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1、 福建省漳州市薌城中學(xué)高中數(shù)學(xué) 3對(duì)稱問(wèn)題專題訓(xùn)練 新人教A版必修2 目標(biāo)：能運(yùn)用直線方程的知識(shí)解決與直線有關(guān)的對(duì)稱和最值問(wèn)題。 一、基本對(duì)稱： x軸 y軸 原點(diǎn) 直線y = x 直線y = - x 點(diǎn)(1 , 2) P (x0 , y0) 直線Ax + By + C = 0 練習(xí)：2x + 3y – 6 = 0 方程：f (x , y) = 0 函數(shù)y = f (x) 規(guī)律 圖象 應(yīng)用：y =

2、 x2 + 2x + 3 (x –1)2 + (y +1)2 = 4 二、點(diǎn)對(duì)稱（中心對(duì)稱）——圖像旋轉(zhuǎn)180后重合 1、舉出中心對(duì)稱的例子： 如：正方形、正多邊形、圓、奇函數(shù)的圖像。 2、點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱： 例1：點(diǎn)M（4，3）關(guān)于N（5，– 3）的對(duì)稱點(diǎn)是 。 一般結(jié)論：點(diǎn)P (x0 , y0) 關(guān)于點(diǎn)Q (a , b) 的對(duì)稱點(diǎn)是 。 解題思路：中點(diǎn)坐標(biāo)公式。 3、直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱： 例2：直線y = 3x - 4關(guān)于點(diǎn) (1 , 1) 對(duì)稱的直線方程是

3、 。 解題思路：（1）直線上任取兩點(diǎn)，求關(guān)于 (1 , 1) 的對(duì)稱點(diǎn)——確定一條直線； （2）兩對(duì)稱直線平行，直線的方程可設(shè)為3x – y + m = 0，由點(diǎn)到直線的距離相等可得； （3）設(shè)P (x0 , y0)為直線y = 3x - 4上任一點(diǎn)，∴ y0 = 3x0 – 4 …… ①， 又P (x0 , y0)關(guān)于 (1 , 1) 的對(duì)稱點(diǎn)為P (x , y)，得 代入 ① 即得。 注：本題用（2）較簡(jiǎn)單，但（3）為一般解法，適用于所有的函數(shù)和方程。 練習(xí)：1、方程x2 + y2 = 1關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱的方程為 。

4、 2、點(diǎn)A (3，– 1) 關(guān)于點(diǎn)B（2，1）的對(duì)稱點(diǎn)是 。 3、直線2x – y + 1 = 0關(guān)于點(diǎn) (2 , 4) 對(duì)稱的直線方程是 。 直線x + y + 1 = 0關(guān)于點(diǎn) (2 , 3) 對(duì)稱的直線方程是 。 三、軸對(duì)稱（直線）——沿直線翻折后圖像重合 1、舉出軸對(duì)稱的例子： 如：正多邊形、圓、偶函數(shù)的圖像、互為反函數(shù)的圖像。 2、點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱： 例3：點(diǎn)M (2 , 4) 關(guān)于直線l: 2x – y + 1 = 0的對(duì)

5、稱點(diǎn)是 。 解題思路：設(shè)N (x0 , y0)，則l為MN的垂直平分線，得 聯(lián)立方程組求解。 練習(xí)：1、點(diǎn)M (2 , 3) 關(guān)于直線x + y + 1 = 0的對(duì)稱點(diǎn)是 。 2、點(diǎn) (4 , 0 ) 關(guān)于直線5x + 4y + 21 = 0的對(duì)稱點(diǎn)是 。 3、點(diǎn)A (4 , 5) 關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)是B (- 2 , 7)，則l的方程是 。 3、直線關(guān)于直線對(duì)稱： 例4：直線l1: x – y – 2 = 0關(guān)于直線l2: 3x – y + 3 = 0對(duì)稱的直線

6、方程為 。 解題思路：（1）夾角相等——求斜率；過(guò)交點(diǎn)——解方程組。 （2）l1上任取一點(diǎn)，求關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，所求直線必過(guò)對(duì)稱點(diǎn)及交點(diǎn)。 （3）設(shè)P (x0 , y0) 是l1上的任一點(diǎn)，∴ x – y – 2 = 0 …… ① P關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)為Q (x , y)， 得： 把x , y看成常數(shù)，求得x0 , y0，代入 ① 即得。 注：本題用（1）較簡(jiǎn)單，但（3）為一般解法，適用于所有的函數(shù)和方程。 練習(xí)：1、求直線2x + 3y – 6 = 0關(guān)于直線x + y – 1 = 0的對(duì)稱直線方程。 2、已知直線l: x

7、+ y – 2 = 0，一束光線過(guò)點(diǎn)P (0 ,) 以120的傾斜角投射到l上，經(jīng)l反射后，求反射線所在直線的方程。 3、有一光線從點(diǎn)A (2 , 13) 射到直線l: 3x – 4y – 4 = 0以后，再反射到點(diǎn) B (- 3 , 3) ，求這條光線的入射線的反射線所在直線的方程以及這條光線從A到B所經(jīng)過(guò)的路程。 4、光線沿著斜率為的直線l1射在斜率為的直線l2上反射，若l1和l2的交點(diǎn)為點(diǎn) (- 1 , 2) ，求反射線所在的直線方程。 一般結(jié)論：求直線Ax + By + C = 0關(guān)于直線y = x + b的對(duì)稱直線的方程。 設(shè)P (x0 , y0)，則

8、Ax0 + By0 + C = 0，P關(guān)于直線y = x + b的對(duì)稱點(diǎn)為Q (x , y)， 則有或。 注：在解答題中，把滿足的條件（方程組）寫出后，可直接得出結(jié)論。 如：練習(xí)1，2。（檢驗(yàn)） 四、最值問(wèn)題 例5：已知P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，A (0 , 3) , B (4 , 5) 為兩定點(diǎn)，求 |PA| + |PB| 的最小值。 引申：求函數(shù)的值域。 練習(xí)：1、求函數(shù)的值域。 2、求函數(shù)的值域。 例6：在直線l: x + y – 8 = 0上求一點(diǎn)M，使之與兩定點(diǎn)A (- 4 , 0) 及B (4 , 0) 的距離之和最短。

9、 五、高考題選 1（93）和直線3x – 4y + 5 = 0關(guān)于x軸對(duì)稱的直線方程是 。 2（90）如果直線y = ax + 2與直線y = 3x - b關(guān)于直線y = x對(duì)稱，那么a = , b = 。 3（92）已知直線l1和l2夾角的平分線為y = x，如果l1的方程是ax + by + c = 0 (ab > 0)，那么l2的方程是 。 4（91）點(diǎn)P (2 , 5) 關(guān)于直線x + y = 0的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是 。 5（92）原點(diǎn)關(guān)

10、于直線8x + 6y = 25的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為 。 6（92上海）如果直線l與直線x + y – 1 = 0關(guān)于y軸對(duì)稱，那么直線l的方程是 。 7（97）橢圓C與橢圓關(guān)于直線x + y = 0對(duì)稱，則橢圓C的方程是 。 小結(jié)歸納： 對(duì)稱問(wèn)題分為點(diǎn)對(duì)稱及軸對(duì)稱，點(diǎn)對(duì)稱僅用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可，軸對(duì)稱用對(duì)稱點(diǎn)連線的中垂線就是對(duì)稱軸，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率的關(guān)系即可解決。特別是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、坐標(biāo)軸對(duì)稱、直線x y = 0對(duì)稱都要熟練掌握。 最值問(wèn)題常用的方法是目標(biāo)函數(shù)法和幾何法。 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！