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1、第6課時離散型隨機變量的均值與方差1.理解離散型隨機變量的均值(或期望)與方差的意義.2.會求離散型隨機變量的均值、方差,并能對結(jié)果作出判斷與選擇.在一次選拔賽中,甲、乙兩射手在同一條件下進行射擊,分布列如下:射手甲擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8,9,10的概率分別為0.4,0.2,0.4.如果你是教練,如何比較兩名射手的射擊水平,選拔誰呢?通過本節(jié)課的學習,我們就會得到答案.問題1:離散型隨機變量的均值與方差若離散型隨機變量X的分布列為:Xx1x2xixnPp1p2pipn則稱E(X)=為隨機變量X的均值或,它反映了離散型隨機變量取值的.稱D(X)=

2、為隨機變量X的方差,它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的,其算術(shù)平方根D(X)為隨機變量X的.問題2:利用方差判斷隨機變量的離散程度的標準方差越,波動性越,即離散程度越;方差越,波動性越,即離散程度越.問題3: 兩點分布:設(shè)變量X只取0,1兩個值,并且P(X=0)=1-p, P(X=1)=p,則E(X)=,D(X)=.問題4:(1)若隨機變量X服從參數(shù)為n,p的二項分布,即XB(n,p),則E(X)=,D(X)=.(2)若隨機變量 X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則E(X)=.1.樣本中共有五個個體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1,則樣本方差為().A.65B.65C.

3、2D.22.已知某一隨機變量X的分布列如下,且E(X)=6.3,則a的值為().X4a9P0.50.1bA.5B.6C.7D.83.已知隨機變量X的概率分布如下表:X-101P161312則X的方差為.4.簽盒中有編號為1、2、3、4、5、6的六支簽,從中任意取3支,設(shè)X為這3支簽的號碼之中最大的一個,求X的數(shù)學期望.離散型隨機變量的均值根據(jù)歷次比賽或者訓練記錄,甲、乙兩名射手在同樣的條件下進行射擊,成績分布如下:射手8環(huán)9環(huán)10環(huán)甲0.30.10.6乙0.20.50.3試比較甲、乙兩名射手射擊水平的高低.離散型隨機變量的方差若隨機事件A在1次試驗中發(fā)生的概率為p(0pE(Y),這就是說甲射擊

4、所得的環(huán)數(shù)的數(shù)學期望比射手乙稍高一些,所以甲的射擊水平高一些.【小結(jié)】離散型隨機變量均值的實際意義是其取值的平均程度,在實際問題中這個平均程度能給我們的決策等提供一定的幫助,能對一些問題作出判斷.探究二:【解析】隨機變量X的所有可能取值為0,1,并且有P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.從而E(X)=0(1-p)+1p=p,D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2.(1)D(X)=p-p2=-(p2-p+14)+14=-(p-12)2+14,0p1,當p=12時,D(X)取得最大值,最大值為14.(2) 2D(X)-1E(X)=2(p-p2)-1p=2-(2p+1p),0

5、p1,2p+1p22.當2p=1p,即p=22時取等號.因此,當p=22時,2D(X)-1E(X)取得最大值2-22.【小結(jié)】本題考查了隨機變量的分布列、期望、方差等與其他知識的聯(lián)系,要求對兩點分布的分布列、期望、方差公式運用熟練.探究三:【解析】E(X1)=00.7+10.2+20.06+30.04=0.44,E(X2)=00.8+10.06+20.04+30.10=0.44,E(X1)=E(X2).又D(X1)=(0-0.44)20.7+(1-0.44)20.2+(2-0.44)20.06+(3-0.44)20.04=0.6064,D(X2)=(0-0.44)20.8+(1-0.44)20

6、.06+(2-0.44)20.04+(3-0.44)20.10=0.9264,D(X1) D(X2),故A機床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.【小結(jié)】 E(X)是一個常數(shù),由隨機變量X的概率分布唯一確定,即隨機變量X是可變的,而E(X)是不變的,它描述X取值的平均狀態(tài).隨機變量的方差和標準差既反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度,方差或標準差越小,則隨機變量偏離于均值的平均程度越小,也反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)由于1件產(chǎn)品的利潤為X,則X的所有可能取值為6,2,1,-2,由題意知P(X=6)=126200=0.63,P(X=2)=50200=0.25,

7、P(X=1)=20200=0.1,P(X=-2)=4200=0.02.故X的分布列為:X621-2P0.630.250.10.02(2)1件產(chǎn)品的平均利潤為E(X)=60.63+20.25+10.1+(-2)0.02=4.34(萬元).應(yīng)用二:(1)X的分布列為:X01P0.40.6則E(X)=00.4+10.6=0.6,D(X)=(0-0.6)20.4+(1-0.6)20.6=0.24.(2)Y服從二項分布,即YB(5,0.6),E(Y)=np=50.6=3,D(Y)=50.60.4=1.2.應(yīng)用三:由題意得E(X甲)=80.2+90.6+100.2=9,D(X甲)=(8-9)20.2+(9

8、-9)20.6+(10-9)20.2=0.4;同理有E(X乙)=9,D(X乙)=0.8.由上可知E(X甲)=E(X乙),D(X甲)D(X乙).所以,可以看出甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近,均在9環(huán)左右,但甲所得環(huán)數(shù)較集中,以9環(huán)居多,而乙得環(huán)數(shù)較分散,得8、10環(huán)的次數(shù)多些.基礎(chǔ)智能檢測1.D由E(X)=np=8,D(X)=np(1-p)=1.6,得n=10,p=0.8.2.CXB(10,12),D(X)=np(1-p)=101212=52.3.51214由題意知a+b+c=1112,-a+c+16=0,a+c+13=1,解得a=512,b=14,c=14.4.解:成績的均值為E(Y)=E

9、(2X)=2E(X)=2500.8=80(分);成績的標準差為D(Y)=D(2X)=4D(X)=2500.80.2=4 2(分).全新視角拓展(1)X可能的取值為10,20,100,-200.根據(jù)題意有:P(X=10)=C31(12)1(1-12)2=38,P(X=20)=C32(12)2(1-12)1=38,P(X=100)=C33(12)3(1-12)0=18,P(X=-200)=C30(12)0(1-12)3=18,所以X的分布列為:X1020100-200P38381818(2)設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18.所以“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為1-P(A1A2A3)=1-(18)3=1-1512=511512.因此,玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是511512.(3)X的數(shù)學期望為E(X)=1038+2038+10018-20018=-54.這表明,獲得分數(shù)X的均值為負,因此,多次游戲之后分數(shù)減少的可能性更大.思維導圖構(gòu)建平均水平平均偏離程度pp(1-p)npnp(1-p)