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1、《簡單的線性規(guī)劃問題》教學(xué)設(shè)計 （人教A版高中課標(biāo)教材數(shù)學(xué)必修5第三章第3.3.2節(jié)） 祁東二中 譚雪峰 一、內(nèi)容與內(nèi)容解析 本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)》人教A版必修5第三章《不等式》中第3.3.2《簡單的線性規(guī)劃問題》的第一課時. 本課內(nèi)容是線性規(guī)劃的相關(guān)概念和簡單的線性規(guī)劃問題的解法． 線性規(guī)劃是運籌學(xué)中研究較早、發(fā)展較快、應(yīng)用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，它是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法.本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了不等式和直線方程的基礎(chǔ)上，利用不等式和直線方程的有關(guān)知識展開的.簡單的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個自變量的線性規(guī)劃，其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出.簡單

2、的線性規(guī)劃關(guān)心的是兩類問題：一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項任務(wù)，如何合理規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成. 本節(jié)內(nèi)容蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，突出體現(xiàn)了優(yōu)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和化歸思想. 通過這一部分的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在解決實際問題中的應(yīng)用，體驗數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和解決實際問題的能力. 二、教學(xué)目標(biāo) 一）、知識目標(biāo) 1.了解線性規(guī)劃的意義、了解線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念. 2.理解線性規(guī)劃問題的圖解法 3. 會用圖解法求線性

3、目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解. 二）、能力目標(biāo) 1.在應(yīng)用圖解法解題的過程中培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、理解能力. 2.在變式訓(xùn)練的過程中，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、探索能力. 3.培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、作圖和理解實際問題的能力，滲透化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. 三)、情感目標(biāo) 1.讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)來源于生活，服務(wù)于生活，品嘗學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣. 2.讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、勇于探索的精神. 三、教學(xué)重點、難點 重點：線性規(guī)劃問題的圖解法；尋求有實際背景的線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解. 難點：借助線性目標(biāo)函數(shù)的幾何含義準(zhǔn)確理解線性目標(biāo)函數(shù)在y 軸上的截距與z最值之間的關(guān)系 . 四、學(xué)習(xí)

4、者特征分析 1. 已經(jīng)掌握用平面區(qū)域表示二元一次不等式（組） 2. 初步學(xué)會分析簡單的實際應(yīng)用問題 3. 能根據(jù)實際數(shù)據(jù)假設(shè)變量，并從中抽象出不等的線性約束條件并用相應(yīng)的平面區(qū)域進(jìn)行表示 本節(jié)課學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能遇到以下疑慮和困難： 1.將實際問題抽象成線性規(guī)劃問題； 2.用圖解法解線性規(guī)劃問題中，為什么要將求目標(biāo)函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)過可行域的直線在y軸上的截距的最值問題？如何想到要這樣轉(zhuǎn)化？ 3.數(shù)形結(jié)合思想的深入理解. 五、教學(xué)與學(xué)法分析 本節(jié)課以學(xué)生為中心，以問題為載體，采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探索相結(jié)合的教學(xué)方法.課堂中應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)師生互動、生生互動的和諧氛圍，通過學(xué)生動手

5、實踐、動腦思考等方法探究數(shù)學(xué)知識獲取直接經(jīng)驗，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和應(yīng)用意識等. 1.設(shè)置“問題”情境，激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望； 2.提供“觀察、探索、交流”的機會，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，有效地調(diào)動學(xué)生思維，使學(xué)生在開放的活動中獲取直接經(jīng)驗. 3.在教學(xué)中體現(xiàn)“重過程、重情感、重生活”的理念；讓學(xué)生經(jīng)歷“學(xué)數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)”的過程.指導(dǎo)學(xué)生做到“四會”：會疑、會議、會思、會變. 4.在教學(xué)中重視學(xué)生的探索經(jīng)歷和發(fā)現(xiàn)新知的體驗，使學(xué)生形成自己對數(shù)學(xué)知識的理解和有效的學(xué)習(xí)策略. 六、文本教學(xué)與信息技術(shù)整合點分析 根據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的特點，為了更直觀、形象地突出重點，突破難點，調(diào)動學(xué)

6、生的學(xué)習(xí)興趣，利用多媒體輔助教學(xué)，借助信息技術(shù)工具，以“幾何畫板”軟件為平臺，將目標(biāo)函數(shù)與直線方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過直線的平行移動的演示，觀察縱坐標(biāo)的變化，直觀生動地呈現(xiàn)圖解法求最優(yōu)解的過程，既加大課堂信息量，提高教學(xué)效率，同時讓學(xué)生學(xué)會用“數(shù)形結(jié)合”思想方法建立起代數(shù)問題和幾何問題間的密切聯(lián)系． 七、教學(xué)過程分析 數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，我將整個教學(xué)過程分為五個環(huán)節(jié)： 1.復(fù)習(xí)回顧：[幻燈片第2－4張] 1）提問：如何作二元一次不等式表示的平面區(qū)域？ 直線定界；特殊點定域. 2）鞏固練習(xí)：畫出下面不等式組所表示的平面區(qū)域. 【設(shè)計意圖】復(fù)習(xí)舊知，為本課的圖解法解題熱身準(zhǔn)

7、備. 2. 分析引例，形成概念，規(guī)范解答 在現(xiàn)實生產(chǎn)、生活中，經(jīng)常會遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題…… 1) 將實際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(數(shù)學(xué)建模) [幻燈片第5－8張] 教師組織學(xué)生學(xué)習(xí)引例. [引例]：某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個A配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個B配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件，按每天8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？ 師生活動：通過教師引導(dǎo)，讓學(xué)生正確理解題意，用不等式組表示問題中的限制條件及作出相應(yīng)的平面區(qū)域，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. （1）、教師提問：同

8、學(xué)們，你們能用不等式組表示問題中的限制條件嗎？ 引導(dǎo)學(xué)生設(shè)定未知數(shù)（設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件）， 分析已知條件得到二元一次方程組： （2）、讓學(xué)生畫出不等式組所表示的平面區(qū)域. 【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)是現(xiàn)實世界的反映.通過引入學(xué)生感興趣的實際生活問題，激發(fā)學(xué)生興趣，使學(xué)生產(chǎn)生急于解決問題的內(nèi)驅(qū)力，引發(fā)了學(xué)生的思考，同時師生之間通過互動復(fù)習(xí)舊知，培養(yǎng)學(xué)生從實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型的能力. （3）、教師進(jìn)一步提出新問題： 若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？ 引導(dǎo)學(xué)生若設(shè)定工廠獲得的利潤為z，則易得z = 2x + 3y，此時

9、問題轉(zhuǎn)化為即求z的最大值的問題了. 【設(shè)計意圖】添加優(yōu)化問題，定義目標(biāo)函數(shù)，引出新問題. 2）分析問題，形成概念[幻燈片第9－17張] 師生活動：教師根據(jù)引題得出線性規(guī)劃問題相關(guān)概念. （1）、就在學(xué)生興趣頓起的時候，教師就此給出了相關(guān)概念：① 上述問題中，不等式組是一組對變量 x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，所以又叫線性約束條件. 線性約束條件除了用一次不等式表示外，有時也用一次方程表示. ② 欲求最大值或最小值的函數(shù)z=2x+3y叫做目標(biāo)函數(shù). 由于 z=2x+y又是x、y的一次解析式，所以又叫線性目標(biāo)函數(shù). ③ 一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下

10、的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題. ④ 滿足線性約束條件的解(x,y)叫做可行解. ⑤ 由所有可行解組成的集合叫做可行域. ⑥ 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，它們都叫做這個問題的最優(yōu)解. （2）、 引導(dǎo)學(xué)生理解，引題的問題就是一個線性規(guī)劃問題. 圖中陰影部分（即可行域）的整點（坐標(biāo)為整數(shù)的點）就代表所有可能的日生產(chǎn)安排. 于是問題就轉(zhuǎn)化為當(dāng)點（x,y）在可行域運動時如何求z=2x+3y的最大值問題. 3）探究交流，解決問題[幻燈片第18－20張] （1）、教師提問：如何求z=2x+3y的最大值問題？ 先讓學(xué)生自主探究，再分組討論交流，然后試著這樣引導(dǎo)學(xué)生：由于已

11、經(jīng)將x ,y所滿足的條件幾何化了，你能否將式子z=2x+3y作某種幾何解釋？學(xué)生自然地想到它在幾何上表示直線2x+3y-z=0. 當(dāng)z取不同的值時可得到一族平行直線.于是問題又轉(zhuǎn)化為當(dāng)這族直線與可行域有公共交點時，如何求z=2x+3y的最大值. （2）、這一問題對于部分學(xué)生仍有一定難度，教師再次提問：在直線2x+3y-z=0中，z是否與這直線的某種幾何意義有關(guān)？ 學(xué)生討論交流后得出：將直線2x+3y-z=0改寫成斜截式，學(xué)生此時會明白直線它表示為斜率為截距的直線，當(dāng)z變化時，可以得到一組互相平行的直線，而且當(dāng)截距最大時，z取最大值. 于是問題又轉(zhuǎn)化為當(dāng)2x+3y-z=0這族直線與可行域有公

12、共交點時，在可行域內(nèi)找一個點，使直線經(jīng)過此點時在y軸上的截距最大. 接著讓學(xué)生動手實踐，用作圖法找到點E并求出點E的坐標(biāo)（4，2），而求出z的最大值為14，所以每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時，工廠可獲得最大利潤14萬元 . 師生活動：教師引發(fā)學(xué)生思考變形目標(biāo)函數(shù)，將z=2x+3y化成的形式，挖掘幾何含義，作過原點直線并進(jìn)行平移，觀察縱截距的最大值，教師利用多媒體輔助教學(xué)工具作動態(tài)演示平移確定最值，并有意強調(diào)解題步驟:畫、作、移、求. 【設(shè)計意圖】：讓學(xué)生自主探究，體驗數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，體驗轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過目標(biāo)函數(shù)的不同變式，讓學(xué)生熟悉求最值的方法，從而讓學(xué)生更好地理

13、解數(shù)學(xué)概念和方法，突出了重點，化解了難點. 3.反思過程，提練方法[幻燈片第21張] 教師引導(dǎo)學(xué)生歸納、提煉求解步驟： 第一步：畫——根據(jù)約束條件畫出可行域； 第二步：作——過原點作目標(biāo)函數(shù)直線的平行直線； 第三步： 移——平移直線找出與可行域有公共點且縱截距最大或最小的直線，確定可行域內(nèi)最優(yōu)解的位置； 第四步：求——解有關(guān)方程組求出最優(yōu)解，將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)求最值. 4.模仿練習(xí)，強化方法，拓展題型[幻燈片第22－26張] 為了更好地理解圖解法解線性規(guī)劃問題的內(nèi)在規(guī)律，同時讓學(xué)生掌握解決簡單線性規(guī)劃問題的基本步驟，讓學(xué)生做下面這個練習(xí)： 練習(xí)（教材例5）、營養(yǎng)學(xué)家指出，成

14、人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白質(zhì)，0.14kg脂肪，花費28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費21元.為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時使花費最低，需要同時食用食物A和食物B多少kg？ 師生活動：教師引領(lǐng)學(xué)生理解題意，讓學(xué)生領(lǐng)會用表格形式描述數(shù)據(jù)的直觀性.讓學(xué)生獨立建立線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，并正確設(shè)出變量，找好目標(biāo)函數(shù)及約束條件后自行完成此題. 由一位同學(xué)生展示自己的解題過程和結(jié)果. 教師規(guī)范解題步驟和格式.

15、1.分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格 食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白質(zhì)/kg 脂肪／kg A 0.105 0.07 0.14 B 0.105 0.14 0.07 解：設(shè)每天食用x（kg）食物A，y（kg）食物B，總成本為z，那么 M N 圖1 O x y ① 目標(biāo)函數(shù)為. 二元一次不等式組①等價于 ② 二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域（圖1），即可行域．考慮，將它變形為.這里是斜率為，隨z變化的一組平行直線，是直線在y軸上的截距，當(dāng)取最小值時，z的

16、值最?。?dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時目標(biāo)函數(shù)取得最小值． 由圖1可見，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點M時，截距最小，即z最?。? 解方程組 得M的坐標(biāo)為,. 所以． 答：每天食用食物A為kg，食物B為kg，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為16元. 【設(shè)計意圖】1）. 通過一道完整的簡單線性規(guī)劃問題，讓學(xué)生掌握解決簡單線性規(guī)劃問題的基本步驟，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識.同時進(jìn)一步加深對圖解法的認(rèn)識. 2）.通過此題檢測學(xué)生對已學(xué)知識的掌握情況，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運算能力和準(zhǔn)確作圖的能力. 3）.展現(xiàn)線性規(guī)劃的另一類型題（可行域不封閉、最優(yōu)解為最小值），并與引例相比

17、較，對比可行域封閉與不封閉、最優(yōu)解為最大值與最小值兩種情況的線性規(guī)劃問題. 師生活動:由教師幫助學(xué)生分析錯解的原因,并提出問題.學(xué)生意識到可以把所有可能的解都求出來,進(jìn)行比較即可. 師生一起反思練習(xí)的求解過程.教師通過巡視發(fā)現(xiàn)錯解的學(xué)生，幫助學(xué)生找到錯誤的原因.并提出問題：有時若由于不可避免的誤差帶來錯解，你如何解決? 【設(shè)計意圖】通過反思及尋求問題答案，讓學(xué)生深入思考,培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和解決問題的能力. 5.變式演練，深入探究，開闊視野[幻燈片第27張] 師生活動:讓學(xué)生自己動手解決問題，教師可用幾何畫板演示。 【設(shè)計意圖】1.檢測題主要考查學(xué)生對本節(jié)課重點知識的

18、掌握情況，檢查學(xué)生能否運用所學(xué)知識解決問題的能力.幫助學(xué)生鞏固新學(xué)知識，還能引導(dǎo)學(xué)生運用新知識，再一次深刻體會到數(shù)形結(jié)合的妙處，同時又鞏固了舊知識，完善了知識結(jié)構(gòu)體系. 2.用已知最優(yōu)解反過來確定目標(biāo)函數(shù)某些字母系數(shù)的取舍范圍來訓(xùn)練學(xué)生從各個不同的側(cè)面去理解圖解法求最優(yōu)解的實質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性. 3.由于思考題難度提升較大，可以為學(xué)有余力的學(xué)生拓寬思維的空間，具體教學(xué)中可根據(jù)不同程度的教學(xué)對象及課堂學(xué)生的反應(yīng)情況進(jìn)行刪減與調(diào)整. 6.課堂小結(jié)，作業(yè)布置[幻燈片第28－29張] 1）課堂小結(jié)： 1.回顧引例和練習(xí)中展現(xiàn)的兩類線性規(guī)劃應(yīng)用問題，滲透數(shù)學(xué)建模的思想 . 2.線性規(guī)劃

19、相關(guān)概念 3.圖解法求解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的基本步驟 師生活動：先由學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教師作補充說明，尤其是本節(jié)課是如何經(jīng)歷的知識探究過程，如何運用化歸與數(shù)形結(jié)合思想得到方法，以及如何通過數(shù)學(xué)建模解決實際問題. 【設(shè)計意圖】通過總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力，養(yǎng)成及時總結(jié)的良好習(xí)慣，并將所學(xué)知識納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 2）作業(yè)布置 習(xí)題3.3 A組3、4、B組：3 思考題： 【設(shè)計意圖】讓學(xué)生鞏固所學(xué)內(nèi)容，并為下一課時解決實際問題中的最優(yōu)解是整數(shù)解的教學(xué)埋下伏筆. 八、教學(xué)評價 1.本節(jié)課的設(shè)計理念遵循：以問題為載體；以學(xué)生為主體；以合作交流為手段，以能力提高為目的. 2.重視概念的提取過程，知識的形成過程，解題的探索過程，情感的自發(fā)過程. 3.面對不同程度的教學(xué)對象，課堂上學(xué)生的反應(yīng)情況不同，在教學(xué)時間上可能還要作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整. 4.變式演練難度較大，也要視教學(xué)對象的接受程度進(jìn)行靈活的刪減 9