《初中數學競賽輔導講義及習題解答 第3講 充滿活力的韋達定理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《初中數學競賽輔導講義及習題解答 第3講 充滿活力的韋達定理（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第三講 充滿活力的韋達定理 一元二次方程的根與系數的關系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16世紀法國最杰出的數學家韋達發(fā)現的。 韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數學內容，應用廣泛，主要體現在： 運用韋達定理，求方程中參數的值； 運用韋達定理，求代數式的值； 利用韋達定理并結合根的判別式，討論根的符號特征； 利用韋達定理逆定理，構造一元二次方程輔助解題等。 韋達定理具有對稱性，設而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路。韋達定理，充滿活力，它與代數、幾何中許多知識可有機結合，生成豐富多彩的數學問題，而解這類問題常用到對稱分析、構造等數學思想方法?！纠}求解】【例1】 已知、是方程的兩

2、個實數根，則代數式的值為 。 思路點撥：所求代數式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉化為(例【例2】如果、都是質數，且，那么的值為( ) A、 B、或2 C、 D、或2 思路點撥：可將兩個等式相減，得到、的關系，由于兩個等式結構相同，可視、為方程的兩實根，這樣就為根與系數關系的應用創(chuàng)造了條件。注：應用韋達定理的代數式的值，一般是關于、的對稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：(1)恰當組合；(2)根據根的定義降次；(3)構造對稱式。【例3】 已知關于的方程： (1)求證：無論m取什么實數值，這個方程總有兩個相異實根。 (2)若這個方程的兩個實根

3、、滿足，求m的值及相應的、。 思路點撥：對于(2)，先判定、的符號特征，并從分類討論入手?！纠?】 設、是方程的兩個實數根，當m為何值時，有最小值?并求出這個最小值。思路點撥：利用根與系數關系把待求式用m的代數式表示，再從配方法入手，應注意本例是在一定約束條件下(0)進行的。注：應用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數根，即應用韋達定理解題時，須滿足判別式0這一條件，轉化是一種重要的數學思想方法，但要注意轉化前后問題的等價性?！纠?】 已知：四邊形ABCD中，ABCD，且AB、CD的長是關于的方程的兩個根。2 / 10(1)當m2和m2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由。(2

4、)若M、N分別是AD、BC的中點，線段MN分別交AC、BD于點P，Q，PQ1，且ABBC)的長是關于的方程的兩個根。(1)求rn的值；（2）若E是AB上的一點，CFDE于F，求BE為何值時，CEF的面積是CED的面積的，請說明理由 16、設m是不小于的實數，使得關于的方程工有兩個不相等的實數根、。(1) 若，求m的值。 （2）求的最大值。17、如圖，已知在ABC中，ACB=90，過C作CDAB于D，且ADm，BD=n，AC2：BC22：1；又關于x的方程兩實數根的差的平方小于192，求整數m、n的值。18、設、為三個不同的實數，使得方程和和有一個相同的實數根，并且使方程和也有一個相同的實數根，試求的值。參考答案 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！