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1、《圓周角定理》（第1課時） 教案 拓展版 一、教學(xué)目標(biāo) 知識與技能 1．理解圓周角的概念． 2．掌握圓周角與圓心角的關(guān)系． 3．掌握同弧或等弧所對的圓周角相等． 數(shù)學(xué)思考與問題解決 1．通過觀察、猜想、驗(yàn)證、推理，培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問題的能力和方法． 2．學(xué)會以特殊情況為基礎(chǔ)，通過轉(zhuǎn)化來解決一般問題的方法，體會分類的數(shù)學(xué)思想． 情感、態(tài)度 1．通過定理證明的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動的探索性和創(chuàng)造性，感受證明的嚴(yán)謹(jǐn)性． 2．通過小組活動討論，體會在解決問題的過程中與他人合作的重要性，培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)意識． 3．體驗(yàn)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系． 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：圓周角的概念及圓

2、周角定理． 難點(diǎn)：圓周角定理的證明． 三、教學(xué)過程設(shè)計(jì) （一）復(fù)習(xí)引入 1．圓心角的概念是什么？ 2．前面我們學(xué)習(xí)了一個反映圓心角、弧、弦三個量之間關(guān)系的一個結(jié)論，這個結(jié)論是什么？ 師生活動：教師出示問題，學(xué)生思考、回顧前面所學(xué)的內(nèi)容． 答：1．頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角； 2．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也都分別相等． 設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)前面學(xué)過的知識，為新內(nèi)容的學(xué)習(xí)做鋪墊． （二）探究新知 想一想 在射門游戲中（如圖），球員射中球門的難易程度與他所處的位置B對球門AC的張角（∠ABC）有關(guān)．當(dāng)球員在B，D，E

3、處射門時，他所處的位置對球門AC分別形成三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC．觀察圖中的∠ABC，∠ADC，∠AEC，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特征嗎？ 師生活動：教師出示問題，學(xué)生小組討論，最后教師引導(dǎo)學(xué)生得出圓周角的概念． 答：發(fā)現(xiàn)：（1）它們的頂點(diǎn)都在圓上；（2）兩邊分別與圓有一個交點(diǎn)． 我們把頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角． 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過觀察、思考、合作交流，探究得出圓周角的概念． 做一做 如圖，∠AOB=80． （1）請你畫出幾個所對的圓周角，這幾個圓周角有什么關(guān)系？與同伴進(jìn)行交流． （2）這些圓周角與圓心角∠AOB的大小有什么關(guān)系？你是怎樣

4、發(fā)現(xiàn)的？與同伴進(jìn)行交流． 師生活動：教師出示問題，學(xué)生小組討論，教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論． 答：（1）能畫出無數(shù)個，如下圖所示． 通過度量可以發(fā)現(xiàn)：∠ADB，∠ACB，∠AEB這幾個圓周角相等． （2）通過度量可以發(fā)現(xiàn)：這些圓周角都等于圓心角∠AOB的一半． 證明：如下圖所示，在以點(diǎn)A，B為端點(diǎn)的優(yōu)弧上任取一點(diǎn)C，連接AC，OC，BC，延長CO交于點(diǎn)M．∵OB=OC，∴∠1=∠2．又∵OA=OC，∴∠4=∠5． 又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，即∠AOB=2∠ACB． ∴∠ACB=∠AOB=80=40． 結(jié)論：這樣的圓周角有許多個，只

5、要在上任取一點(diǎn)且與點(diǎn)A，B分別相連即可得到，這些角都相等，且等于∠AOB的一半． 設(shè)計(jì)意圖：這里把直觀操作與邏輯推理有機(jī)結(jié)合，使將要進(jìn)行的推理論證成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)． 議一議 在下圖中，改變∠AOB的度數(shù)，你得到的結(jié)論還成立嗎？怎樣證明你的猜想？ 師生活動：教師出示問題，學(xué)生小組討論，教師引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)果． 答：改變∠AOB的度數(shù)，上面的結(jié)論仍然成立．證明過程如下： 已知：如圖，∠C是所對的圓周角，∠AOB是所對的圓心角． 求證：∠C=∠AOB． 分析：根據(jù)圓周角和圓心的位置關(guān)系，分三種情況討論： （1）圓心O在∠C的一條邊上，如下圖（1）； （

6、2）圓心O在∠C的內(nèi)部，如下圖（2）； （3）圓心O在∠C的外部，如下圖（3）． 在三種位置關(guān)系中，我們選擇（1）給出證明，其他情況可以轉(zhuǎn)化為（1）的情況進(jìn)行證明． 證明：（1）圓心O在∠C的一條邊上，如圖（1）． ∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠A+∠C．∵OA=OC，∴∠A=∠C． ∴∠AOB=2∠C，即∠C=∠AOB． 情況（2）和情況（3）可以轉(zhuǎn)化為情況（1）來證明． 圓周角定理 圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半． 設(shè)計(jì)意圖：向?qū)W生滲透解決問題的策略以及轉(zhuǎn)化、分類、歸納等數(shù)學(xué)思想方法． 想一想 在本節(jié)課開始提出的射門游戲中，當(dāng)球員在B，D

7、，E處射門時，所形成的三個張角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么關(guān)系？你能用圓周角定理證明你的結(jié)論嗎？ 師生活動：教師出示問題，學(xué)生獨(dú)立完成． 答：∠ABC=∠ADC=∠AEC；能，因?yàn)椤螦BC，∠ADC和∠AEC都是同?。ǎ┧鶎Φ膱A周角，根據(jù)圓周角定理，它們都等于所對圓心角度數(shù)的一半，所以這幾個圓周角相等． 結(jié)論：推論 同弧或等弧所對的圓周角相等． 設(shè)計(jì)意圖：利用圓周角定理解決本節(jié)課開始提出的問題并得出圓周角定理的推論，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力及歸納總結(jié)能力． （三）典例精析 例 如圖，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60，AC=cm． （1）求∠BAC

8、的度數(shù)；（2）求⊙O的周長． 師生活動：教師出示例題，學(xué)生思考、討論，師生共同完成解題過程． 解：（1）∵＝，∴∠BAC=∠BDC=60． （2）∵∠BAC=∠ACB=60，∴∠ABC=60． ∴△ABC是等邊三角形． 連接OC，OA，作OE⊥AC于點(diǎn)E． ∵OA=OC，OE⊥AC，∴CE=EA． ∴AE=AC=cm． ∵∠AOC=2∠ABC=120，OE⊥AC， ∴∠AOE=60，∠OAE=30． ∴OE=OA． 在Rt△AOE中，由勾股定理，得 ，即． ∴OA=2 cm．∴⊙O的周長為4π cm． 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生加深對本節(jié)課所學(xué)知識的理解，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識．

9、 （四）課堂練習(xí) 1．下列圖形中的角為圓周角的是（ ）． 2．如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，點(diǎn)D在上，且OD⊥AC．已知∠A=36，∠C=60，則∠BOD的度數(shù)為（ ）． A．132 B．144 C．156 D．168 師生活動：教師先找?guī)酌麑W(xué)生代表回答，然后講解出現(xiàn)的問題． 參考答案 1．C．2．C． 設(shè)計(jì)意圖：通過本環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識． （五）拓展例題 例 如圖，△ABC的三個頂點(diǎn)都在⊙O上，并且點(diǎn)C是優(yōu)弧AmB上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與A，B重合）．設(shè)∠OAB=α，∠C=β．

10、 （1）當(dāng)α=35時，求β的度數(shù)； （2）猜想α與β之間的關(guān)系，并給予證明． 師生活動：教師出示例題，分析、引導(dǎo)，學(xué)生完成解題過程． 解：（1）如圖，連接OB，則OA=OB．∴∠OBA=∠OAB=35． ∴∠AOB=180-∠OAB-∠OBA=110． ∴β=∠C=∠AOB=55． （2）α與β之間的關(guān)系是α+β=90． 證法一：如圖，連接OB，則OA=OB． ∴∠OBA=∠OAB=α． ∴∠AOB=180-2α． ∴β=∠C=∠AOB=(180-2α)=90-α． ∴α+β=90． 證法二：如圖，連接OB，則OA=OB． ∴∠AOB=2∠C=2β． 過點(diǎn)O作

11、OD⊥AB于點(diǎn)D， 則OD平分∠AOB． ∴∠AOD=∠AOB=β． 在Rt△AOD中，∵∠OAD+∠AOD=90， ∴α+β=90． 設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力． （六）拓展練習(xí) 如圖，A，B，C三點(diǎn)都在⊙O上，點(diǎn)D是AB延長線上一點(diǎn)，若∠AOC=140，則∠CBD的度數(shù)是_______． 師生活動：教師先找?guī)酌麑W(xué)生代表回答，然后講解出現(xiàn)的問題． 參考答案 70． 設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識． （七）課堂小結(jié) 1．圓周角的定義是什么？ 答：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角． 2．圓周角定理的內(nèi)容是什么？ 答：圓周角

12、的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半． 3．圓周角定理的推論的內(nèi)容是什么？ 答：同弧或等弧所對的圓周角相等． 師生活動：教師出示問題，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容． 設(shè)計(jì)意圖：通過總結(jié)使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心內(nèi)容． （八）布置作業(yè) 1．如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，∠AOB=2∠BOC，∠ACB與∠BAC的大小有什么關(guān)系？為什么？ 2．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，且∠C=100，求∠BOD和∠A的度數(shù)． 參考答案 1．∠ACB=2∠BAC． 2．∠BOD=160，∠A=80． 四、課堂檢測設(shè)計(jì) 1．下列說法正確的是（

13、 ）． A．頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角 B．兩邊都和圓相交的角是圓周角 C．圓心角是圓周角的2倍 D．圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半 2．如圖，已知CD是⊙O的直徑，過點(diǎn)D的弦DE平行于半徑OA．若∠D=50，則∠C=（ ）． A．50 B．40 C．30 D．25 3．如圖，以原點(diǎn)O為圓心的圓交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸的正半軸于點(diǎn)C，D為第一象限內(nèi)⊙O上的一點(diǎn)．若∠DAB=20，則∠OCD=__________． 4．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P是劣弧AD上任意一點(diǎn)，則∠ABP+∠DCP=________． 5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD與AB相交于點(diǎn)E，∠ACD=60，∠ADC=50．求∠CEB的度數(shù)． 參考答案 1．D．2．D．3．65．4．45． 5．解：連接BD，∵∠AOB是平角，∴∠ADB=90． ∵∠ADC=50，∴∠EDB=90-50=40． 又∵∠ABD=∠ACD=60， ∴∠CEB=∠ABD +∠EDB=60+40=100．