《初中數學競賽輔導講義及習題解答 第3講 充滿活力的韋達定理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《初中數學競賽輔導講義及習題解答 第3講 充滿活力的韋達定理(10頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、第三講 充滿活力的韋達定理 一元二次方程的根與系數的關系,通常也稱為韋達定理,這是因為該定理是由16世紀法國最杰出的數學家韋達發(fā)現的。 韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數學內容,應用廣泛,主要體現在: 運用韋達定理,求方程中參數的值; 運用韋達定理,求代數式的值; 利用韋達定理并結合根的判別式,討論根的符號特征; 利用韋達定理逆定理,構造一元二次方程輔助解題等。 韋達定理具有對稱性,設而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路。韋達定理,充滿活力,它與代數、幾何中許多知識可有機結合,生成豐富多彩的數學問題,而解這類問題常用到對稱分析、構造等數學思想方法?!纠}求解】【例1】 已知、是方程的兩
2、個實數根,則代數式的值為 。 思路點撥:所求代數式為、的非對稱式,通過根的定義、一元二次方程的變形轉化為(例【例2】如果、都是質數,且,那么的值為( ) A、 B、或2 C、 D、或2 思路點撥:可將兩個等式相減,得到、的關系,由于兩個等式結構相同,可視、為方程的兩實根,這樣就為根與系數關系的應用創(chuàng)造了條件。注:應用韋達定理的代數式的值,一般是關于、的對稱式,這類問題可通過變形用+、表示求解,而非對稱式的求值常用到以下技巧:(1)恰當組合;(2)根據根的定義降次;(3)構造對稱式。【例3】 已知關于的方程: (1)求證:無論m取什么實數值,這個方程總有兩個相異實根。 (2)若這個方程的兩個實根
3、、滿足,求m的值及相應的、。 思路點撥:對于(2),先判定、的符號特征,并從分類討論入手?!纠?】 設、是方程的兩個實數根,當m為何值時,有最小值?并求出這個最小值。思路點撥:利用根與系數關系把待求式用m的代數式表示,再從配方法入手,應注意本例是在一定約束條件下(0)進行的。注:應用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數根,即應用韋達定理解題時,須滿足判別式0這一條件,轉化是一種重要的數學思想方法,但要注意轉化前后問題的等價性?!纠?】 已知:四邊形ABCD中,ABCD,且AB、CD的長是關于的方程的兩個根。2 / 10(1)當m2和m2時,四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由。(2
4、)若M、N分別是AD、BC的中點,線段MN分別交AC、BD于點P,Q,PQ1,且ABBC)的長是關于的方程的兩個根。(1)求rn的值;(2)若E是AB上的一點,CFDE于F,求BE為何值時,CEF的面積是CED的面積的,請說明理由 16、設m是不小于的實數,使得關于的方程工有兩個不相等的實數根、。(1) 若,求m的值。 (2)求的最大值。17、如圖,已知在ABC中,ACB=90,過C作CDAB于D,且ADm,BD=n,AC2:BC22:1;又關于x的方程兩實數根的差的平方小于192,求整數m、n的值。18、設、為三個不同的實數,使得方程和和有一個相同的實數根,并且使方程和也有一個相同的實數根,試求的值。參考答案 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!