《【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四篇 三角函數(shù)、解三角形 第6講 正弦定理和余弦定理教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四篇 三角函數(shù)、解三角形 第6講 正弦定理和余弦定理教案 理 新人教版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第6講正弦定理和余弦定理【2013年高考會這樣考】1考查正、余弦定理的推導(dǎo)過程2考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1掌握正弦定理和余弦定理的推導(dǎo)方法2通過正、余定理變形技巧實現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，解題過程中做到正余弦定理的優(yōu)化選擇基礎(chǔ)梳理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解決不同的三角形問題2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_

2、B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形為：cos A，cos B，cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R，r.4已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況如已知a，b，A，則A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aabsin Absin Aabababab解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解一條規(guī)律在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，ABabsin Asin B.兩類問題在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)已知

3、兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)已知兩邊及一邊的對角，求其它邊或角情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無解，應(yīng)注意區(qū)分余弦定理可解決兩類問題：(1)已知兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)已知三邊，求各角兩種途徑根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)在ABC中，A60，B75，a10，則c等于()A5 B10 C. D5解析由ABC180，知C45，由正弦定理得：，即.c.答案C2在ABC中，若，則B的值為()A30 B45 C60 D90解析由正弦定理知：，sin Bcos B，B4

4、5.答案B3(2011鄭州聯(lián)考)在ABC中，a，b1，c2，則A等于()A30 B45 C60 D75解析由余弦定理得：cos A，0A，A60.答案C4在ABC中，a3，b2，cos C，則ABC的面積為()A3 B2 C4 D.解析cos C，0C，sin C，SABCabsin C324.答案C5已知ABC三邊滿足a2b2c2ab，則此三角形的最大內(nèi)角為_解析a2b2c2ab，cos C，故C150為三角形的最大內(nèi)角答案150考向一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45.求角A，C和邊c.審題視點 已知兩邊及一邊對角或已知兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解

5、的判斷解由正弦定理得，sin A.ab，A60或A120.當A60時，C180456075，c；當A120時，C1804512015，c. (1)已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應(yīng)引起注意【訓(xùn)練1】 (2011北京)在ABC中，若b5，B，tan A2，則sin A_；a_.解析因為ABC中，tan A2，所以A是銳角，且2，sin2Acos2A1，聯(lián)立解得sin A，再由正弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得a2.答案2考向二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、

6、c分別是角A、B、C的對邊，且.(1)求角B的大??；(2)若b，ac4，求ABC的面積審題視點 由，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.將上式代入得：，整理得：a2c2b2ac.cos B.B為三角形的內(nèi)角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B. (1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點利用余弦定理將角化邊進行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵(2)熟練運用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運用【訓(xùn)練2】 (2011桂林模擬)已知A，B，C

7、為ABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面積解(1)由2cos2 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，則a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，則bc4，故SABCbcsin A.考向三利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，試判斷ABC的形狀審題視點 首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2

8、sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的內(nèi)角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC為等腰三角形或直角三角形 判斷三角形的形狀的基本思想是；利用正、余弦定理進行邊角的統(tǒng)一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系【訓(xùn)練3】 在ABC中，若；則ABC是()A直角三角形 B等邊三角形C鈍角

9、三角形 D等腰直角三角形解析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R為ABC外接圓半徑).即tan Atan Btan C，ABC.答案B考向三正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3】在ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面積等于，求a，b；(2)若sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC的面積審題視點 第(1)問根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理列出關(guān)于a，b的方程，通過方程組求解；第(2)問根據(jù)sin Csin(BA)2sin 2A進行三角恒等變換，將角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系，求出邊a，b的值即可解決問題解(1)由余弦定理及

10、已知條件，得a2b2ab4.又因為ABC的面積等于，所以absin C，得ab4，聯(lián)立方程組解得(2)由題意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.當cos A0，即A時，B，a，b；當cos A0時，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.聯(lián)立方程組解得所以ABC的面積Sa bsin C. 正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對任意三角形都成立，通過這些等式就可以把有限的條件納入到方程中，通過解方程組獲得更多的元素，再通過這些新的條件解決問題【訓(xùn)練3】 (2011北京西城一模)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，

11、c，且cos B，b2.(1)當A30時，求a的值；(2)當ABC的面積為3時，求ac的值解(1)因為cos B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因為ABC的面積Sacsin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.所以ac2.閱卷報告4忽視三角形中的邊角條件致錯【問題診斷】 考查解三角形的題在高考中一般難度不大，但稍不注意，會出現(xiàn)“會而不對，對而不全”的情況，其主要原因就是忽視三角形中的邊角條件.,【防范措施】 解三角函數(shù)的求值問題時，估算是一個重要

12、步驟，估算時應(yīng)考慮三角形中的邊角條件.【示例】(2011安徽)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，a，b，12cos(BC)0，求邊BC上的高錯因忽視三角形中“大邊對大角”的定理，產(chǎn)生了增根實錄由12cos(BC)0，知cos A，A，根據(jù)正弦定理得：sin B，B或.以下解答過程略正解在ABC中，cos(BC)cos A，12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根據(jù)正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A.BC邊上的高為bsin C.【試一試】 (2011遼寧)ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2 Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.嘗試解答(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin Bsin A，所以.(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B0，故cos B，所以B45.9