級數的收斂性.
解 因為
,
從而
,
所以這級數收斂, 它的和是1.
提示: .
二、收斂級數的基本性質
性質1 如果級數收斂于和s, 則它的各項同乘以一個常數k所得的級數也收斂, 且其和為ks.
性質1 如果級數收斂于和s, 則級數也收斂, 且其和為ks.
性質1 如果, 則.
這是因為, 設與的部分和分別為sn與sn, 則
.
這表明級數收斂, 且和為ks.
性質2 如果級數、分別收斂于和s、s, 則級數也收斂, 且其和為ss.
性質2 如果、, 則.
這是因為, 如果、、的部分和分別為sn、sn、tn, 則
.
性質3 在級數中去掉、加上或改變有限項, 不會改變級數的收斂性.
比如, 級數是收斂的,
級數也是收斂的,
級數也是收斂的.
性質4 如果級數收斂, 則對這級數的項任意加括號后所成的級數仍收斂, 且其和不變.
應注意的問題: 如果加括號后所成的級數收斂, 則不能斷定去括號后原來的級數也收斂. 例如, 級數
1-1)+1-1) + 收斂于零, 但級數1-1+1-1+ 卻是發(fā)散的.
推論: 如果加括號后所成的級數發(fā)散, 則原來級數也發(fā)散.
級數收斂的必要條件:
性質5 如果收斂, 則它的一般項un 趨于零, 即.
性質5 如果收斂, 則.
證 設級數的部分和為sn, 且, 則
.
應注意的問題: 級數的一般項趨于零并不是級數收斂的充分條件.
例4 證明調和級數
是發(fā)散的.
例4 證明調和級數是發(fā)散的.
證 假若級數收斂且其和為s, sn是它的部分和.
顯然有及. 于是.
但另一方面,
,
故, 矛盾. 這矛盾說明級數必定發(fā)散.
11. 2 常數項級數的審斂法
一、正項級數及其審斂法
正項級數: 各項都是正數或零的級數稱為正項級數.
定理1 正項級數收斂的充分必要條件它的部分和數列{sn}有界.
定理2(比較審斂法)設和都是正項級數, 且unvn (n=1, 2, ). 若級數收斂, 則級數收斂; 反之, 若級數發(fā)散, 則級數發(fā)散.
定理2(比較審斂法)
設和都是正項級數, 且unvn(k>0, "nN).
若收斂, 則收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散.
設Sun和Svn都是正項級數, 且unkvn(k>0, "nN). 若級數Svn收斂, 則級數Sun收斂; 反之, 若級數Sun發(fā)散, 則級數Svn發(fā)散.
證 設級數收斂于和s, 則級數的部分和
sn=u1+u2+ +unv1+ v2+ +vns (n=1, 2, ),
即部分和數列{sn}有界, 由定理1知級數收斂.
反之, 設級數發(fā)散, 則級數必發(fā)散. 因為若級數
收斂, 由上已證明的結論, 將有級數也收斂, 與假設矛盾.
證 僅就unvn (n=1, 2, )情形證明. 設級數Svn收斂, 其和為s, 則級數Sun的部分和
sn=u1+ u2+ + unv1+v2+ +vns (n=1, 2, ),
即部分和數列{sn}有界. 因此級數Sun收斂.
反之, 設級數Sun發(fā)散, 則級數Svn必發(fā)散. 因為若級數
Svn收斂, 由上已證明的結論, 級數Sun也收斂, 與假設矛盾.
推論 設和都是正項級數, 如果級數收斂, 且存在自然數N, 使當nN時有unkvn(k>0)成立, 則級數收斂; 如果級數發(fā)散, 且當nN時有unkvn(k>0)成立, 則級數發(fā)散.
例1 討論p-級數
的收斂性, 其中常數p>0.
例1 討論p-級數的收斂性.
解 設p1. 這時, 而調和級數發(fā)散, 由比較審斂法知, 當p1時級數發(fā)散.
設p>1. 此時有
(n=2, 3, ).
對于級數, 其部分和
.
因為.
所以級數收斂. 從而根據比較審斂法的推論1可知, 級數當p>1時收斂.
綜上所述, p-級數當p>1時收斂, 當p1時發(fā)散.
解 當p1時, , 而調和級數發(fā)散, 由比較審斂法知,
當p1時級數發(fā)散.
當p>1時,
(n=2, 3, ).
而級數是收斂的, 根據比較審斂法的推論可知,
級數當p>1時收斂.
提示:
級數的部分和為
.
因為,
所以級數收斂.
p-級數的收斂性: p-級數當p>1時收斂, 當p1時發(fā)散.
例2 證明級數是發(fā)散的.
證 因為,
而級數是發(fā)散的,
根據比較審斂法可知所給級數也是發(fā)散的.
定理3(比較審斂法的極限形式)
設和都是正項級數, 如果(0
N時, 有不等式
, 即,
再根據比較審斂法的推論1, 即得所要證的結論.
例3 判別級數的收斂性.
解 因為, 而級數發(fā)散,
根據比較審斂法的極限形式, 級數發(fā)散.
例4 判別級數的收斂性.
解 因為, 而級數收斂,
根據比較審斂法的極限形式, 級數收斂.
定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法)
若正項級數的后項與前項之比值的極限等于r:
,
則當r<1時級數收斂; 當r>1(或)時級數發(fā)散; 當r =1時級數可能收斂也可能發(fā)散.
定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法)
若正項級數滿足, 則當r<1時級數收斂;
當r>1(或)時級數發(fā)散. 當r =1時級數可能收斂也可能發(fā)散.
定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法)設為正項級數, 如果
,
則當r<1時級數收斂; 當r>1(或)時級數發(fā)散; 當r =1時級數可能收斂也可能發(fā)散.
例5 證明級數
是收斂的.
解 因為,
根據比值審斂法可知所給級數收斂.
例6 判別級數的收斂性.
解 因為,
根據比值審斂法可知所給級數發(fā)散.
例7 判別級數的收斂性.
解 .
這時r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來判別級數的收斂性.
因為, 而級數收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數收斂.
解 因為, 而級數收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數收斂.
提示: , 比值審斂法失效.
因為, 而級數收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數收斂.
定理5(根值審斂法, 柯西判別法)
設是正項級數, 如果它的一般項un的n次根的極限等于r:
,
則當r<1時級數收斂; 當r>1(或)時級數發(fā)散; 當r=1時級數可能收斂也可能發(fā)散.
定理5(根值審斂法, 柯西判別法)
若正項級數滿足, 則當r<1時級數收斂;
當r>1(或)時級數發(fā)散. 當r=1時級數可能收斂也可能發(fā)散.
定理5(根值審斂法, 柯西判別法)
設為正項級數, 如果
,
則當r<1時級數收斂; 當r>1(或)時級數發(fā)散; 當r=1時級數可能收斂也可能發(fā)散.
例8 證明級數是收斂的.
并估計以級數的部分和sn近似代替和s所產生的誤差.
解 因為,
所以根據根值審斂法可知所給級數收斂.
以這級數的部分和sn 近似代替和s所產生的誤差為
+
.
例6判定級數的收斂性.
解 因為
,
所以, 根據根值審斂法知所給級數收斂.
定理6(極限審斂法)
設為正項級數,
(1)如果, 則級數發(fā)散;
(2)如果p>1, 而, 則級數收斂.
例7 判定級數的收斂性.
解 因為, 故
,
根據極限審斂法, 知所給級數收斂.
例8 判定級數的收斂性.
解 因為
,
根據極限審斂法, 知所給級數收斂.
二、交錯級數及其審斂法
交錯級數: 交錯級數是這樣的級數, 它的各項是正負交錯的.
交錯級數的一般形式為, 其中.
例如, 是交錯級數, 但不是交錯級數.
定理6（萊布尼茨定理）
如果交錯級數滿足條件:
(1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2),
則級數收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un+1.
定理6（萊布尼茨定理）
如果交錯級數滿足: (1); (2),
則級數收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un+1.
簡要證明: 設前n項部分和為sn.
由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n), 及
s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n
看出數列{s2n}單調增加且有界(s2n|x0|的一切x使這冪級數發(fā)散.
定理1 (阿貝爾定理) 如果級數∑anxn當x=x0 (x00)時收斂, 則適合不等式
|x|<|x0|的一切x使這冪級數絕對收斂. 反之, 如果級數∑anxn當
x=x0時發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級數發(fā)散.
提示: ∑anxn是的簡記形式.
證 先設x0是冪級數的收斂點, 即級數收斂. 根據級數收斂的必要條件, 有, 于是存在一個常數M, 使
| anx0n |M(n=0, 1, 2, ).
這樣級數的的一般項的絕對值
.
因為當|x|<|x0|時, 等比級數收斂, 所以級數收斂, 也就是級數絕對收斂.
簡要證明 設∑anxn在點x0收斂, 則有anx0n0(n) , 于是數列{anx0n}有界, 即存在一個常數M, 使| anx0n |M(n=0, 1, 2, ).
因為 ,
而當時, 等比級數收斂, 所以級數∑|anxn|收斂, 也就是級數∑anxn絕對收斂.
定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級數當x=x0時發(fā)散而有一點x1適合|x1|>|x0|使級數收斂, 則根據本定理的第一部分, 級數當x=x0時應收斂, 這與所設矛盾. 定理得證.
推論 如果級數不是僅在點x=0一點收斂, 也不是在整個數軸上都收斂, 則必有一個完全確定的正數R存在, 使得
當|x|R時, 冪級數發(fā)散;
當x=R與x=-R時, 冪級數可能收斂也可能發(fā)散.
收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數通常叫做冪級數的收斂半徑. 開區(qū)間(-R, R)叫做冪級數的收斂區(qū)間. 再由冪級數在x=R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數的收斂域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一.
規(guī)定: 若冪級數只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級數對一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+, 這時收斂域為(-, +).
定理2
如果, 其中an、an+1是冪級數的相鄰兩項的系數, 則這冪級數的收斂半徑
.
定理2
如果冪級數系數滿足, 則這冪級數的收斂半徑
.
定理2
如果, 則冪級數的收斂半徑R為:
當r0時, 當r=0時R=+, 當r=+時R=0.
簡要證明: .
(1)如果01即時級數發(fā)散, 所以收斂半徑為.
提示: .
例5 求冪級數的收斂域.
解 令t=x-1, 上述級數變?yōu)?
因為 ,
所以收斂半徑R=2.
當t=2時, 級數成為, 此級數發(fā)散; 當t=-2時, 級數成為, 此級數收斂. 因此級數的收斂域為-2t<2. 因為-2x-1<2, 即-1x<3, 所以原級數的收斂域為[-1, 3).
三、冪級數的運算
設冪級數及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內有
加法: ,
減法: ,
設冪級數∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內有
加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn ,
減法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn .
乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+
+(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+
性質1 冪級數的和函數s(x)在其收斂域I上連續(xù).
如果冪級數在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數s(x)在(-R, R](或[-R, R))連續(xù).
性質2 冪級數的和函數s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項積分公式
(xI ),
逐項積分后所得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑.
性質3 冪級數的和函數s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內可導, 并且有逐項求導公式
(|x|
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