《北師大版八年級數(shù)學下冊全冊教案 第四章 相似圖形》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《北師大版八年級數(shù)學下冊全冊教案 第四章 相似圖形（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第四章 相似圖形 4.1 線段的比 一、教學目標 1.知道線段比的概念. 2.會計算兩條線段的比. 3.熟記比例的基本性質(zhì)，并能進行證明和運用. 二、教學過程 1.兩條線段的比的概念 兩條線段的比就是兩條線段長度的比. 比如：線段a的長度為3厘米，線段b的長度為6米，所以兩線段a,b的比為3∶6=1∶2,對嗎？ 不對，因為a、b的長度單位不一致，所以不對. 注意：在量線段時要選用同一個長度單位. 2..例題 在某市城區(qū)地圖（比例尺1∶9000）上，新安大街的圖上長度與光華大街的圖上長度分別是16 cm、10 cm. （1）新安大街與光華大街的實際長度各是多少米

2、？ （2）新安大街與光華大街的圖上長度之比是多少？它們的實際長度之比呢？ 解：（1）根據(jù)題意，得 因此，新安大街的實際長度是 169000=144000（cm）, 144000 cm=1440 m; 光華大街的實際長度是 109000=90000（cm） 90000 cm=900 m. （2）新安大街與光華大街的圖上長度之比是16∶10=8∶5 新安大街的實際長度與光華大街的實 際長度之比是144000∶90000=8∶5 由例2的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)： 三、隨堂練習 1.在比例尺為1∶8000的某學校地圖上，矩形運動場的圖上尺寸是1 cm2 cm，矩形運動

3、場的實際尺寸是多少？ 解：根據(jù)題意，得 矩形運動場的圖上長度∶矩形運動場的實際長度=1∶8000 2 / 25 因此，矩形運動場的長是 28000=16000（cm）=160（m） 矩形運動場的寬是 18000=8000（cm）=80（m） 所以，矩形運動場的實際尺寸是長為160 m,寬為80 m. 四、活動與探究 為了參加北京市申辦2008年奧運會的活動，如果有兩邊長分別為1，a（其中a＞1）的一塊矩形綢布，要將它剪裁出三面矩形彩旗（面料沒有剩余），使每條彩旗的長和寬之比與原綢布的長和寬之比相同，畫出兩種不同裁剪方法的示意圖，并寫出相應的a的值. 解：方案（1）：

4、 ∵長和寬之比與原綢布的長和寬之比相同，（*） ∴ 解得：a= 方案（2）： 由（*）得 ∴x=,a= 方案（3）： 由（*）得 ∴y= 且 ∴z= 由=a 得a= 方案（4）： 由（*）得 ∴b= n=1－ m=a2－1 ∵m+n=1 ∴1－+a2－1=1 ∴a=（負值舍去） 4.2 黃金分割 一、教學目標 明白黃金分割 二、教學過程 如圖：點C把線段AB分成兩條線段AC和AB，如果=那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。

5、 4.3 形狀相同的圖形 一、教學目標 在諸多圖形中能找出形狀相同的圖形，并能畫形狀相同的圖形. 二、教學過程 在實際生活和數(shù)學學習中，我們常常會看到許多形狀相同的圖形，請從下圖中找出形狀相同的圖形. （1）與（3）；（2）與（13）；（4）與（11）；（5）與（10）；（6）、（7）、（8）、（9）分別是形狀相同的圖形. 三、課堂練習 1.解：（1）在直角坐標系中描出點O（0，0），A（1，2），B（2，4），C（3，2），D（4，0），先用線段順次連接點O，A，B，C，D，然后用線段連接A，C兩點，得到了字母A的圖形

6、 （2）填表1如下： 表1 （x,y） O（0,0） A（1,2） B（2,4） C（3,2） D（4,0） （2x,y） O1（0,0） A1（2,2） B1（4,4） C1（6,2） D1（8,0） 分別連接O1A1，A1B1，B1C1，C1D1，A1C1得下圖. 得到的圖形還是字母A. 填寫表2如下： 表2 （x,y） O（0,0） A（1,2） B（2,4） C（3,2） D（4,0） （x,2y） O2（0,0） A2（1,4） B2（2,8） C2（3,4） D2（4,0） 連接如下圖 所得圖形還是

7、字母A. 填寫表3如下： 表3 （x,y） O（0,0） A（1,2） B（2,4） C（3,2） D（4,0） （2x,2y） O3（0,0） A3（2,4） B3（4,8） C3（6,4） D3（8,0） 連接如下圖 得到的圖形還是字母A. （3）在上述所得圖形中，第1個圖形和第4個圖形形狀相同. 4.4 相似多邊形 一、教學目標 　　經(jīng)歷探究圖形的形狀、大小，圖形的邊、角之間的關系，掌握相似多邊形的定義以及相似比，并能根據(jù)定義判斷兩個多邊形是否是相似多邊形． 二、教學過程 1．探究相似多邊形的定義 　　下

8、圖中的兩個多邊形分別是幻燈片上的多邊形ABCDEF和銀幕上的多邊形A1B1C1D1E1F1，它們的形狀相同嗎？ 　　(1)在上圖的兩個多邊形中，是否有相等的內(nèi)角？設法驗證你的猜測． 　　(2)在上圖的兩個多邊形中，相等內(nèi)角的兩邊是否成比例？ 　 2．觀察下面兩組圖形，(1)中的兩個圖形相似嗎？為什么？(2)中的兩個圖形呢？與同伴交流． 　　2．如果兩個多邊形不相似，那么它們的各角可能對應相等嗎？它們的各邊可能對應成比例嗎？ (1)中的兩個圖形不相似． 　　因為相似形需要滿足兩個條件，一個是對應角相等，一個是對應邊成比例．雖然(1)中的兩個

9、圖形對應邊成比例，但對應角不相等，所以兩個圖形不相似． 　　(2)中的兩個圖形也不相似． 　　因為它們的對應邊不成比例，所以兩個圖形不相似． 　　3．如果兩個多邊形不相似，那么它們的對應角也可能都相等，如(2)中的兩個圖形； 　　如果兩個多邊形不相似，那么它們的對應邊也可能成比例，如(1)中的兩個圖形對應邊成比例，但對應角不相等． 　　 三、活動與探究 　　紙張的大小 　　如圖，將一張長、寬之比為的矩形紙ABCD依次不斷對折，可以得到矩形紙BCFE，AEML，GMFH，LGPN． 　　(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN長與寬的比改變了嗎

10、？ 　　(2)在這些矩形中，有成比例的線段嗎？ 　　(3)你認為這些大小不同的矩形相似嗎？ 　　解：(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN長與寬的比不改變． 　　設紙的寬為a，長為a，則 　　BC＝a，BE＝a 　　AE＝a，ME＝ 　　MF＝，HF＝a 　　LG＝a，LN＝ 　　∴?。絘∶a＝ 　　＝ a∶＝ 　　∶ 　　a∶＝ 　　所以這五個矩形的長與寬的比不改變． 　　(2)在這些矩形中有成比例的線段． 　　(3)這些大小不同的矩形都相似． 4.5 相似三角形 一、教學目標 1.掌握相似三角形的定義、表示法，并能根據(jù)定義判斷兩個三

11、角形是否相似. 2.能根據(jù)相似比進行計算. 二、教學過程 1.相似三角形的定義及記法 如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是對應角？哪些邊是對應邊？對應角有什么關系？對應邊呢？ 由前面相似多邊形的性質(zhì)可知，對應角應相等，對應邊應成比例. 所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F. . 2.（1）兩個全等三角形一定相似嗎？為什么？ （2）兩個直角三角形一定相似嗎？兩個等腰直角三角形呢？為什么？ （3）兩個等腰三角形一定相似嗎？兩個等邊三角形呢？為什么？ 解：（1）兩個全等三角形一定相似. 因為兩個全等三角形的對應邊相等，對應角相等，由對應邊相等可知對應邊一定成比例，且

12、相似比為1，因此滿足相似三角形的兩個條件，所以兩個全等三角形一定相似. （2）兩個直角三角形不一定相似. 因為雖然都是直角三角形，但也只能確定有一對角即直角相等，其他的兩對角可能相等，也可能不相等，對應邊也不一定成比例，所以它們不一定相似. 兩個等腰直角三角形一定相似. 因為兩個等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90，則∠A=∠B=∠D=∠E=45，所以有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. 再設△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，則 AC=BC=b，AB=b DF=EF=a，DE=a ∴ 所以兩個等腰直角三角形一定相似. （3）兩個等腰三角形不一

13、定相似. 因為等腰只能說明一個三角形中有兩邊相等，但另一邊不固定，因此這兩個等腰三角形中有兩邊對應成比例，兩底邊的比不一定等于對應腰的比，因此不用再去討論對應角滿足什么條件，就可以確定這兩個等腰三角形不一定相似. 兩個等邊三角形一定相似. 因為等邊三角形的各邊都相等，各角都等于60度，因此這兩個等邊三角形一定有對應角相等、對應邊成比例，所以它們一定相似. ［師］由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似. 兩個全等三角形一定相似. 兩個等腰直角三角形一定相似. 兩個等邊三角形一定相似. 兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似. 3.例題 1.如圖，有一塊呈三角形形狀

14、的草坪，其中一邊的長是20 m，在這個草坪的圖紙上，這條邊長5 cm，其他兩邊的長都是3.5 cm，求該草坪其他兩邊的實際長度. 解：草坪的形狀與其圖紙上相應的形狀相似，它們的相似比是2000∶5=400∶1 如果設其他兩邊的實際長度都是x cm，則 x=3.5400=1400（cm）=14（m） 所以，草坪其他兩邊的實際長度都是14 m . 2.如圖,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45,∠ACB=40，求 （1）∠AED和∠ADE的度數(shù)； （2）DE的長. 解：（1）因為△ABC∽△ADE. 所以由相

15、似三角形對應角相等，得 ∠AED=∠ACB=40 在△ADE中， ∠AED+∠ADE+∠A=180 即40+∠ADE+45=180, 所以∠ADE=180－40－45=95. （2）因為△ABC∽△ADE，所以由相似三角形對應邊成比例，得 即 所以 DE==43.75（cm）. 4.6 探索三角形相似的條件 一、教學目標 1.掌握三角形相似的判定方法1. 2.會用相似三角形的判定方法1來證明及計算. 二、教學過程 1.做一做. （1）畫一個△ABC，使得∠BAC=60，與同伴交流，你們所畫的三角形相似嗎？ （2）與同伴合作，一人畫△ABC，另一人畫△

16、A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于給定的∠α，∠B和∠B′都等于給定的∠β，比較你們畫的兩個三角形，∠C與∠C′相等嗎？對應邊的比相等嗎？這樣的兩個三角形相似嗎？ 改變∠α、∠β的大小，再試一試。 2.例題. （1）已知△ABC與△A′B′C′中，∠B=∠B′=75，∠C=50，∠A′=55，這兩個三角形相似嗎？為什么？ （2）已知一個三角形的兩個角分別是70和65，你能畫一個和這個三角形相似的三角形嗎？ 解：（1）在△ABC中， ∵∠B=75，∠C=50 ∴∠A=55 ∴∠B=∠B′,∠A=∠A′ ∴△ABC∽△A′B′C′ （2）先任作一條線段BC. 分別以

17、BC為角的頂點，作∠MBC=70，∠NCB=65. BM與CN相交于點A. 則△ABC為與原三角形相似的三角形. 三、課堂練習 1.在△ABC中， ∠A=70，∠B=60 ∴∠C=50 ∴∠A=∠D，∠C=∠E. ∴△ABC∽△DFE. 2.∵DC∥AB ∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB. ∴△CDO∽△ABO. 3.∵AB⊥AO，DB⊥AB ∴∠A=∠B=90 ∵∠ACO=∠BCD ∴△ACO∽△BCD ∴ 即 ∴AO=100（m） 所以峽谷的寬AO為100 m. 4.如圖. AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE相交于F

18、，則圖中相似三角形共有幾對？它們分別是哪些？為什么？ 解：圖中相似三角形共有六對，它們分別是①△ADC∽△BEC,②△ADC∽△AEF,③△BEC∽△BDF,④△BDF∽△AEF,⑤△BDF∽△ADC,⑥△AEF∽△BEC. ∵AD⊥BC,BE⊥AC ∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠CEB=90 （1）在△ADC與△BEC中 ∵∠ADC=∠BEC=90 ∠C=∠C ∴△ADC∽ △BEC （2）在△ADC與△AEF中 ∵∠ADC=∠AEF=90 ∠DAC=∠EAF ∴△ADC∽△AEF （3）在△BEC與△BDF中 ∵∠BEC=∠BDF=90 ∠EBC=∠DBF

19、 ∴△BEC∽△BDF. （4）在△BDF和△AEF中 ∵∠BDF=∠AEF=90， ∠BFD=∠AFE ∴△BDF∽△AEF. （5）由△BEC∽△ADC得 ∠DBF=∠DAC ∵∠BDF=∠ADC=90 ∴△BDF∽△ADC （6）由△BEC∽△ADC，得 ∠EBC=∠EAF ∵∠AEF=∠BEC ∴△AEF∽△BEC 4.7 測量旗桿的高度 一、教學目標 　　1．通過測量旗桿的高度的活動，鞏固相似三角形有關知識，積累數(shù)學活動的經(jīng)驗． 　　2．熟悉測量工具的使用技能，了解小鏡子使用的物理原理． 二、教學過程 　1.新課講解 　　好，

20、外邊陽光明媚，天公做美，助我們順利完成我們今天的活動課目——測量旗桿的高度．首先我們應該清楚測量原理．請同學們根據(jù)預習與討論情況分組說明三種測量方法的數(shù)學原理． 　　從圖中我們可以看出人與陽光下的影子和旗桿與陽光下的影子構(gòu)成了兩個相似三角形，即△EAD∽△ABC，因為直立于旗桿影子頂端處的同學的身高和他的影長以及旗桿的影長均可測量得出，根據(jù)可得BC＝，代入測量數(shù)據(jù)即可求出旗桿BC的高度． 　方法2． 利用標桿．　當旗桿頂部、標桿的頂端與眼睛恰好在一條直線上時，因為人所在直線AD與標桿、旗桿都平行，過眼睛所在點D作旗桿BC的垂線交旗桿BC于G，交標桿EF于H，于是得△DHF∽△DGC．

21、 　　因為可以量得AE、AB，觀測者身高AD、標桿長EF，且DH＝AE，DG＝AB 　　由得GC＝ 　　∴　旗桿高度BC＝GC＋GB＝GC＋AD． 　　 　　方法3利用鏡子的反射． 　　這里涉及到物理上的反射鏡原理，觀測者看到旗桿頂端在鏡子中的像是虛像，是倒立旗桿的頂端C′，∵　△EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC　∴　△EAD∽△EBC，測出AE、EB與觀測者身高AD，根據(jù)，可求得BC＝． 　　 　　通過下表對照說明測量數(shù)據(jù)的誤差情況，以及測量方法的優(yōu)劣性． 　　 　　對照上表，結(jié)合各組實際操作中遇到的問題，我們綜合大家討論情況做出如下結(jié)論： 　　

22、1．測量中允許有正常的誤差．我校旗桿高度為20 m，同學們本次測量獲得成功． 　　2．方法一與方法三誤差范圍較小，方法二誤差范圍較大，因為肉眼觀測帶有技術(shù)性，不如直接測量、儀器操作得到數(shù)據(jù)準確． 　　3．大家一致認為方法一簡單易行，是個好辦法． 　　4．方法三用到了物理知識，可以考查我們綜合運用知識解決問題的能力． 　　5．同學們提出“通過測量角度能否求得旗桿的高度呢”．有大膽的設想，老師很佩服，在大家學習了三角函數(shù)后相信會有更多的測量方法呢！ 三、課堂練習 　　高4 m的旗桿在水平地面上的影子長6 m，此時測得附近一個建筑物的影子長24 m，求該建筑物的高度． 圖4-3

23、7 　　分析：畫出上述示意圖，即可發(fā)現(xiàn)： 　　△ABC∽△A′B′C′　所以＝ 　　于是得，BC＝＝16 (m)． 　　即該建筑物的高度是16 m． 4.8 相似多邊形的性質(zhì) 一、教學目標 1相似三角形對應高的比，對應角平分線的比和對應中線的比與相似比的關系. 2.相似多邊形的周長比，面積比與相似比的關系. 3.相似多邊形的周長比，面積比在實際中的應用. 二、教學過程 1.鉗工小王準備按照比例尺為3∶4的圖紙制作三角形零件，如圖4－38，圖紙上的△ABC表示該零件的橫斷面△A′B′C′，CD和C′D′分別是它們的高. （1）,,各等于多少？ （2）△AB

24、C與△A′B′C′相似嗎？如果相似，請說明理由，并指出它們的相似比. （3）請你在圖4－38中再找出一對相似三角形. （4）等于多少？你是怎么做的？與同伴交流. 解：（1）=== （2）△ABC∽△A′B′C′ ∵== ∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比為3∶4. （3）△BCD∽△B′C′D′.（△ADC∽△A′D′C′） ∵由△ABC∽△A′B′C′得 ∠B=∠B′ ∵∠BCD=∠B′C′D′ ∴△BCD∽△B′C′D′（同理△ADC∽△A′D′C′） （4）= ∵△BDC∽△B′D′C′ ∴= = 2.已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC與△

25、A′B′C′的相似比為k. （1）如果CD和C′D′是它們的對應高，那么等于多少？ （2）如果CD和C′D′是它們的對應角平分線,那么等于多少？如果CD和C′D′是它們的對應中線呢？ 從剛才的做一做中可知，若△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′是它們的對應高，那么==k. 如圖，△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′分別是它們的對應角平分線，那么= =k. ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′ ∵CD、C′D′分別是∠ACB、∠A′C′B′的角平分線. ∴∠ACD=∠A′C′D′ ∴△ACD∽△A′C′D′ ∴= =k. 如下圖中

26、，CD、C′D′分別是它們的對應中線，則= =k. ∵△ABC∽△A′B′C′ ∴∠A=∠A′，= =k. ∵CD、C′D′分別是中線 ∴===k. ∴△ACD∽△A′C′D′ ∴= =k. 由此可知相似三角形還有以下性質(zhì). 相似三角形對應高的比、對應角平分線的比和對應中線的比都等于相似比. 3.例題講解 如上圖所示，在等腰三角形ABC中，底邊BC=60 cm,高AD=40 cm，四邊形PQRS是正方形. （1）△ASR與△ABC相似嗎？為什么？ （2）求正方形PQRS的邊長. 解：（1）△ASR∽△ABC，理由是： 四邊形PQRS是正方形SR∥B

27、C （2）由（1）可知△ASR∽△ABC. 根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比，可得 設正方形PQRS的邊長為x cm，則AE=（40－x）cm， 所以 解得： x=24 所以，正方形PQRS的邊長為24 cm. 三、課堂練習 如果兩個相似三角形對應高的比為4∶5,那么這兩個相似三角形的相似比是多少？對應中線的比，對應角平分線的比呢？ （都是4∶5）. 如下圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高. （1）則圖中有幾對相似三角形. （2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD. （3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD. 解：（1

28、）∵CD⊥AB ∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90 在△ADC和 △ACB中 ∠ADC=∠ACB=90 ∠A=∠A ∴△ADC∽△ACB 同理可知，△CDB∽△ACB ∴△ADC∽△CDB 所以圖中有三對相似三角形. （2）∵△ACD∽△CBD ∴ 即 ∴BD=4 （cm） （3）∵△CBD∽△ABC ∴. ∴ ∴BD==9 （cm）. 4.9 圖形的放大與縮小 一、教學目標 1.復習位似圖形定義 2.能利用圖形的位似將一個圖形放大或縮小. 二、教學過程 請同學們觀察下圖，要作出一個新圖形，使新圖形與原圖形對應線段的比為2∶1，看一看有幾種方法？

29、 橡皮筋法，方格紙放大法，電腦放大在圖形外取一點作射線找比例線段也可以作出. 主要是找比例線段得到的是相似圖形，對應頂點連線都過一定點，它符合位似圖形，得到的一對圖形是位似圖. 我們今天就利用位似將上面圖形放大到要求比例. 圖（一） 圖（二） 圖（一）：在原圖上取幾個關鍵點A、B、C、D、E、F、G，作射線AP，BP，CP，DP，EP，F(xiàn)P，GP，在這些射線上依次取點A′，B′，C′，D′，E′，F(xiàn)′，G′，使PA′=2AP，PB′=2BP，PC′=2CP，PD′=2DP，PE′=2EP，PF′=2FP，PG′=2GP；順次連接點A′，B′，C′，D′，E′，F(xiàn)′，G′

30、，A′，所得到的圖形就是符合要求的圖形. 圖（二）：在原圖上取關鍵點A、B、C、D、E、F、G，作射線PA，PB，PC，PD，PE，PF，PG，在這些射線上依次取點A′,B′,C′，D′，E′，F(xiàn)′，G′，使PA=AA′，PB=BB′，PC=CC′，PD=DD′，PE=EE′,PF=FF′，PG=GG′，順次連接點A′，B′，C′，D′，E′，F(xiàn)′，G′，A′，所得到的圖形就是符合條件的圖形. 利用位似將圖形放大或縮小的作圖步驟. 第一步：在原圖上選取關鍵點若干個,并在原圖外任取一點P. 第二步：以點P為端點向各關鍵點作射線. 第三步：分別在射線上取關鍵點的對應點，滿足放縮比例.

31、第四步：順次連接截取點. 即可得到符合要求的新圖形. 簡記方法: 1.選點 2.作射線 3.定對應點 4.連線 三、課堂練習 下列說法正確嗎？為什么？ 1.分別在△ABC的邊AB、AC上取點D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC縮小后的圖形. 答案：正確 因為AD＜AB,AE＜AC 由△ABC∽△ADE得＜1 所以說△ADE是△ABC縮小后的圖形. 如圖所示. 2.分別在△ABC的邊AB、AC的延長線上取點D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的圖形. 答案：正確. 由已知得AD＞AB,AE＞AC 又∵△ABC∽△ADE ＞1

32、 所以說△ADE是△ABC放大后的圖形. 如圖所示. 3.分別在△ABC的邊AB、AC的反向延長線上取點D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的圖形. 答案：不正確.也可能是縮小后的圖形. 如圖所示: 四、課后練習 三角形的頂點坐標分別是A（2,2）,B（4,2）,C（6,4）,試將△ABC縮小,使縮小后的△DEF與△ABC對應邊比為1∶2. 解：將A（2,2），B（4,2），C（6,4）三點的橫坐標、縱坐標都縮小為原來的得D（1,1）, E（2,1）,F（3,2）后,順次連結(jié)D,E,F,D,即可得到縮小后的△DEF.如圖所示. l 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！