《含參量反常積分的一致收斂性判別法》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《含參量反常積分的一致收斂性判別法(10頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、3.含參量的反常積分一致收斂性判別法Weierstrass 判別法 設(shè)函數(shù)f(x,t)定義在D -(x,t): a _x 5心,t T R:中,若(a) 對(duì)于每個(gè)A a, f (x, t)在x:二a, A上為r-可積的;-bo(b) 存在:(x),使得 (x)dx收斂,且af(x,t)蘭半(x), xEa,+o);-bo-bo則反常積分 f(x,t)dx關(guān)于tT絕對(duì)一致收斂,亦即,反常積分f(x,t)dx關(guān)于tT 一致aa收斂.我們稱定理中的 (x)為f (x,t)的優(yōu)函數(shù).Abel判別法 設(shè)函數(shù)f (x,t)、g (x,t)定義在D X(x,t): a zx : :, t T R;中,若-b
2、o(a) 若反常積分f f(x,t)dx關(guān)于tT 一致收斂;a(b) g(x, t)是x的單調(diào)函數(shù),且存在常數(shù) L 0 (與a, :)、t T無(wú)關(guān)),使得g(x,t)el ;-bo則反常積分f (x,t)g(x,t)dx關(guān)于t T 一致收斂.aDirichlet 判別法 設(shè)函數(shù)f (x,t)、g(x,t)定義在D - (x,t): a _ x : :, t T R:中,若A(a)對(duì)于每個(gè)A a, f (x, t)在a, A上為R-可積的,且積分.f(x,t)dx關(guān)于t Ta一致有界,亦即, M0 (與A、t無(wú)關(guān)),使得AJ f (x,t)dx 乞 M ;a(b) g(x, t)是x的單調(diào)函數(shù),
3、且xlim g(x,t) =0x廠:關(guān)于t T 一致成立;-be則反常積分 f (x,t)g(x,t)dx關(guān)于t三T 一致收斂.a: 2 -補(bǔ)充例9 試證反常積分u三.0,亠一致收斂.e-sin x dx,二匸0為常數(shù),關(guān)于0 丿 -oxsin x Ee一 X, u0,:,(*)e-xdx亠掙a=1 收斂,故由 Weierstrass判別法知反常積分CtF 2-u x . .e sinx dx0關(guān)于u三0,:一致收斂;補(bǔ)充例10試證反常積分-bC -0sinx du, - - 0為常數(shù),關(guān)于x- .0,亠一致收斂.證* - 0,由-bo-bofu4x sin x du=ox u x .e si
4、n x Je duAA作變量代換t = x u,上式右邊成為sin x(* )注意到/xs in xximxPm乎才x=0-bo.e42xAdt.2e dt-bot2積分e dt :-0TT是著名的歐拉積分,我們將在下面計(jì)算它2于是,對(duì)于(*), Vs 0 , a0,當(dāng) xw (0,6 )時(shí),有2;進(jìn)而,- A 0, x三0,,有乂2亠、2飛bi nxdu=-bo _u2 x i e sin x JeduAA顯然,x=0上述不等式也成立,因此,對(duì)于-A . 0、x:= |0,、:時(shí),fe)xsinxduA另一方面,_x :三匕,亠,由-be-be與 erdu收斂(歐拉型積分),故由Weiers
5、trass判別法,知反常積分e00xsinxdu在一x :二1:,:中一致收斂.聯(lián)合關(guān)于x1.0與x:二山,:;心;的結(jié)果,補(bǔ)充例10得證.補(bǔ)充例11試證反常積分Jsinx0dx關(guān)于u0,= 致收斂.x竺仝dx收斂,因此關(guān)于u:= Io,致收斂;0 x另一方面,g x,u =eu 關(guān)于x0, 二單調(diào)遞減,且在 x, u1-0, :1-0 :中一致有界x u0 -e - 1 ,Abel判別法便證明了例11.補(bǔ)充例12 試證反常積分esinx sin2x dx關(guān)于;-三0,亠一致收斂.0511證 由g X,當(dāng)Xr時(shí)單調(diào)遞減且g x,0 ;另一方面,X九XAAAsi nAsi nxesin 2x d
6、x=2.si nx iesin x cosx dx=2t et dt000只 . si nA sin A , ._=2 sin A e -e +1 蘭 6 e ;Dirichlet判別法證明了補(bǔ)充例12 .11 sin -補(bǔ)充例13 設(shè)-::p : :,考慮反常積分|pX dx,試證、xp 0(1)(2)-:p : 1絕對(duì)收斂、當(dāng)1 p : 2非絕對(duì)收斂、當(dāng)2乞p : :發(fā)散;pD0,2-一致收斂,其中、:.0、當(dāng)p0,2非一致收斂(1)將有限區(qū)間X -當(dāng)-:p ::1 時(shí),令.1 si n 0,1 上的函數(shù)公的積分化為無(wú)限區(qū)間上的積分比較方便Xp11t, dX dt,x:=0,1 丨)txt
7、.11 sin1二 Tdx二0 x :sint -1dt _ :2 dt - I丄 t211t勢(shì)dt.#于是,-ba:tsintdtt2 dt1 t因此當(dāng)p -1 時(shí),有 2 - p 1,垃1故積分 - dt的收斂性保證了反常積分 I絕對(duì)收斂;因此,1 t當(dāng) p : 1時(shí),積分絕對(duì)收斂;當(dāng) 1 _ p : 2,則 0 : 2 p _ 1,積分sintdt發(fā)散,這是因?yàn)?sint嚴(yán)2sin t 1 -cos2t 1 cos2t t2t 2t 2t-1cos2tdt發(fā)散,而dt收斂;另一方面,由1 2t1 2tAJsint dt = cos1cosA 蘭2,i1t2單調(diào)遞減趨向于零因此由Diric
8、hlet判別法知,積分I當(dāng)1 p . 2時(shí)積分I收斂;綜合,當(dāng)1 i si nt dt - - cost = cosV ;,11當(dāng)2空p : :時(shí),積分發(fā)散.(2)對(duì)于.0,在 2 - - I 中,由 p _ 2 -、: =2 - p _.,得1單調(diào)遞減趨于零;t而積分一致有界,故據(jù)Dirichlet判別法, 最后,.11 sin積分I-xi p0 X我們用反證法,設(shè)積分在區(qū)間s.t. - A AAq 時(shí),有AJsint dt1得到積分IA=cosl-cosA 冬 2.11 sin詐dx在p 2 - -)上一致收斂;x在 p,2 非一致收斂.,2上一致收斂,則對(duì);0 =1, 代二代,:廣a =
9、1,sintA產(chǎn)p - 2 .但這不可能,因?yàn)槿羧?A =2k二、A” h2k 1二,則當(dāng)k充分大時(shí),有9#1;l2k - 1 :2k 1 二sint dt .一2 卻2k爲(wèi)|L;:2k 1 二當(dāng)p2 一時(shí),上式右邊尸 2,得到1二;0 2的矛盾.(2k+“ 廠0補(bǔ)充習(xí)題1、討論積分sinxdx 的收斂性,其中x為實(shí)數(shù).-be. c.sin x Sin 2X .al l t 亠2、討論積分-0.edx的收斂性,其中0-bo3、討論積分I = J x e&Xdx在a e Bo,畑)上的一致收斂性,其中 a。0.0-be .:0 1 .sin : x|4、討論積分cosx dx在.0- 上的一致收斂性,其中o x15、討論積分|二xpJ dx在p := lp0,:;s 上的一致收斂性,其中p00.016、討論積分I二xpJ ln x dx在亠上的一致收斂性,其中p0 0.0#