《第一學期《數(shù)學建?!愤x修課試題卷》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《第一學期《數(shù)學建?!愤x修課試題卷(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2011-2012第一學期
《數(shù)學建模》選修課試題卷
班級:
姓名:
學號:
成績:
一、解釋下列詞語,并舉例說明(每小題滿分5分,共15分)
1.模型: 指為了某個特定目的將原型所具有本質屬性的某一部分信息經(jīng)過簡
化、提煉而構造的原型替代物.如地圖、苯分子圖.
2.數(shù)學模型:由數(shù)字字母或其他數(shù)學符號組成的,描述顯示對象數(shù)量規(guī)律的
數(shù)學結構.具體地說,數(shù)學建模也可以描述為:對于現(xiàn)實世界的一個特定
的對象,為了一個特定的目的,根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律,做出一些簡化假設
后,運用適當?shù)臄?shù)學工具,得到一個數(shù)學結構稱之為數(shù)學模型.如概率的
功利化定義.
3.
2、抽象模型:抽象模型是為了便于研究而建立的一種高度抽象的理想客體.實際的物體都是具有多種屬性的,例如固體具有一定的形狀、體積和內(nèi)部結構,具有一定的質量等.但是,當我們針對某種目的,從某種角度對某一物體進行研究時,有許多對研究問題沒有直接關系的屬性和作用卻可以忽略.
二、簡答題(每小題滿分8分,共24分)
1.模型的分類:1:按照人們對原型的認識過程來分.2:按照模型的應用領域
分.3:按照建立數(shù)學模型的方法分.4:按照模型的特征分.5:按照對模
型結構了解的程度分.
2.數(shù)學建模的基本步驟:1建模準備:確立建模課題的過程.2建模假設:
根據(jù)建模的目的對原型進行抽象、簡化.有目的
3、性原則、簡明性原則、真實性原則和全面性原則.3構造模型:在建模假設的基礎上,進一步分析建模假設的各條款,選擇適當?shù)臄?shù)學工具和構造模型的方法對其進行表征,構造出根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù),分析模型的特征和模型的結構特點,設計或選擇求解模型的數(shù)學刻化實際問題的數(shù)學模型.4模型求解:構造數(shù)學模型之后,方法和算法,并借助計算機完成對模型的求解.5模型分析:根據(jù)建模的目的要求,對模型求解的數(shù)字結果,或進行穩(wěn)定性分析,或進行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析,或進行誤差分析等.6模型檢驗:模型分析符合要求之后,還必須回到客觀實際中去對模型進行檢驗,看它是否符合客觀實際.7模型應用:模型應用是數(shù)學建模的宗旨,將其用于分析、研究和
4、解決實際問題,充分發(fā)揮數(shù)學模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用.
3.數(shù)學模型的作用:數(shù)學模型的根本作用在于他將客觀原型化繁為簡、化難
為易,便于人們采用定量的方法去分析和解決實際問題。正因為如此,數(shù)學
模型在科學發(fā)展、科學預見、科學預測、科學管理、科學決策、駕控市場經(jīng)
濟乃至個人高效工作和生活等眾多方面發(fā)揮著特殊的重要作用,數(shù)學不僅是
人們認識世界的有力工具,而且對于人的素質培養(yǎng),無論是在自然科學,還
是社會科學中都隨時發(fā)生著作用,使其終生受益。特別是,當代計算機科學
的發(fā)展和廣泛應用,使得數(shù)學模型的方法如虎添翼,加速了數(shù)學向各個學科
的滲透,產(chǎn)生了眾多的邊緣學科。數(shù)學建模還物化于各
5、中高新科技之中,從
家用電器到天氣預報,從通信到廣播電視,從核電站到衛(wèi)星,從新材料到生
物工程,高科技的高精度、高速度、高安全、高質量、高效率等特點無一不
是通過數(shù)學模型和數(shù)學方法并借助計算機的計算控制來實現(xiàn)的。
三、解答題(滿分20分)
B 題 (7n+1, 7n+3)
國慶慶典活動的中心廣場有數(shù)萬名學生手持花環(huán)組成大型圖案方陣,方陣前排距觀禮臺120米,方陣縱列95人,每列長度192米,試問第一、二兩排間距多大能夠達到滿意的觀禮效果?
D 題 (7n+3, 7n+4)
1997年11月8日電視正在播放長江三峽工程大江截流的實況,截流從8:55開始,當
6、時龍口的水面寬40米,水深60米。11:50時,播音員報告水面寬為34.4米,到13:00時,播音員又報告水面寬為31米。這時,電視機旁的某位同學說,現(xiàn)在可以估算下午幾點合龍。從8:55到11:50,進展的速度每小時寬度減少1.9米,從11:50到13:00,進展的速度每小時寬度減少2.9,該同學認為回填速度是越來越快的,近似于每小時速度加快1米。從下午1點起,大約需要5個多小時,即下午6點鐘左右能合龍。因此,該同學上街到書店去買有關三峽工程介紹和數(shù)學建模方面的書籍,但當他坐車返回時,突然從廣播里聽到了大江截流成功的消息,該同學非常后悔沒有看到大江截流成功時的實況,這時他忽然反應過來,趕快看了
7、看手表,此時正好是下午3點30分。請你根據(jù)上面的數(shù)據(jù),建立一個合理的數(shù)學模型進行計算,使你的計算結果更切合實際;并幫助該同學分析他出錯的原因,并對該同學應提出那些合理化的建議?
四、綜合題(41分)
I. 養(yǎng)魚問題(6n+2, 6n+4, 6n+5)
我國為支持農(nóng)村經(jīng)濟發(fā)展, 免費提某種魚苗用以支持某地區(qū)養(yǎng)殖業(yè)的發(fā)展。設某地區(qū)有一池塘,其水面面積100100平方米,根據(jù)當?shù)丨h(huán)境測出每平方米養(yǎng)魚不超過1公斤,每公斤魚苗大約有500條,魚可四季生長,每天的生長重量與魚自重成正比,360天可長成成魚,其重量為2公斤,每公斤魚每天需要飼料0.005公斤,給魚池內(nèi)只投放魚苗,池內(nèi)魚的繁
8、殖與死亡均可忽略不計,市場上魚飼料價格0.2元/公斤,此種魚的銷售價格為:
每條魚重量(公斤)
0.2-0.75
0.75-1.5
1.5-2
0.2
每公斤的售價(元)
6
8
10
0
請你為一承包戶設計一下最優(yōu)方案. 1. 此承包護承包期為一年;2.此承包護承包期為三年;此承包護承包期為三十年.
假設:
研究獲得三年養(yǎng)魚利潤最優(yōu)模型
摘要
在我們?nèi)粘I钪?,都有這么些相關的例子。那么這里我們將基于求利潤最優(yōu)化的養(yǎng)魚規(guī)劃問題,根據(jù)魚的存活空間有限,以及魚本身的生長情況,可以假設魚在長成成魚后生長非常緩慢,近似為不生長,未成年魚的生長模型為指
9、數(shù)增長模型,得出魚的增長函數(shù),對于的價格進行預知,將利潤的最大化問題著手于研究養(yǎng)魚周期、捕魚次數(shù)及每次捕魚的重量,結合魚的生長模型充分利用池塘空間,在合理假設條件下建立數(shù)學模型,并借助MATLAB軟件編程計算,通過比較分析各模型的最優(yōu)解,確定出三年獲得較大利潤的最優(yōu)養(yǎng)魚方案,為養(yǎng)殖戶提供有用的參考。
關鍵字: Matlab 指數(shù)增長模型 養(yǎng)魚周期 捕魚次數(shù) 捕魚重量 較大利潤
一、 問題重述
設某地有一池塘,其水面面積約為100100,用來養(yǎng)殖某種魚類。在如下的假設下,設計能獲取較大利潤的三年的養(yǎng)魚方案。
① 魚的存活空間為1kg /;
② 每
10、1kg魚每天需要的飼料為0.05kg,市場上魚飼料的價格為0.2元/kg;
③ 魚苗的價格忽略不計,每1kg魚苗大約有500條魚;
④ 魚可四季生長,每天的生長重量與魚的自重成正比,365天長為成魚,成魚的重量為2kg;
⑤池內(nèi)魚的繁殖與死亡均忽略;
⑥若q為魚重,則此種魚的售價為:
⑦該池內(nèi)只能投放魚苗。
二、 模型假設
(1)、養(yǎng)魚者的經(jīng)營模式為“放魚苗喂飼料捕撈,銷售全部捕撈”周期循環(huán),每個周期只投放一次魚苗。
(2)、在飼養(yǎng)過程中,不考慮意外災害,如洪災、旱災,臺風等等。
(3)、魚可以一年四季生長,未成年魚每天生長的重量與魚的自重成正比。
(4)、魚的
11、繁殖和死亡均可以忽略。
(5)、捕撈魚時采取承包不放水的方式。
(6)、每個周期分n次捕撈銷售,每相隔兩次捕撈時間間隔相同,n>=2;且在捕撈時,部分魚對其它魚的生長不造成影響,捕出的魚能全部按預定價格銷售。
三、 符號及說明
S:池塘水面面積(平方米);u:池塘單位面積魚的最大存活量重(公斤/平方米);N:每次放養(yǎng)魚苗的尾數(shù)(萬尾);r:魚每天生長的重量與魚自重成正比的比例系數(shù);y:每條魚的重量(公斤);t:魚的生長天數(shù)(天);p:銷售魚的價格(元/公斤);a:每公斤魚每天要喂的飼料重量(公斤);b:市場上飼料的價格(元/公斤);p0:每次捕撈魚的費用(元/次);h0:購買魚
12、苗時的價格(元/萬尾);x0:每條魚苗的重量(公斤);n:每個養(yǎng)魚周期的捕撈次數(shù)(次);ts:在每個周期的第s次捕撈魚的時間(天);:池塘飽和時魚的總重量(公斤);:在每個周期的第s次捕撈魚的重量(公斤);Y:三年養(yǎng)魚獲得的較大利潤(元)。
四、 問題分析
名詞解釋
1)、池塘飽和:魚的生存空間達到最小時
2)、未成年魚:體重沒達到成魚重量的魚
3)、養(yǎng)魚周期:每次放養(yǎng)魚苗后飼養(yǎng)的時間
問題的數(shù)據(jù)分析
在池塘第一次達到飽和時魚剛好能夠上市的前提下,考慮充分利用池塘空間,容易知道每個周期放養(yǎng)魚苗數(shù)為萬尾。
由假設3可得魚的生長函數(shù)為:
由條件3、4可求得:
由條
13、件6可得銷售魚時的價格函數(shù)為:
將其轉化為時間的函數(shù):
由銷售魚的價格函數(shù)可知,每次放養(yǎng)魚苗后,第一次捕撈的時間是在第240天,為獲得較大利潤,在三年時間可進行4個周期的循環(huán)或3個周期循環(huán)。且最后一次捕撈應在第274天和第360天將魚全部捕撈并銷售。
五、 模型建立與求解
模型1:三年中4次放養(yǎng)魚苗
用表示三年中4次放養(yǎng)魚苗,每個養(yǎng)魚周期分n次捕撈銷售后獲得的利潤。由前面問題分析可得,4次放養(yǎng)魚苗獲得的較大利潤函數(shù)為:
約束條件:
模型2:三年
14、中3次放養(yǎng)魚苗
用表示三年中3次放養(yǎng)魚苗,每個養(yǎng)魚周期分n次捕撈銷售后獲得的利潤。由前面問題分析可得,3次放養(yǎng)魚苗獲得的較大利潤函數(shù)為:
約束條件:
模型求解
經(jīng)過調查多家養(yǎng)魚專業(yè)戶及網(wǎng)上查詢,可獲知常見家常魚的價格為10元/萬尾。捕魚采取承包不放水方式,費用一般為每次1200——1500元不等,這里,我們研究的是如何獲得較大利潤,不妨取元/次。
利用matlab軟件編程計算并作圖,在同一坐標系中回話出及與n的關系圖像,如下圖:
0
5
15、
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
1
2
3
4
5
6
7
8
模型結論
由圖1可獲知為獲得三年養(yǎng)魚的較大利潤應采用模型2,再由計算結果知,當n=13時,取得最大利潤元。當n=13帶入方程(6)、(7)可得在輪個養(yǎng)魚中前12次每次大撈魚的重量為1745公斤,從第240天開始,每10天打撈一次,最后一次將魚全部捕撈完。這即是三年獲得較大利潤的最優(yōu)方案。
六、模型評價及改進方向
優(yōu)點:
1、 通過兩種模型的求解、分析
16、、對比獲得最優(yōu)養(yǎng)魚方案,使最優(yōu)設計方案的結果更具有實際性、可行性、合理性,在進行設計變量的過程中具體分析關系量,所假設的變量清晰、全面、合理、不混淆,使得建立的模型簡單易懂,可行性高。
2、 采用matlab軟件編程求解并作圖,對結果分析有很大幫助。圖示中可觀察出相應變量對目標函數(shù)的影響,通過對兩種模型的比較,獲得三年養(yǎng)魚中獲得較大利潤的最優(yōu)方案,為養(yǎng)殖戶提供了有價值的參考。
缺點:
忽略了魚在生長過程中的繁殖和死亡,同時沒有考慮魚生長時的種族斗爭與生存競爭,因此可能與實際的情況出現(xiàn)一定的誤差。
改進方向:
針對魚的生長機能、生長環(huán)境以及自然資源,可在本文的基礎之上,進一步考慮種族斗爭、種內(nèi)斗爭、環(huán)境條件等阻滯魚生長的因素,作出更精確地養(yǎng)魚利潤評估。
七、參考文獻
[1] 姜啟源 謝金星 葉俊,數(shù)學模型(第三版),北京:高等教育出版社,2003
[2] webmaster.水產(chǎn)新聞資訊.http://www.shuichan.cc/news_view.asp
[3] 劉承平 數(shù)學建模方法[M].北京:高等教育出版.2002:9—11.
第 9 頁 共 9 頁