《【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學一輪復習 第十一篇 計數(shù)原理 第2講　排列與組合教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學一輪復習 第十一篇 計數(shù)原理 第2講　排列與組合教案 理 新人教版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講排列與組合【2013年高考會這樣考】1考查排列組合的概念及其公式的推導2考查排列組合的應用【復習指導】復習時要掌握好基本計算公式和基本解題指導思想，掌握一些排列組合的基本模式題的解決方法，如指標分配問題、均勻分組問題、雙重元素問題、涂色問題、相鄰或不相鄰問題等基礎梳理1排列(1)排列的概念：從n個不同元素中，任取m(mn)個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列(2)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中，任取m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號A表示(3)排列數(shù)公式An(n1)(n2)(nm1

2、)(4)全排列數(shù)公式An(n1)(n2)21n！(叫做n的階乘)2組合(1)組合的定義：一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)用符號C表示(3)組合數(shù)公式C(n，mN*，且mn)特別地C1.(4)組合數(shù)的性質：CC；CCC. 一個區(qū)別排列與組合，排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”取出元素后交換順序，如果與順序有關是排列，如果與順序無關即是組合 兩個公式(1)排列數(shù)公式A(2)組合數(shù)公式C利用這兩個公式可計算排列問題

3、中的排列數(shù)和組合問題中的組合數(shù)解決排列組合問題可遵循“先組合后排列”的原則，區(qū)分排列組合問題主要是判斷“有序”和“無序”，更重要的是弄清怎樣的算法有序，怎樣的算法無序，關鍵是在計算中體現(xiàn)“有序”和“無序”要能夠寫出所有符合條件的排列或組合，盡可能使寫出的排列或組合與計算的排列數(shù)相符，使復雜問題簡單化，這樣既可以加深對問題的理解，檢驗算法的正確與否，又可以對排列數(shù)或組合數(shù)較小的問題的解決起到事半功倍的效果四字口訣求解排列組合問題的思路：“排組分清，加乘明確；有序排列，無序組合；分類相加，分步相乘”雙基自測18名運動員參加男子100米的決賽已知運動場有從內(nèi)到外編號依次為1,2,3,4,5,6,7,

4、8的八條跑道，若指定的3名運動員所在的跑道編號必須是三個連續(xù)數(shù)字(如：4,5,6)，則參加比賽的這8名運動員安排跑道的方式共有()A360種 B4 320種 C720種 D2 160種解析本題考查排列組合知識，可分步完成，先從8個數(shù)字中取出3個連續(xù)的三個數(shù)字共有6種可能，將指定的3名運動員安排在這三個編號的跑道上，最后剩下的5個排在其他的編號的5個跑道上，故共有6AA4 320種方式答案B2以一個正五棱柱的頂點為頂點的四面體共有()A200個 B190個 C185個 D180個解析正五棱柱共有10個頂點，若每四個頂點構成一個四面體，共可構成C210個四面體其中四點在同一平面內(nèi)的有三類：(1)每

5、一底面的五點中選四點的組合方法有2C個(2)五條側棱中的任意兩條棱上的四點有C個(3)一個底面的一邊與另一個底面相應的一條對角線平行(例如ABE1C1)，這樣共面的四點共有2C個所以C2CC2C180(個)，選D.答案D3(2010山東)某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有()A36種 B42種 C48種 D54種解析因為丙必須排在最后一位，因此只需考慮其余五人在前五位上的排法當甲排在第一位時，有A24種排法，當甲排在第二位時，有AA18種排法，所以共有方案241842(種)，故選B

6、.答案B1233122314.如圖，將1,2,3填入33的方格中，要求每行、每列都沒有重復數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有()A6種 B12種C24種 D48種解析只需要填寫第一行第一列，其余即確定了因此共有AA12(種)答案B5某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，又工程丁必須在工程丙完成后立即進行，那么安排這6項工程的不同排法種數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析可將6項工程分別用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相鄰丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五個元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、

7、丙丁共AC20種排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排a、b，共CA20種排法答案20考向一排列問題【例1】六個人按下列要求站成一排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不站在兩端；(2)甲、乙必須相鄰；(3)甲、乙不相鄰；(4)甲、乙之間恰有兩人；(5)甲不站在左端，乙不站在右端；(6)甲、乙、丙三人順序已定審題視點 根據(jù)題目具體要求，選擇恰當?shù)姆椒ǎ缋壏?、插空法等?1)AA480；(2)AA240；(3)AA480；(4)AAA144；(5)A2AA504；(6)A120. 有條件的排列問題大致分四種類型(1)某元素不在某個位置上問題，可從位置考慮用其它元素占上該位置，可考慮該元素的去向(要注

8、意是否是全排列問題)；可間接計算即從排列總數(shù)中減去不符合條件的排列個數(shù)(2)某些元素相鄰，可將這些元素排好看作一個元素(即捆綁法)然后與其它元素排列(3)某些元素互不相鄰，可將其它剩余元素排列，然后用這些元素進行插空(即插空法)(4)某些元素順序一定，可在所有排列位置中取若干個位置，先排上剩余的其它元素，這個元素也就一種排法【訓練1】 用0,1,2,3,4,5六個數(shù)字排成沒有重復數(shù)字的6位數(shù)，分別有多少個？(1)0不在個位；(2)1與2相鄰；(3)1與2不相鄰；(4)0與1之間恰有兩個數(shù)；(5)1不在個位；(6)偶數(shù)數(shù)字從左向右從小到大排列解(1)AA480；(2)AAA192；(3)AAAA

9、A408，(4)AAAAA120；(5)A2AA504；(6)AA60.考向二組合問題【例2】某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災醫(yī)療隊，其中(1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？(2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？(3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？(4)隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？審題視點 “無序問題”用組合，注意分類處理解(1)只需從其他18人中選3人即可，共有C816(種)；(2)只需從其他18人中選5人即可，共有C8 568(種)；(3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有CCC6 936(種)；

10、(4)法一(直接法)：至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外，所以共有CCCCCCCC14 656(種)法二(間接法)：由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得C(CC)14 656(種) 對于有條件的組合問題，可能遇到含某個(些)元素與不含某個(些)元素問題；也可能遇到“至多”或“至少”等組合問題的計算，此類問題要注意分類處理或間接計算，切記不要因為“先取再后取”產(chǎn)生順序造成計算錯誤【訓練2】 甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，(1)甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有多少種？(2)甲、乙所選的課程中至少有一門不相同的選法

11、有多少種？解(1)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，且甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法種數(shù)共有CCC24(種)(2)甲、乙兩人從4門課程中各選兩門不同的選法種數(shù)為CC，又甲乙兩人所選的兩門課程都相同的選法種數(shù)為C種，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為CCC30(種)考向三排列、組合的綜合應用【例3】(1)7個相同的小球，任意放入4個不同的盒子中，試問：每個盒子都不空的放法共有多少種？(2)計算xyz6的正整數(shù)解有多少組；(3)計算xyz6的非負整數(shù)解有多少組審題視點 根據(jù)題目要求分類求解，做到不重不漏解(1)法一先將其中4個相同的小球放入4個盒子中，有1種放法；再將其余3個相同的小球放入4個不同的

12、盒子中，有以下3種情況：某一個盒子放3個小球，就可從這4個不同的盒子中任選一個放入這3個小球，有C種不同的放法；這3個小球分別放入其中的3個盒子中，就相當于從4個不同的盒子中任選3個盒子，分別放入這3個相同的小球，有C種不同放法；這3個小球中有兩個小球放在1個盒子中，另1個小球放在另一個盒子中，從這4個不同的盒子中任選兩個盒子排成一列，有A種不同的方法綜上可知，滿足題設條件的放法為CCA20(種)法二“每個盒子都不空”的含義是“每個盒子中至少有一個小球”，若用“擋板法”，可易得C20.(2)可看做將6個相同小球放入三個不同盒子中，每盒非空有多少種放法轉化為6個0,2個1的排列，要求1不排在兩端

13、且不相鄰，共有C10種排法，因此方程xyz6有10組不同的正整數(shù)解；(3)可看做將6個相同小球放入三個不同的盒子中，轉化為6個0,2個1的排列，共有C28種排法，因此方程xyz6有28組不同的非負整數(shù)解 排列與組合的根本區(qū)別在于是“有序”還是“無序”，對于將若干個相同小球放入幾個不同的盒子中，此類問題可利用“擋板法”求解，實質上是最終轉化為組合問題(2)在計算排列組合問題時，可能會遇到“分組”問題，要特別注意是平均分組還是不平均分組可從排列與組合的關系出發(fā)，用類比的方法去理解分組問題，比如將4個元素分為兩組，若一組一個、一組三個共有CC種不同的分法；而平均分為兩組則有種不同的分法【訓練3】 有

14、6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三組；(2)分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每組都是2本的三組；(4)分給甲、乙、丙三人，每人2本解(1)分三步：先選一本有C種選法；再從余下的5本中選2本有C種選法；對于余下的三本全選有C種選法，由分步乘法計數(shù)原理知有CCC60種選法(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基礎上，還應考慮再分配的問題，因此共有CCCA360種選法(3)先分三步，則應是CCC種選法，但是這里面出現(xiàn)了重復，不妨記6本書為分別A、B、C、D、E、F，若第一步取了(AB，CD，EF)，則CCC種

15、分法中還有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A種情況，而且這A種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此，只算作一種情況，故分配方式有15(種)(4)在問題(3)的基礎上再分配，故分配方式有ACCC90(種)閱卷報告16實際問題意義不清，計算重復、遺漏致誤【問題診斷】 排列組合問題由于其思想方法獨特計算量龐大，對結果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細膩，考慮周全

16、，這樣才能做到不重不漏，正確解題.【防范措施】 “至少、至多型”問題不能利用分步計數(shù)原理求解，多采用分類求解或轉化為它的對立事件求解【示例】 有20個零件，其中16個一等品，4個二等品，若從20個零件中任意取3個，那么至少有1個一等品的不同取法有多少種？錯因第二步若取出一等品則與第一步取出的一等品有了先后順序，從而使取法重復實錄按分步原理，第一步確保1個一等品，有C種取法；第二步從余下的19個零件中任意取2個，有C種不同的取法，故共有CC2 736種取法正解法一將“至少有1個是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個一等品”，“恰有2個一等品”，“恰有3個一等品”，由分類計數(shù)原理有：CCCCC1 136(種)法二考慮其對立事件“3個都是二等品”，用間接法：CC1 136(種)【試一試】 在10名演員中，5人能歌，8人善舞，從中選出5人，使這5人能演出一個由1人獨唱4人伴舞的節(jié)目，共有幾種選法？嘗試解答本題中的“雙面手”有3個，僅能歌的2人，僅善舞的5人把問題分為：(1)獨唱演員從雙面手中選，剩下的2個雙面手和只能善舞的5個演員一起參加伴舞人員的選拔；(2)獨唱演員不從雙面手中選拔，即從只能唱歌的2人中選拔，這樣3個雙面手就可以和只能善舞的5個演員一起參加伴舞人員的選拔故選法種數(shù)是CCCC245.7