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1、 一些求曲率半徑的特殊方法 Φ x y p Q 如圖2-4-5 1．先看橢圓曲線，要求其兩頂點處的曲率半徑。介紹以下兩種方法： (1)將橢圓看成是半徑R=A（設A＞B）的圓在平面上的投影，圓平面和平面的夾角滿足關系式（如圖2-4-5） 設一個質點以速率v在圓上做勻速圓周運動，則向心加速度，從上圖中可以看出，當頂點的投影在橢圓的長軸（x軸）上的P點時，其速率和加速度分別為： ， 當質點的投影在橢圓的短軸（y軸）上的Q點時，其速率和加速度分別為： 。 因此橢圓曲線在P、Q的曲率半徑分別為： Q P A B x y

2、 圖2-4-6 (2)將橢圓看成是二個簡諧運動的合成，可以把橢圓的參數(shù)方程（設A＞B）（如圖2-4-6） 可改寫為 即可進一步寫出x，y二個方程的速度v和加速度a： 那么在長軸端點P處（）的曲率半徑： 在短軸端點Q處（）的曲率半徑 x y 圖2-4-7 2．再看拋物線y=Ax，要求其任意一點的曲率半徑（如圖2-4-7）因為拋物線可以寫作參數(shù)方程 其中，這樣就可以導出 對任意一個t值： v= a=acos=a 所以這一點的曲率半徑 將t=代入，可得 因為，所以拋物線y=Ax上任意一點的曲率半徑 3 教學d