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1、 2020年中考數(shù)學(xué)必考經(jīng)典題講練案【蘇科版】 專題10三角形的綜合問題 【方法指導(dǎo)】 1.全等三角形解決問題的常見技巧： （1）全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL（適用于直角三角形）． （2）作輔助線構(gòu)造全等三角形 ①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律． ②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明． 2.等腰三角形解題技巧： （1）等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手

2、段． （2）在等腰三角形有關(guān)問題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析． 3.等邊三角形常用方法與思路： （1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用． （2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30角

3、的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等． （3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過三條邊相等判定、通過三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60的角判定． 【題型剖析】 【類型1】三角形有關(guān)角的綜合計(jì)算 【例1】（2019?泉山區(qū)模擬）如圖，點(diǎn)、分別在射線、上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）． （1）如圖1，若，、的平分線交于點(diǎn)，則　??； （2）如圖2，若，、的平分線交于點(diǎn)，求的度數(shù)； （3）如圖2，若，的外角、的平分線交于點(diǎn)，求與之間的數(shù)量關(guān)系，并求出的度數(shù)； （4）如圖

4、3，若，是的平分線，的反向延長線與的平分線交于點(diǎn)．試問：隨著點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)，的大小會(huì)變嗎？如果不會(huì)，求的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)說明理由． 【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理得出，由角平分線的也得出，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)果； （2）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線的也得出，再由三角形內(nèi)角和定理得出的度數(shù)； （3）求出，同理，由四邊形內(nèi)角和求出，由（1）知：，即可得出結(jié)果； （4）由三角形外角性質(zhì)得出，由角平分線定義得出，，，即可得出結(jié)果． 【解析】（1）， ， 、的平分線交于點(diǎn)， ， ； 故答案為：135； （2）在中，， 、的平分線交于點(diǎn)， ， 即， ； （3）、分別

5、是和的角平分線， ，， ，， 即， 同理：， 四邊形內(nèi)角和等于， ， 由（1）知：， ， ，； （4）的度數(shù)不變，；理由如下： ， ， 、分別是和的角平分線， ，， ，即， ， ， ． 【方法小結(jié)】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的也、三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和角平分線的也是解題的關(guān)鍵． 【變式1-1】（2019?沭陽縣模擬）探究與發(fā)現(xiàn)： 如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，那么在這一個(gè)簡單的圖形中，到底隱藏了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面就請(qǐng)你發(fā)揮你的聰明才智，解決以下問題： （1）觀察“

6、規(guī)形圖”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說明理由； （2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題： ①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點(diǎn)、，若，則　40?。? ②如圖3，平分，平分，若，，求的度數(shù)； ③如圖4，，的10等分線相交于點(diǎn)、、，若，，求的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)題意觀察圖形連接并延長至點(diǎn)，由外角定理可知，一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，則容易得到； （2）①由（1）的結(jié)論可得，然后把，代入上式即可得到的值． ②結(jié)合圖形可得，代入，即可得到的值，再利用上面得出的結(jié)論可知，易得答案． ③由（2）的方法，進(jìn)而可得答案． 【解析】（

7、1）連接并延長至點(diǎn)， 由外角定理可得，； 且及； 相加可得； （2）①由（1）的結(jié)論易得：， 又因?yàn)椋? 所以； ②由（1）的結(jié)論易得，易得； 而， 代入，，易得； ③， ， 設(shè)為， ， ， 為． 【變式1-2】（2019春?海安市期末）如圖，已知是的角平分線，是的外角的平分線．延長，分別交于點(diǎn)， （1）求證：； （2）小智同學(xué)探究后提出等式：．請(qǐng)通過推理演算判斷“小智發(fā)現(xiàn)”是否正確？ （3）若，求的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可證明結(jié)論； （2）根據(jù)（1）中的結(jié)論變形后可得結(jié)論； （3）根據(jù)三

8、角形的外角和角平分線的定義，綜合已知，等量代換可得結(jié)論． 【解答】（1）證明：是的平分線， ， 是的平分線， ， ； （2）解：由（1）知， ， 小智發(fā)現(xiàn)”是錯(cuò)誤的； （3）解：中，， 中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【方法小結(jié)】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角性質(zhì)的應(yīng)用，能正確運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和． 【變式1-3】（2019春?高淳區(qū)校級(jí)模擬）中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn)． （1）如圖1， ①若，則　　，　?。? ②猜想與的

9、關(guān)系，并說明你的理由； （2）如圖2，作外角的平分線交的延長線于點(diǎn)．若，，則　　． 【分析】（1）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論； ②設(shè)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和角平分線的定義即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解析】（1）①， ， 中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案為：，， ②相等，理由設(shè)， ， 中，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）由（1）知，， 平分，平分， ，，

10、 ， ， ， ． 故答案為：，，43． 【方法小結(jié)】本題考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【類型2】全等三角形的判定與性質(zhì) 【例2】（2019?如皋市一模）如圖，、、是直線上的三個(gè)點(diǎn)，，且． （1）求證：； （2）若，點(diǎn)在直線的上方，為等邊三角形，補(bǔ)全圖形，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由． 【分析】（1）由外角的性質(zhì)可得，由“”可得，可得，，可得結(jié)論； （2）由“”可證，可得，，可得，可得是等邊三角形． 【解答】證明：（1）， ． 在和中， ，． （2）補(bǔ)全圖形． 為等邊三角

11、形． 理由如下： 為等邊三角形， ，． ，． （已證）， ， 即． （已證）， ， ，． ． 為等邊三角形． 【方法小結(jié)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)是本題關(guān)鍵． 【變式2-1】（2019?碑林區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形中，，，，垂足為，． （1）求證：； （2）若，，求的長（結(jié)果精確到0.01，參考數(shù)值：， 【分析】（1）由“”可證； （2）由等腰三角形的性質(zhì)可得，由勾股定理可求的長，即可求的長． 【解答】證明：（1）， ，且，， （2），， 【方法小結(jié)】本題

12、考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵． 【變式2-2】（2019?灌南縣校級(jí)模擬）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，，的周長為． （1）求證：平分； （2）若，，，求的值． 【分析】（1）延長，交于點(diǎn)，由“”可證，可得，可證，由等腰三角形的性質(zhì)可得，即可得結(jié)論； （2）由題意可證四邊形是矩形，由勾股定理可求，，的長，即可求的周長為的值． 【解析】（1）延長，交于點(diǎn)， 點(diǎn)是的中點(diǎn)， ， ， ，且， ， ， 平分； （2）點(diǎn)是的中點(diǎn)， ， ， ， ，， 四邊

13、形是平行四邊形，且 四邊形是矩形， ，，， 在中，， ， 在中， 在中， 的周長為 【方法小結(jié)】本題考查了全等三角形的判定，矩形的判定，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵． 【類型3】等腰三角形的有關(guān)計(jì)算與證明 【例3】（2018秋?灌云縣期末）如圖，已知是的邊上的一點(diǎn)，， （1）若，，求的大??； （2）若既是的高又是角平分線，，求的大?。? 【分析】（1）首先根據(jù)已知條件可知，為等邊三角形．所以，，因?yàn)椋?，，由，得? （2）由既是的高又是角平分線可知，為等腰三角形，所以，，因?yàn)椋?，，由，求得? 【解析】（1），， ， ，

14、， ， ， ， ， ； （2）既是的高又是角平分線，， ，， ， ， ， ， ， ． 【方法小結(jié)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 【變式3-1】（2018秋?泗陽縣期末）已知，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長線上，且，． （1）如圖1，若，，試求的度數(shù)； （2）若，，則的度數(shù)為　?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)果）； （3）如圖2，若，其余條件不變，探究與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和

15、得到，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【解析】（1），， ， ， ， ， ， ， ， ； （2），， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案為：； （3）設(shè)，， ， ， ， ， ， ， ， ； ． 【變式3-2】（2018秋?秦淮區(qū)期末）如圖，在中，，． （1）當(dāng)時(shí)（如圖①，　 ?。? （2）當(dāng)時(shí)（如圖②，求的度數(shù)（用含的式子表示）． 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得到，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到的度數(shù)； （2）運(yùn)用（1）中的方法進(jìn)行計(jì)算，即可得到的度數(shù)． 【解析】（1），， ，， ， ，

16、 中， ， 故答案為：45． （2），， ，， ， ， 中， ． 【方法小結(jié)】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形的兩個(gè)底角相等是解答此題的關(guān)鍵． 【類型4】等邊三角形的有關(guān)計(jì)算與證明 【例4】（2019春?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知，為等邊三角形，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，且． （1）如圖1，若點(diǎn)在邊上，猜想線段與之間的關(guān)系，并說明理由； （2）如圖2，若點(diǎn)在的延長線上，（1）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由． 【分析】（1）求出，推出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出，即可得出答案；解：（1），理由：過作交于， （2）（1）中的結(jié)論仍

17、成立，如圖3，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，證明，得到，即可得到． 【解析】（1）， 證明：如圖1，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)， 是等邊三角形， 也是等邊三角形， ，， ， ， ， ， ， 又，， 即， 在和中，，，， ， ， ； （2）如圖3，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)， 是等邊三角形， 也是等邊三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ． 【方法小結(jié)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形． 【變式4-1】（2018秋?泰興市月考）如圖，

18、是等邊三角形，是中線，延長至點(diǎn)，使．取中點(diǎn)，連接． （1）求證：； （2）延長交邊于點(diǎn)，試說明：． 【分析】（1）根據(jù)等邊三角線的性質(zhì)和三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，可以求得和的關(guān)系，從而可以證明結(jié)論成立； （2）根據(jù)題意和角平分線的性質(zhì)可以證明結(jié)論成立． 【解答】（1）證明：是等邊三角形，是中線， ，平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）證明：由（1）知，， ， ， 是等邊三角形，是中線， ，，是的平分線， ， ， ， ， ， ． 【變式4-2】（2019?淮陰區(qū)模擬）如圖，中，，以為邊在外作等邊三角形，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，與相交于點(diǎn)

19、，連接． （1）說明：； （2）若，是直線上的一點(diǎn)．則當(dāng)在何處時(shí)，最小，并求出此時(shí)的值． 【分析】（1）根據(jù)等邊三角形“三合一”的性質(zhì)證得垂直平分；然后由等腰三角形的判定知，根據(jù)等邊對(duì)等角、直角三角形的兩個(gè)銳角互余的性質(zhì)以及等量代換求得；最后根據(jù)等角對(duì)等邊證得，所以； （2）由（1）知，垂直平分，故；由等量代換知；根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上最小，所以點(diǎn)在處時(shí)最?。? 【解析】（1）證明：在等邊三角形中， ， 垂直平分， ， （等邊對(duì)等角）； （已知）， ， ， （等角對(duì)等邊）， ； （2）由（1）知，垂直平分， ， ； 當(dāng)最小時(shí)，也就是

20、最小，即點(diǎn)、、在同一直線上最小，所以點(diǎn)在處時(shí)最?。? 當(dāng)點(diǎn)在處時(shí)，． 【類型5】直角三角形的綜合問題 【例5】（2019 ?溧水校級(jí)模擬）已知中，，，為的中點(diǎn)． （1）如圖，若、分別是、上的點(diǎn)，且．求證：為等腰直角三角形； （2）若，分別為，延長線上的點(diǎn)，仍有，其他條件不變，那么是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論． 【分析】題要通過構(gòu)建全等三角形來求解．連接，可通過證和全等來求本題的結(jié)論． （2）與（1）題的思路和解法一樣． 【解析】（1）證明：連接 ，，為中點(diǎn) 且平分 在和中， ， ， 即： 為等腰直角三角形． （2）解：仍為等腰直

21、角三角形． 理由： ， 即： 為等腰直角三角形． 【方法小結(jié)】本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，難度較大． 【變式5-1】（2018秋?常熟市期末）如圖，在中，，．點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，垂足為．點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，． （1）求證：； （2）判斷與的位置關(guān)系，并說明理由； （3）若，連接，求的度數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明即可． （2）利用四邊形內(nèi)角和定理，證明即可． （3）只要證明即可． 【解答】（1）證明：， ， ，， ，， ． （2）結(jié)論：． 理由：，， ， ， ， ， ，

22、 ，， ， ， ． （3），， ， ， 是等邊三角形， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ． 【方法小結(jié)】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型． 【變式5-2】（2019?江都區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，已知是等腰直角三角形，，，為外的一點(diǎn)，連結(jié)、，過作，垂足為，的延長線交于． （1）如圖1，若，且，求的長； （2）如圖2，若是等邊三角形，求的長． 【分析】（1）由已知條件求出、、的值，由勾股定理即可求出的長； （2）利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理

23、先計(jì)算出的長，再利用三角形的中位線可求出，則的長可求解． 【解析】（1），， 可設(shè)，則， 根據(jù)勾股定理得：， ， ， 解得：， ，，， ； （2）是等邊三角形，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ，即， 是等腰直角三角形， ， ． 【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】 一．選擇題（共4小題） 1．（2019?徐州）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（　?。? A．2，2，4 B．5，6，12 C．5，7，2 D．6，8，10 【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的三條線段是否能組成三角形，本題得以解決． 【解析】∵2+2＝4，∴2，2，4不能組成

24、三角形，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤， ∵5+6＜12，∴5，6，12不能組成三角形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤， ∵5+2＝7，∴5，7，2不能組成三角形，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤， ∵6+8＞10，∴6，8，10能組成三角形，故選項(xiàng)D正確， 故選：D． 2．（2019?揚(yáng)州）已知n是正整數(shù)，若一個(gè)三角形的3邊長分別是n+2、n+8、3n，則滿足條件的n的值有（　?。? A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè) 【分析】分兩種情況討論：①若n+2＜n+8≤3n，②若n+2＜3n≤n+8，分別依據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行求解即可． 【解析】①若n+2＜n+8≤3n，則 n+2+n+8＞3nn+8≤3n， 解得n＜10n≥4，

25、即4≤n＜10， ∴正整數(shù)n有6個(gè)：4，5，6，7，8，9； ②若n+2＜3n≤n+8，則 n+2+3n＞n+83n≤n+8， 解得n＞2n≤4，即2＜n≤4， ∴正整數(shù)n有2個(gè)：3和4； 綜上所述，滿足條件的n的值有7個(gè)， 故選：D． 3．（2019?鹽城）如圖，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊BA、BC的中點(diǎn)，AC＝3，則DE的長為（　?。? A．2 B．43 C．3 D．32 【分析】直接利用中位線的定義得出DE是△ABC的中位線，進(jìn)而利用中位線的性質(zhì)得出答案． 【解析】∵點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊BA、BC的中點(diǎn)， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE=12AC＝1.

26、5． 故選：D． 4．（2018?南通）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，按下列步驟作圖： 步驟1：分別以點(diǎn)C和點(diǎn)D為圓心，大于12CD的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)； 步驟2：作直線MN，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)； 步驟3：連接DE，DF． 若AC＝4，BC＝2，則線段DE的長為（　?。? A．53 B．32 C．2 D．43 【分析】由作圖可知，四邊形ECFD是正方形，根據(jù)S△ACB＝S△ADC+S△CDB，可得12ACBC=12ACDE+12BCDF，由此即可解決問題． 【解析】由作圖可知，四邊形ECFD是正方形， ∴DE＝

27、DF＝CE＝CF，∠DEC＝∠DFC＝90， ∵S△ACB＝S△ADC+S△CDB， ∴12ACBC=12ACDE+12BCDF， ∴DE=426=43， 故選：D． 二．填空題（共4小題） 5．（2019?南通）如圖，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90，F(xiàn)為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25，則∠ACF＝　 　度． 【分析】先證明△ABE≌△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝25；然后根據(jù)AB＝BC，∠ABC＝90，求出∠ACB的度數(shù)，即可求出∠ACF的度數(shù)． 【解析】在Rt△ABE與Rt△CBF中，AE=CFAB=BC， ∴Rt△ABE≌

28、Rt△CBF（HL）． ∴∠BAE＝∠BCF＝25； ∵AB＝BC，∠ABC＝90， ∴∠ACB＝45， ∴∠ACF＝25+45＝70； 故答案為：70． 6．（2019?蘇州）如圖，扇形OAB中，∠AOB＝90．P為弧AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥OA，垂足為C，PC與AB交于點(diǎn)D．若PD＝2，CD＝1，則該扇形的半徑長為　?。? 【分析】連接OP，利用等腰三角形的性質(zhì)可得出∠OAB＝45，結(jié)合PC⊥OA可得出△ACD為等腰直角三角形，進(jìn)而可得出AC＝1，設(shè)該扇形的半徑長為r，則OC＝r﹣1，在Rt△POC中，利用勾股定理可得出關(guān)于r的方程，解之即可得出結(jié)論． 【解析】連接O

29、P，如圖所示． ∵OA＝OB，∠AOB＝90， ∴∠OAB＝45． ∵PC⊥OA， ∴△ACD為等腰直角三角形， ∴AC＝CD＝1． 設(shè)該扇形的半徑長為r，則OC＝r﹣1， 在Rt△POC中，∠PCO＝90，PC＝PD+CD＝3， ∴OP2＝OC2+PC2，即r2＝（r﹣1）2+9， 解得：r＝5． 故答案為：5． 7．（2019?南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60，∠A＞∠B，則BC的長的取值范圍是　 ?。? 【分析】作△ABC的外接圓，求出當(dāng)∠BAC＝90時(shí)，BC是直徑最長=833；當(dāng)∠BAC＝∠ABC時(shí)，△ABC是等邊三角形，BC＝AC＝AB＝4，而∠B

30、AC＞∠ABC，即可得出答案． 【解析】作△ABC的外接圓，如圖所示： ∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4， 當(dāng)∠BAC＝90時(shí)，BC是直徑最長， ∵∠C＝60， ∴∠ABC＝30， ∴BC＝2AC，AB=3AC＝4， ∴AC=433， ∴BC=833； 當(dāng)∠BAC＝∠ABC時(shí)，△ABC是等邊三角形，BC＝AC＝AB＝4， ∵∠BAC＞∠ABC， ∴BC長的取值范圍是4＜BC≤833； 故答案為：4＜BC≤833． 8．（2019?南京）無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為20cm的細(xì)木筷斜放在該杯子內(nèi)，木筷露在杯子外面的部分至少有　　cm． 【分析】根據(jù)

31、題意直接利用勾股定理得出杯子內(nèi)的筷子長度，進(jìn)而得出答案． 【解析】由題意可得： 杯子內(nèi)的筷子長度為：122+92=15， 則筷子露在杯子外面的筷子長度為：20﹣15＝5（cm）． 故答案為：5． 三．解答題（共8小題） 9．（2019?南通）如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個(gè)點(diǎn)C，從點(diǎn)C不經(jīng)過池塘可以直接到達(dá)點(diǎn)A和B．連接AC并延長到點(diǎn)D，使CD＝CA．連接BC并延長到點(diǎn)E，使CE＝CB．連接DE，那么量出DE的長就是A，B的距離．為什么？ 【分析】利用“邊角邊”證明△ABC和△DEC全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等解答． 【解析】量出DE的長就等

32、于AB的長，理由如下： 在△ABC和△DEC中，BC=CE∠ACB=∠DCECA=CD， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE． 10．（2019?鎮(zhèn)江）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，AE＝CF，過點(diǎn)A、C分別作EF的垂線，垂足為G、H． （1）求證：△AGE≌△CHF； （2）連接AC，線段GH與AC是否互相平分？請(qǐng)說明理由． 【分析】（1）由垂線的性質(zhì)得出∠G＝∠H＝90，AG∥CH，由平行線的性質(zhì)和對(duì)頂角相等得出∠AEG＝∠CFH，由AAS即可得出△AGE≌△CHF； （2）連接AH、CG，由全等三角形的性質(zhì)得出AG＝CH，

33、證出四邊形AHCG是平行四邊形，即可得出結(jié)論． 【解答】（1）證明：∵AG⊥EF，CH⊥EF， ∴∠G＝∠H＝90，AG∥CH， ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠BFE， ∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE， ∴∠AEG＝∠CFH， 在△AGE和△CHF中，∠G=∠H∠AEG=∠CFHAE=CF， ∴△AGE≌△CHF（AAS）； （2）解：線段GH與AC互相平分，理由如下： 連接AH、CG，如圖所示： 由（1）得：△AGE≌△CHF， ∴AG＝CH， ∵AG∥CH， ∴四邊形AHCG是平行四邊形， ∴線段GH與AC互相平分． 11．（2019?無錫）如

34、圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于點(diǎn)O． （1）求證：△DBC≌△ECB； （2）求證：OB＝OC． 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ECB＝∠DBC根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論； （2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DCB＝∠EBC根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到OB＝OC 【解答】（1）證明：∵AB＝AC， ∴∠ECB＝∠DBC， 在△DBC與△ECB中BD=CE∠DBC=BC=CB∠ECB， ∴△DBC≌△ECB（SAS）； （2）證明：由（1）知△DBC≌△ECB， ∴∠DCB＝∠EBC， ∴

35、OB＝OC． 12.（2018?無錫）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝m，BC＝n，m＞n，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)CP，將△ACP沿CP翻折得到△QCP． （1）若m＝4，n＝3，且PQ⊥AB，求BP的長； （2）連結(jié)BQ，若四邊形BCPQ是平行四邊形，求m與n之間的關(guān)系式． 【分析】（1）如圖，作CH⊥AB于H．證明△PCH是等腰直角三角形即可解決問題． （2）證明AB＝2n，利用勾股定理即可解決問題． 【解析】（1）如圖，作CH⊥AB于H． 由翻折的性質(zhì)可知：∠APC＝∠QPC， ∵PQ⊥PA， ∴∠APQ＝90， ∴∠APC＝∠QPC＝135，

36、∴∠BPC+∠QPB＝135， ∵∠QPB＝90， ∴∠BPC＝45， ∵CH⊥AB， ∴CH＝PH， 在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=32+42=5， ∵12?AB?CH=12?AC?BC， ∴CH=125，BH=BC2-CH2=95， ∴PB＝PH+BH=125+95=215． （2）如圖2中，連接BQ． 由翻折不變性可知：PA＝PQ，∠QPC＝∠APC， ∵四邊形BCPQ是平行四邊形， ∴PQ＝BC＝PA＝n，PQ∥BC， ∴∠QPC+∠PCB＝180， ∵∠BPC+∠APC＝180， ∴∠PCB＝∠BPC， ∴PB＝BC＝n， ∴AP＝PB

37、＝n，AB＝2n， 在Rt△ABC中，則有（2n）2＝m2+n2， ∴m2＝3n2， ∵m＞0．n＞0， ∴m=3n． 13．（2018?徐州）如圖，將等腰直角三角形紙片ABC對(duì)折，折痕為CD．展平后，再將點(diǎn)B折疊在邊AC上（不與A、C重合），折痕為EF，點(diǎn)B在AC上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M，設(shè)CD與EM交于點(diǎn)P，連接PF．已知BC＝4． （1）若M為AC的中點(diǎn)，求CF的長； （2）隨著點(diǎn)M在邊AC上取不同的位置， ①△PFM的形狀是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由； ②求△PFM的周長的取值范圍． 【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可知，F(xiàn)B＝FM，設(shè)CF＝x，則FB＝FM＝4﹣x，在Rt△CFM

38、中，根據(jù)FM2＝CF2+CM2，構(gòu)建方程即可解決問題； （2）①△PFM的形狀是等腰直角三角形，想辦法證明△POF∽△MOC，可得∠PFO＝∠MCO＝45，延長即可解決問題； ②設(shè)FM＝y(tǒng)，由勾股定理可知：PF＝PM=22y，可得△PFM的周長＝（1+2）y，由2＜y＜4，可得結(jié)論． 【解析】（1）∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)， ∴CM=12AC=12BC＝2， 由折疊的性質(zhì)可知，F(xiàn)B＝FM， 設(shè)CF＝x，則FB＝FM＝4﹣x， 在Rt△CFM中，F(xiàn)M2＝CF2+CM2，即（4﹣x）2＝x2+22， 解得，x=32，即CF=32； （2）①△PFM的形狀是等腰直角三角形，不會(huì)發(fā)生變化，

39、 理由如下：由折疊的性質(zhì)可知，∠PMF＝∠B＝45， ∵CD是中垂線， ∴∠ACD＝∠DCF＝45， ∴∠PMO＝∠FCO， ∵∠POM＝∠FOC， ∴△POM∽△FOC， ∴OMOC=OPOF， ∴OMOP=OCOF ∵∠POF＝∠MOC， ∴△POF∽△MOC， ∴∠PFO＝∠MCO＝45， ∴∠PFM＝∠PMF＝45， ∴∠MPF＝90， ∴△PFM是等腰直角三角形． ②∵△PFM是等腰直角三角形，設(shè)FM＝y(tǒng)， 由勾股定理可知：PF＝PM=22y， ∴△PFM的周長＝（1+2）y， ∵2＜y＜4， ∴△PFM的周長滿足：2+22＜（1+2）y＜4+42

40、． 14．（2019?揚(yáng)州）如圖，平面內(nèi)的兩條直線l1、l2，點(diǎn)A，B在直線l1上，點(diǎn)C、D在直線l2上，過A、B兩點(diǎn)分別作直線l2的垂線，垂足分別為A1，B1，我們把線段A1B1叫做線段AB在直線l2上的正投影，其長度可記作T（AB，CD）或T(AB，l2)，特別地線段AC在直線l2上的正投影就是線段A1C． 請(qǐng)依據(jù)上述定義解決如下問題： （1）如圖1，在銳角△ABC中，AB＝5，T（AC，AB）＝3，則T（BC，AB）＝　??； （2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9，求△ABC的面積； （3）如圖3，在鈍角△ABC中，∠A＝60

41、，點(diǎn)D在AB邊上，∠ACD＝90，T（AD，AC）＝2，T（BC，AB）＝6，求T（BC，CD）， 【分析】（1）如圖1中，作CH⊥AB．根據(jù)正投影的定義求出BH即可． （2）如圖2中，作CH⊥AB于H．由正投影的定義可知AH＝4，BH＝9，利用相似三角形的性質(zhì)求解CH即可解決問題． （3）如圖3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K．根據(jù)正投影的定義，求出CD，DK即可解決問題． 【解析】（1）如圖1中，作CH⊥AB． ∵T（AC，AB）＝3， ∴AH＝3， ∵AB＝5， ∴BH＝5﹣3＝2， ∴T（BC，AB）＝BH＝2， 故答案為2． （2）如圖2中，作CH⊥

42、AB于H． ∵T（AC，AB）＝4，T（BC，AB）═9， ∴AH＝4，BH＝9， ∵∠ACB＝∠CHA＝∠CHB＝90， ∴∠A+∠ACH＝90，∠ACH+∠BCH＝90， ∴∠A＝∠BCH， ∴△ACH∽△CBH， ∴CHBH=AHCH， ∴CH9=4CH， ∴CH＝6， ∴S△ABC=12?AB?CH=12136＝39． （3）如圖3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K． ∵∠ACD＝90，T（AD，AC）＝2， ∴AC＝2， ∵∠A＝60， ∴∠ADC＝∠BDK＝30， ∴CD=3AC＝23，AD＝2AC＝4，AH=12AC＝1，DH＝AD﹣AH＝3， ∵T（BC，AB）＝6，CH⊥AB， ∴BH＝6， ∴DB＝BH﹣DH＝3， 在Rt△BDK中，∵∠K＝90，BD＝3，∠BDK＝30， ∴DK＝BD?cos30=332， ∴CK＝CD+DK＝23+332=732， ∴T（BC，CD）＝CK=732．