《教輔高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點空間幾何體的表面積與體積》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《教輔高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點空間幾何體的表面積與體積（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點十三空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1(2020天津高考)若棱長為2的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A12 B24 C36 D144答案C解析正方體的外接球半徑等于正方體的體對角線長的一半，即外接球半徑R3，所以這個球的表面積為S4R243236.故選C.2.(2020山東濟南6月針對性訓(xùn)練)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切若O1O22，則圓柱O1O2的表面積為()A4 B5C6 D答案C解析因為該球與圓柱的上、下底面，母線均相切，不妨設(shè)圓柱的底面半徑為r，故2rO1O22，解得r1.故該圓柱的表面積為2r22rO1O2246.故選C

2、.3(2020山東聊城三模)最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的數(shù)書九章(1247年)該書第二章為“天時類”，收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子，分別是“天池測雨”“圓罌測雨”“峻積驗雪”和“竹器驗雪”其中“天池測雨”法是下雨時用一個圓臺形的天池盆收集雨水已知天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸當(dāng)盆中積水深九寸(注：1尺10寸)時，平地降雨量是()A9寸 B7寸 C8寸 D3寸答案D解析由已知，得天池盆盆口的半徑為14寸，盆底的半徑為6寸，則盆口的面積為196平方寸，盆底的面積為36平方寸又盆高18寸，積水深9寸，則積水的水面半徑為10(寸)，積水的水面面積為100平方

3、寸，積水的體積為V(36100)9588(立方寸)，所以平地降雨量為3(寸)4(2020山東德州高三4月模擬)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，SA平面ABC，SA2，AB1，AC2，BAC，則球O的體積為()A. B C4 D答案B解析根據(jù)余弦定理，BC2AC2AB22ABACcosBAC3，故BC.根據(jù)正弦定理，2r2，故r1(r為ABC外接圓半徑)，設(shè)R為三棱錐SABC外接球的半徑，則R2r222，故R，故VR3.故選B.5如圖，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EFba，若Q是A1D1上的定點，P在C1D1上滑動，則四面體PQEF的體

4、積()A是變量且有最大值B是變量且有最小值C是變量無最大、最小值D是常量答案D解析EF是定長，Q到EF的距離就是Q到AB的距離，也為定長，即QEF的底和高都是定值，QEF的面積是定值，C1D1平面QEF，P在C1D1上滑動，P到平面QEF的距離是定值即三棱錐PQEF的高也是定值，于是體積固定三棱錐PQEF的體積是定值，即四面體PQEF的體積是定值6(2020全國卷)已知A，B，C為球O的球面上的三個點，O1為ABC的外接圓，若O1的面積為4，ABBCACOO1，則球O的表面積為()A64 B48 C36 D32答案A解析設(shè)圓O1的半徑為r，球的半徑為R，依題意，得r24，r2.由正弦定理可得2

5、r，AB2rsin602.OO1AB2.根據(jù)球中圓截面的性質(zhì)得OO1平面ABC，OO1O1A，ROA4，球O的表面積S4R264.故選A.7(多選)已知正方體的外接球與內(nèi)切球上各有一個動點M，N，若線段MN的最小值為1，則()A正方體的外接球的表面積為12B正方體的內(nèi)切球的體積為C正方體的棱長為2D線段MN的最大值為2答案ABC解析設(shè)正方體的棱長為a，則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半，即a；內(nèi)切球的半徑為棱長的一半，即.M，N分別為外接球和內(nèi)切球上的動點，MNminaa1，解得a2，即正方體的棱長為2，C正確；正方體的外接球的表面積為4()212，A正確；正方體的內(nèi)切球的體積為，B正確；

6、線段MN的最大值為a1，D錯誤故選ABC.8(多選)若正三棱柱ABCABC的所有棱長都為3，外接球的球心為O，則下列四個結(jié)論正確的是()A其外接球的表面積為21B直線AB與直線BC所成的角為CAOBCD三棱錐OABC的體積為答案ACD解析如圖，球心O到下底面的距離OO，AO3，所以其外接球的半徑R，所以其外接球的表面積為4R221，A正確；直線AB與直線BC所成的角即直線AB與直線BC所成的角，設(shè)其為，在ABC中，cos，故B錯誤；由OO平面ABC，得OOBC，O為ABC的重心，則AOBC，故BC平面AOO，即BCAO，故AOBC，C正確；根據(jù)三棱錐的體積公式可得VOABC，D正確二、填空題9

7、(2020浙江高考)已知圓錐展開圖的側(cè)面積為2，且為半圓，則底面半徑為_答案1解析設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，則解得r1，l2.10學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為圓錐底部挖去一個正方體后的剩余部分(正方體四個頂點在圓錐母線上，四個頂點在圓錐底面上)，圓錐底面直徑為10 cm，高為10 cm，打印所用原料密度為0.9 g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_ g(取3.14)答案358.5解析設(shè)被挖去的正方體的棱長為x cm，圓錐底面半徑為r cm，高為h cm，則，即，解得x5，所以制作該模型所需材料質(zhì)量約為mV0.90.350100.9125

8、358.5 g.11(2020山東泰安二輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測)已知A，B是球O的球面上兩點，AOB90，C為該球面上的動點，若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為_答案144解析如圖所示，當(dāng)點C位于垂直于面AOB的直徑的端點時，三棱錐的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時VOABCVCAOBR2RR336，故R6，則球O的表面積為S4R2144.12.(2020山東聊城一模)點M，N分別為三棱柱ABCA1B1C1的棱BC，BB1的中點，設(shè)A1MN的面積為S1，平面A1MN截三棱柱ABCA1B1C1所得截面的面積為S，五棱錐A1CC1B1NM的體積為V1，三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，

9、則_，_.答案解析如圖所示，延長NM交直線C1C于點P，連接PA1交AC于點Q，連接QM.平面A1MN截三棱柱ABCA1B1C1所得截面為四邊形A1NMQ.BB1CC1，M為BC的中點，則PCMNBM.點M為PN的中點A1MN的面積S1SA1NP，QCA1C1，A1QM的面積SA1PM，.BMN的面積S四邊形B1C1CB，五棱錐A1CC1B1NM的體積為V1V四棱錐A1B1C1CB，而四棱錐A1B1C1CB的體積V，.三、解答題13如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且底面是邊長為2的正三角形，AA13，點D，E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點(1)證明：平面BEF平面DA1C1；(

10、2)求三棱柱ABCA1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間部分的體積解(1)證明：E，F(xiàn)分別是A1B1和B1C1的中點，EFA1C1，EF平面DA1C1，A1C1平面DA1C1，EF平面DA1C1，D，E分別是AB和A1B1的中點，DB綊A1E，四邊形BDA1E是平行四邊形，BEA1D，BE平面DA1C1，A1D平面DA1C1，BE平面DA1C1，BEEFE，平面BEF平面DA1C1.(2)由題圖可知，三棱柱ABCA1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間的部分，可看作三棱臺DBGA1B1C1減掉三棱錐BB1EF后的剩余部分，SDBGSB1EF12，SA1B1C122，三棱臺DBGA

11、1B1C1的體積為V13，三棱錐BB1EF的體積V23，三棱柱ABCA1B1C1夾在平面BEF和平面DA1C1之間部分的體積為VV1V2.14.如圖，已知棱錐SABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，BAD60，SASD，SB，點E是棱AD的中點，點F在棱SC上，且，SA平面BEF.(1)求實數(shù)的值；(2)求三棱錐FEBC的體積解(1)連接AC，設(shè)ACBEG，則平面SAC平面EFBFG，SA平面EFB，SAFG，GEAGBC，.SFSC，.(2)SASD，SEAD，SE2，又ABAD2，BAD60，BE，SE2BE2SB2.SEBE，SE平面ABCD，VFEBCVSEBCVSABCD22si

12、n602.一、選擇題1.(2020山東臨沂一模)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中商功有如下問題：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，問積及為粟幾何？”意思是“有粟若干，堆積在平地上，它底圓周長為12丈，高為1丈，問它的體積和粟各為多少？”如圖，主人意欲賣掉該堆粟，已知圓周率約為3，一斛粟的體積約為2700立方寸(單位換算：1立方丈106立方寸)，一斛粟米賣270錢，一兩銀子1000錢，則主人賣后可得銀子()A200兩 B240兩 C360兩 D400兩答案D解析該堆粟的底面半徑為r2，體積V32214立方丈4106立方寸斛，故主人賣后可得銀子2701000400兩故選D.2(2

13、020海口市高考模擬演練)一個底面邊長為3的正三棱錐的體積與表面積為24的正方體的體積相等，則該正三棱錐的高為()A12 B C D12答案C解析因為正方體的表面積為24，所以其棱長為2，體積為238.設(shè)正三棱錐的高為h，因為正三棱錐的體積與正方體的體積相等，所以33h8，解得h.3.(2020海南中學(xué)高三摸底)已知一個凸多面體共有9個面，所有棱長均為1，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積V()A1 B1 C D1答案A解析根據(jù)平面展開圖，還原幾何體如右圖所示，故該幾何體是由棱長為1的正方體和底邊棱長為1的正四棱錐組合而成則其體積V13111.故選A.4(2020海南高考調(diào)研測試)張衡是

14、中國東漢時期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五已知三棱錐ABCD的每個頂點都在球O的球面上，AB底面BCD，BCCD，且ABCD，BC2，利用張衡的結(jié)論可得球O的表面積為()A30 B10 C33 D12答案B解析因為BCCD，所以BD，又AB底面BCD，所以球O的球心為側(cè)棱AD的中點，從而球O的直徑為.利用張衡的結(jié)論可得，則，所以球O的表面積為421010.故選B.5(2020山東青島三模)在三棱柱ABCA1B1C1中，ABBCAC，側(cè)棱AA1底面ABC，若該三棱柱的所有頂點都在同一個球O的表面上，且球O的表面積的最小值為4，則該三棱柱的側(cè)面積為()A6 B3

15、 C3 D3答案B解析如圖，設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為O1，O2，則O1O2的中點為O，設(shè)球O的半徑為R，則OAR，設(shè)ABBCACa，AA1h，則OO2h，O2AABa，則在RtOO2A中，R2OA2OOO2A2h2a22haah，當(dāng)且僅當(dāng)ha時，等號成立，所以S球4R24ah，所以ah4，所以ah，所以該三棱柱的側(cè)面積為3ah3.故選B.6(2020山東安丘模擬)唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝. 它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如圖2所示，已知球的半徑為R，酒杯內(nèi)壁表面積為R2.設(shè)

16、酒杯上部分(圓柱)的體積為V1，下部分(半球)的體積為V2，則()A2 B C1 D答案A解析由球的半徑為R，得半球表面積為2R2，又酒杯內(nèi)壁表面積為R2，圓柱的側(cè)面積為R2.設(shè)圓柱的高為h，則2RhR2，即hR.V1R2RR3，V2R3.2.故選A.7(多選)沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8 cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的(細管長度忽略不計)假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，且細

17、沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則以下結(jié)論正確的是(3.14)()A沙漏中細沙的體積為 cm3B沙漏的體積是128 cm3C細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4 cmD該沙漏的一個沙時大約是1985秒答案ACD解析對于A，根據(jù)圓錐的截面圖可知，細沙在上部時，細沙的底面半徑與圓錐的底面半徑之比等于細沙的高與圓錐的高之比，所以細沙的底面半徑r4 cm，所以沙漏中細沙的體積V沙r2 cm3，A正確；對于B，沙漏的體積V漏22h2428 cm3，B錯誤；對于C，設(shè)細沙全部漏入下部后的高度為h1，根據(jù)細沙體積不變可知，2h1，所以h1，所以h12.4 cm，C正確；對于D

18、，因為細沙的體積為 cm3，沙漏每秒鐘漏下0.02 cm3的沙，所以一個沙時為501985秒，D正確故選ACD.8.(多選)(2020山東青島一模)已知四棱臺ABCDA1B1C1D1的上、下底面均為正方形，其中AB2，A1B1，AA1BB1CC12，則下述正確的是()A該四棱臺的高為BAA1CC1C該四棱臺的表面積為26D該四棱臺外接球的表面積為16答案AD解析由題意可得該四棱臺為正四棱臺由棱臺的性質(zhì)，畫出切割前的四棱錐，如圖，由AB2，A1B1可知SA1B1與SAB的相似比為12，所以SA2AA14，AO2，所以SO2，所以O(shè)O1，故該四棱臺的高為，A正確；因為SASCAC4，所以AA1與C

19、C1的夾角為60，不垂直，B錯誤；該四棱臺的表面積為SS上底S下底S側(cè)284106，C錯誤；易知該四棱臺外接球的球心在OO1上，在平面B1BOO1中，由于OO1，B1O11，則OB12OB，即點O到點B與點B1的距離相等，則該四棱臺外接球的半徑rOB2，該四棱臺外接球的表面積為16，D正確，故選AD.二、填空題9已知圓柱的底面半徑為1，母線長為2，則該圓柱的側(cè)面積等于_答案4解析圓柱的底面半徑為r1，母線長為l2，其側(cè)面積為S2rl2124.10.(2020江蘇高考)如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm

20、，則此六角螺帽毛坯的體積是_cm3.答案12解析正六棱柱體積為622212 cm3，挖去的圓柱體積為22 cm3，故此六角螺帽毛坯的體積為 cm3.11(2020江蘇南京金陵中學(xué)、南通海安高級中學(xué)、南京外國語學(xué)校第四次模擬)設(shè)棱長為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若，則的值為_答案解析不妨設(shè)V127，V29，故V1a327，所以a3，所以S16a254.如圖所示，因為V2hr2r39，所以r3，又lr，所以S2l2rr29，所以.12(2020山東濰坊高密二模)在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，AP2，點M是矩形ABCD內(nèi)

21、(含邊界)的動點，且AB1，AD3，直線PM與平面ABCD所成的角為.記點M的軌跡長度為，則tan_；當(dāng)三棱錐PABM的體積最小時，三棱錐PABM的外接球的表面積為_答案8解析如圖，因為PA平面ABCD，垂足為A，則PMA為直線PM與平面ABCD所成的角，所以PMA.因為AP2，所以AM2，所以點M位于底面矩形ABCD內(nèi)的以點A為圓心，2為半徑的圓上，記點M的軌跡為圓弧.連接AF，則AF2.因為AB1，AD3，所以AFBFAE，則的長度2，所以tan.當(dāng)點M位于點F時，三棱錐PABM的體積最小，又PAFPBF，所以三棱錐PABM的外接球的球心為PF的中點因為PF2，所以三棱錐PABM的外接球的

22、表面積S4()28.三、解答題13如圖1，在菱形ABCD中，AB2，DAB60，M是AD的中點，以BM為折痕，將ABM折起，使點A到達點A1的位置，且平面A1BM平面BCDM，如圖2.(1)求證：A1MBD；(2)若K為A1C的中點，求四面體MA1BK的體積解(1)證明：在圖1中，連接BD(如圖a)，四邊形ABCD是菱形，DAB60，M是AD的中點，ADBM，故在圖2中，BMA1M，平面A1BM平面BCDM，平面A1BM平面BCDMBM，A1M平面BCDM，又BD平面BCDM，A1MBD.(2)在圖1中，四邊形ABCD是菱形，ADBM，ADBC，BMBC，且BM，在圖2中，連接CM(如圖b)，則VA1BCMSBCMA1M21，K為A1C的中點，VMA1BKVKMA1BVCMA1BVA1BCM.四面體MA1BK的體積為.