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1、2010-2011年高三畢業(yè)班數(shù)學課本知識點整理歸納之十第十章 直線與圓的方程一、基礎(chǔ)知識1解析幾何的研究對象是曲線與方程。解析法的實質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何.首先是通過映射建立曲線與方程的關(guān)系，即如果一條曲線上的點構(gòu)成的集合與一個方程的解集之間存在一一映射，則方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。如x2+y2=1是以原點為圓心的單位圓的方程。2求曲線方程的一般步驟：(1)建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?2)寫出滿足條件的點的集合；(3)用坐標表示條件，列出方程；(4)化簡方程并確定未知數(shù)的取值范圍；（5）證明適合方程的解的對應(yīng)點都在曲線上，且曲線上對應(yīng)點都滿足方程（實際應(yīng)用常省略這一步）。

2、3直線的傾斜角和斜率：直線向上的方向與x軸正方向所成的小于1800的正角，叫做它的傾斜角。規(guī)定平行于x軸的直線的傾斜角為00，傾斜角的正切值（如果存在的話）叫做該直線的斜率。根據(jù)直線上一點及斜率可求直線方程。4直線方程的幾種形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）點斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）兩點式：；（6）法線式方程：xcos+ysin=p（其中為法線傾斜角，|p|為原點到直線的距離）；（7）參數(shù)式：（其中為該直線傾斜角），t的幾何意義是定點P0（x0, y0）到動點P（x, y）的有向線段的數(shù)量（線段的長度前添加正負號，若P0P方

3、向向上則取正，否則取負）。5到角與夾角：若直線l1, l2的斜率分別為k1, k2，將l1繞它們的交點逆時針旋轉(zhuǎn)到與l2重合所轉(zhuǎn)過的最小正角叫l(wèi)1到l2的角；l1與l2所成的角中不超過900的正角叫兩者的夾角。若記到角為，夾角為，則tan=,tan=.6平行與垂直：若直線l1與l2的斜率分別為k1, k2。且兩者不重合，則l1/l2的充要條件是k1=k2；l1l2的充要條件是k1k2=-1。7兩點P1(x1, y1)與P2(x2, y2)間的距離公式：|P1P2|=。8點P(x0, y0)到直線l: Ax+By+C=0的距離公式：。9直線系的方程：若已知兩直線的方程是l1：A1x+B1y+C1

4、=0與l2：A2x+B2y+C2=0，則過l1, l2交點的直線方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2=0；由l1與l2組成的二次曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；與l2平行的直線方程為A1x+B1y+C=0().10二元一次不等式表示的平面區(qū)域，若直線l方程為Ax+By+C=0. 若B0，則Ax+By+C0表示的區(qū)域為l上方的部分，Ax+By+C0)。其圓心為，半徑為。若點P(x0, y0)為圓上一點，則過點P的切線方程為 14根軸：到兩圓的切線長相等的點的軌跡為一條直線（或它的一部分），這條直線叫兩圓的根軸。給定如下三個不同的圓：x2+y2+Dix

5、+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 則它們兩兩的根軸方程分別為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不難證明這三條直線交于一點或者互相平行，這就是著名的蒙日定理。二、方法與例題1坐標系的選取：建立坐標系應(yīng)講究簡單、對稱，以便使方程容易化簡。例1 在ABC中，AB=AC，A=900，過A引中線BD的垂線與BC交于點E，求證：ADB=CDE。證明 見圖10-1，以A為原點，AC所在直線為x軸，建立直角坐標系。設(shè)點B，C坐標分別為（0,2a）,(2a,0)，則

6、點D坐標為（a, 0）。直線BD方程為， 直線BC方程為x+y=2a， 設(shè)直線BD和AE的斜率分別為k1, k2，則k1=-2。因為BDAE，所以k1k2=-1.所以，所以直線AE方程為，由解得點E坐標為。所以直線DE斜率為因為k1+k3=0.所以BDC+EDC=1800，即BDA=EDC。例2 半徑等于某個正三角形高的圓在這個三角形的一條邊上滾動。證明：三角形另兩條邊截圓所得的弧所對的圓心角為600。證明 以A為原點，平行于正三角形ABC的邊BC的直線為x軸，建立直角坐標系見圖10-2，設(shè)D的半徑等于BC邊上的高，并且在B能上能下滾動到某位置時與AB，AC的交點分別為E，F(xiàn)，設(shè)半徑為r，則直

7、線AB，AC的方程分別為,.設(shè)D的方程為(x-m)2+y2=r2.設(shè)點E，F(xiàn)的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2)，則，分別代入并消去y得所以x1, x2是方程4x2-2mx+m2-r2=0的兩根。由韋達定理，所以|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2=4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.所以|EF|=r。所以EDF=600。2到角公式的使用。例3 設(shè)雙曲線xy=1的兩支為C1，C2，正PQR三頂點在此雙曲線上，求證：P，Q，R不可能在雙曲線的同一支上。證明 假設(shè)P，Q，R在同一支上，不妨設(shè)在右側(cè)一支C1上，并設(shè)P，Q，

8、R三點的坐標分別為且0x1x2-1，在（1）區(qū)域里，求函數(shù)f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。解 （1）由已知得或解得點(x, y)所在的平面區(qū)域如圖10-4所示，其中各直線方程如圖所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.(2) f(x, y)是直線l: y-ax=k在y軸上的截距，直線l與陰影相交，因為a-1，所以它過頂點C時，f(x, y)最大，C點坐標為（-3，7），于是f(x, y)的最大值為3a+7. 如果-12，則l通過B（3，1）時，f(x, y)取最小值為-3a+1.6參數(shù)方程的應(yīng)用。例7 如圖10-5所示，過原點引直線交圓x2+

9、(y-1)2=1于Q點，在該直線上取P點，使P到直線y=2的距離等于|PQ|，求P點的軌跡方程。解 設(shè)直線OP的參數(shù)方程為（t參數(shù)）。代入已知圓的方程得t2-t2sin=0.所以t=0或t=2sin。所以|OQ|=2|sin|，而|OP|=t.所以|PQ|=|t-2sin|，而|PM|=|2-tsin|.所以|t-2sin|=|2-tsin|. 化簡得t=2或t=-2或sin=-1.當t=2時，軌跡方程為x2+y2=4；當sin=1時，軌跡方程為x=0.7與圓有關(guān)的問題。例8 點A，B，C依次在直線l上，且AB=ABC，過C作l的垂線，M是這條垂線上的動點，以A為圓心，AB為半徑作圓，MT1與

10、MT2是這個圓的切線，確定AT1T2垂心 的軌跡。解 見圖10-6，以A為原點，直線AB為x軸建立坐標系，H為OM與圓的交點，N為T1T2與OM的交點，記BC=1。以A為圓心的圓方程為x2+y2=16，連結(jié)OT1，OT2。因為OT2MT2，T1HMT2，所以O(shè)T2/HT1，同理OT1/HT2，又OT1=OT2，所以O(shè)T1HT2是菱形。所以2ON=OH。又因為OMT1T2，OT1MT1，所以O(shè)NOM。設(shè)點H坐標為（x,y）。點M坐標為(5, b)，則點N坐標為，將坐標代入=ONOM，再由得在AB上取點K，使AK=AB，所求軌跡是以K為圓心，AK為半徑的圓。例9 已知圓x2+y2=1和直線y=2x

11、+m相交于A，B，且OA，OB與x軸正方向所成的角是和，見圖10-7，求證：sin(+)是定值。證明 過D作ODAB于D。則直線OD的傾斜角為，因為ODAB，所以2,所以。所以例10 已知O是單位圓，正方形ABCD的一邊AB是O的弦，試確定|OD|的最大值、最小值。解 以單位圓的圓心為原點，AB的中垂線為x軸建立直角坐標系，設(shè)點A，B的坐標分別為A(cos,sin),B(cos,-sin)，由題設(shè)|AD|=|AB|=2sin，這里不妨設(shè)A在x軸上方，則(0,).由對稱性可設(shè)點D在點A的右側(cè)（否則將整個圖形關(guān)于y軸作對稱即可），從而點D坐標為(cos+2sin,sin)，所以|OD|=因為，所以

12、當時，|OD|max=+1；當時，|OD|min=例11 當m變化且m0時，求證：圓(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圓心在一條定直線上，并求這一系列圓的公切線的方程。證明 由消去m得a-2b+1=0.故這些圓的圓心在直線x-2y+1=0上。設(shè)公切線方程為y=kx+b，則由相切有2|m|=，對一切m0成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0對一切m0成立所以即當k不存在時直線為x=1。所以公切線方程y=和x=1.三、基礎(chǔ)訓練題1已知兩點A(-3,4)和B(3,2)，過點P(2,-1)的直線與線段AB有公共點，則該直線的傾斜角的取值范圍是_.2

13、已知0,，則的取值范圍是_.3三條直線2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0圍成一個三角形，當點P(x, y)在此三角形邊上或內(nèi)部運動時，2x+y的取值范圍是_.4若三條直線4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能圍成三角形，則m的范圍是_.5若R。直線(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0與點P(-2,2)的距離為d，比較大小：d_.6一圓經(jīng)過A(4,2), B(-1,3)兩點，且在兩個坐標軸上的 四個截距的和為14，則此圓的方程為_.7自點A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，則光線l所在的

14、方程為_.8D2=4F且E0是圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切的_條件.9方程|x|-1=表示的曲線是_.10已知點M到點A（1，0），B（a,2）及到y(tǒng)軸的距離都相等，若這樣的點M恰好有一個，則a可能值的個數(shù)為_.11已知函數(shù)S=x+y，變量x, y滿足條件y2-2x0和2x+y2，試求S的最大值和最小值。12A，B是x軸正半軸上兩點，OA=a，OB=b(a0,N=(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a0.MN，a的最大值與最小值的和是_.6圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0交于P，Q兩點，O為原點，OPOQ，則m=_.7已知對于圓x2+(y-1)2=1上

15、任意一點P(x,y)，使x+y+m0恒成立，m范圍是_.8當a為不等于1的任何實數(shù)時，圓x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0均與直線l相切，則直線l的方程為_.9在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差數(shù)列，那么直線xsin2A+ysinA=a與直線xsin2B+ysinC=c的位置關(guān)系是_.10設(shè)A=(x,y)|0x2,0y2,B=(x,y)|x10,y2,yx-4是坐標平面xOy上的點集，C=所圍成圖形的面積是_.11求圓C1：x2+y2+2x+6y+9=0與圓C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切線方程。12設(shè)

16、集合L=直線l與直線y=2x相交，且以交點的橫坐標為斜率。（1）點(-2,2)到L中的哪條直線的距離最?。浚?）設(shè)aR+，點P(-2, a)到L中的直線的距離的最小值設(shè)為dmin，求dmin的表達式。13已知圓C：x2+y2-6x-8y=0和x軸交于原點O和定點A，點B是動點，且OBA=900，OB交C于M，AB交C于N。求MN的中點P的軌跡。五、聯(lián)賽一試水平訓練題1在直角坐標系中縱橫坐標都是有理數(shù)的點稱為有理點。若a為無理數(shù)，過點(a,0)的所有直線中，每條直線上至少存在兩個有理點的直線有_條。2等腰ABC的底邊BC在直線x+y=0上，頂點A(2,3)，如果它的一腰平行于直線x-4y+2=0

17、，則另一腰AC所在的直線方程為_.3若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示條互相垂直的直線，則m=_.4直線x+7y-5=0分圓x2+y2=1所成的兩部分弧長之差的絕對值是_.5直線y=kx-1與曲線y=有交點，則k的取值范圍是_.6經(jīng)過點A(0,5)且與直線x-2y=0, 2x+y=0都相切的圓方程為_.7在直角坐標平面上，同時滿足條件：y3x, yx, x+y100的整點個數(shù)是_.8平面上的整點到直線的距離中的最小值是_.9y=lg(10-mx2)的定義域為R，直線y=xsin(arctanm)+10的傾斜角為_.10已知f(x)=x2-6

18、x+5，滿足的點(x,y)構(gòu)成圖形的面積為_.11已知在ABC邊上作勻速運動的點D，E，F(xiàn)，在t=0時分別從A，B，C出發(fā)，各以一定速度向B，C，A前進，當時刻t=1時，分別到達B，C，A。（1）證明：運動過程中DEF的重心不變；（2）當DEF面積取得最小值時，其值是ABC面積的多少倍？12已知矩形ABCD，點C(4,4)，點A在圓O：x2+y2=9(x0,y0)上移動，且AB，AD兩邊始終分別平行于x軸、y軸。求矩形ABCD面積的最小值，以及取得最小值時點A的坐標。13已知直線l: y=x+b和圓C：x2+y2+2y=0相交于不同兩點A，B，點P在直線l上，且滿足|PA|PB|=2,當b變化

19、時，求點P的軌跡方程。六、聯(lián)賽二試水平訓練題1設(shè)點P(x,y)為曲線|5x+y|+|5x-y|=20上任意一點，求x2-xy+y2的最大值、最小值。2給定矩形（長為b，寬為a），矩形（長為c、寬為d），其中adcb，求證：矩形能夠放入矩形的充要條件是：(ac-bd)2+(ad-bc)2(a2-b2)2.3在直角坐標平面內(nèi)給定凸五邊形ABCDE，它的頂點都是整點，求證：見圖10-8，A1，B1，C1，D1，E1構(gòu)成的凸五邊形內(nèi)部或邊界上至少有一個整點。4在坐標平面上，縱橫坐標都是整數(shù)的點稱為整點，試證：存在一個同心圓的集合，使得：（1）每個整點都在此集合的某一圓周上；（2）此集合的每個圓周上，有

20、且只有一個整點。5在坐標平面上，是否存在一個含有無窮多條直線l1,l2,，ln，的直線族，它滿足條件：（1）點（1,1）ln,n=1,2,3,；（2）kn+1an-bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，n=1,2,3,；（3）knkn+10, n=1,2,3,.并證明你的結(jié)論。6在坐標平面內(nèi)，一圓交x軸正半徑于R，S，過原點的直線l1,l2都與此圓相交，l1交圓于A，B，l2交圓于D，C，直線AC，BD分別交x軸正半軸于P，Q，求證：2010-2011年高三畢業(yè)班數(shù)學課本知識點整理歸納之十八第十八章 組合一、方法與例題1抽屜原理。例1 設(shè)整數(shù)n4,a1,

21、a2,an是區(qū)間(0,2n)內(nèi)n個不同的整數(shù)，證明：存在集合a1,a2,an的一個子集，它的所有元素之和能被2n整除。證明 （1）若na1,a2,an,則n個不同的數(shù)屬于n-1個集合1,2n-1，2,2n-2,n-1,n+1。由抽屜原理知其中必存在兩個數(shù)ai,aj(ij)屬于同一集合，從而ai+aj=2n被2n整除；（2）若na1,a2,an，不妨設(shè)an=n，從a1,a2,an-1(n-13)中任意取3個數(shù)ai, aj, ak(ai,aj0)不被n整除，考慮n個數(shù)a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+an-1。）若這n個數(shù)中有一個被n整除，設(shè)此數(shù)等于kn，若k為偶數(shù)，則結(jié)論成立

22、；若k為奇數(shù)，則加上an=n知結(jié)論成立。）若這n個數(shù)中沒有一個被n整除，則它們除以n的余數(shù)只能取1,2,n-1這n-1個值，由抽屜原理知其中必有兩個數(shù)除以n的余數(shù)相同，它們之差被n整除，而a2-a1不被n整除，故這個差必為ai, aj, ak-1中若干個數(shù)之和，同）可知結(jié)論成立。2極端原理。例2 在nn的方格表的每個小方格內(nèi)寫有一個非負整數(shù)，并且在某一行和某一列的交叉點處如果寫有0，那么該行與該列所填的所有數(shù)之和不小于n。證明：表中所有數(shù)之和不小于。證明 計算各行的和、各列的和，這2n個和中必有最小的，不妨設(shè)第m行的和最小，記和為k，則該行中至少有n-k個0，這n-k個0所在的各列的和都不小于

23、n-k，從而這n-k列的數(shù)的總和不小于(n-k)2，其余各列的數(shù)的總和不小于k2，從而表中所有數(shù)的總和不小于(n-k)2+k23.不變量原理。俗話說，變化的是現(xiàn)象，不變的是本質(zhì)，某一事情反復地進行，尋找不變量是一種策略。例3 設(shè)正整數(shù)n是奇數(shù)，在黑板上寫下數(shù)1，2，2n，然后取其中任意兩個數(shù)a,b,擦去這兩個數(shù)，并寫上|a-b|。證明：最后留下的是一個奇數(shù)。證明 設(shè)S是黑板上所有數(shù)的和，開始時和數(shù)是S=1+2+2n=n(2n+1)，這是一個奇數(shù)，因為|a-b|與a+b有相同的奇偶性，故整個變化過程中S的奇偶性不變，故最后結(jié)果為奇數(shù)。例4 數(shù)a1, a2,an中每一個是1或-1，并且有S=a1a

24、2a3a4+ a2a3a4a5+ana1a2a3=0. 證明：4|n.證明 如果把a1, a2,an中任意一個ai換成-ai，因為有4個循環(huán)相鄰的項都改變符號，S模4并不改變，開始時S=0，即S0，即S0(mod4)。經(jīng)有限次變號可將每個ai都變成1，而始終有S0(mod4)，從而有n0(mod4)，所以4|n。4構(gòu)造法。例5 是否存在一個無窮正整數(shù)數(shù)列a1,a2a3，使得對任意整數(shù)A，數(shù)列中僅有有限個素數(shù)。證明 存在。取an=(n!)3即可。當A=0時，an中沒有素數(shù)；當|A|2時，若n|A|，則an+A均為|A|的倍數(shù)且大于|A|，不可能為素數(shù)；當A=1時，an1=(n!1)(n!)2n!

25、+1，當3時均為合數(shù)。從而當A為整數(shù)時，(n!)3+A中只有有限個素數(shù)。例6 一個多面體共有偶數(shù)條棱，試證：可以在它的每條棱上標上一個箭頭，使得對每個頂點，指向它的箭頭數(shù)目是偶數(shù)。證明 首先任意給每條棱一個箭頭，如果此時對每個頂點，指向它的箭頭數(shù)均為偶數(shù)，則命題成立。若有某個頂點A，指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù)，則必存在另一個頂點B，指向它的箭頭數(shù)也為奇數(shù)（因為棱總數(shù)為偶數(shù)），對于頂點A與B，總有一條由棱組成的“路徑”連結(jié)它們，對該路徑上的每條棱，改變它們箭頭的方向，于是對于該路徑上除A，B外的每個頂點，指向它的箭頭數(shù)的奇偶性不變，而對頂點A，B，指向它的箭頭數(shù)變成了偶數(shù)。如果這時仍有頂點，指向它的箭

26、頭數(shù)為奇數(shù)，那么重復上述做法，又可以減少兩個這樣的頂點，由于多面體頂點數(shù)有限，經(jīng)過有限次調(diào)整，總能使和是對每個頂點，指向它的箭頭數(shù)為偶數(shù)。命題成立。5染色法。例7 能否在55方格表內(nèi)找到一條線路，它由某格中心出發(fā)，經(jīng)過每個方格恰好一次，再回到出發(fā)點，并且途中不經(jīng)過任何方格的頂點？解 不可能。將方格表黑白相間染色，不妨設(shè)黑格為13個，白格為12個，如果能實現(xiàn)，因黑白格交替出現(xiàn)，黑白格數(shù)目應(yīng)相等，得出矛盾，故不可能。6凸包的使用。給定平面點集A，能蓋住A的最小的凸圖形，稱為A的凸包。例8 試證：任何不自交的五邊形都位于它的某條邊的同一側(cè)。證明 五邊形的凸五包是凸五邊形、凸四邊形或者是三角形，凸包的

27、頂點中至少有3點是原五邊形的頂點。五邊形共有5個頂點，故3個頂點中必有兩點是相鄰頂點。連結(jié)這兩點的邊即為所求。7賦值方法。例9 由22的方格紙去掉一個方格余下的圖形稱為拐形，用這種拐形去覆蓋57的方格板，每個拐形恰覆蓋3個方格，可以重疊但不能超出方格板的邊界，問：能否使方格板上每個方格被覆蓋的層數(shù)都相同？說明理由。解 將57方格板的每一個小方格內(nèi)填寫數(shù)-2和1。如圖18-1所示，每個拐形覆蓋的三個數(shù)之和為非負。因而無論用多少個拐形覆蓋多少次，蓋住的所有數(shù)字之和都是非負的。另一方面，方格板上數(shù)字的總和為12(-2)+231=-1，當被覆蓋K層時，蓋住的數(shù)字之和等于-K，這表明不存在滿足題中要求的

28、覆蓋。-21-21-21-21111111-21-21-21-21111111-21-21-21-28圖論方法。例10 生產(chǎn)由六種顏色的紗線織成的雙色布，在所生產(chǎn)的雙色布中，每種顏色的紗線至少與其他三種顏色的紗線搭配過。證明：可以挑出三種不同的雙色布，它們包含所有的顏色。證明 用點A1，A2，A3，A4，A5，A6表示六種顏色，若兩種顏色的線搭配過，則在相應(yīng)的兩點之間連一條邊。由已知，每個頂點至少連出三條邊。命題等價于由這些邊和點構(gòu)成的圖中有三條邊兩兩不相鄰（即無公共頂點）。因為每個頂點的次數(shù)3，所以可以找到兩條邊不相鄰，設(shè)為A1A2，A3A4。（1）若A5與A6連有一條邊，則A1A2，A3A

29、4，A5A6對應(yīng)的三種雙色布滿足要求。（2）若A5與A6之間沒有邊相連，不妨設(shè)A5和A1相連，A2與A3相連，若A4和A6相連，則A1A2，A3A4，A5A6對應(yīng)的雙色布滿足要求；若A4與A6不相連，則A6與A1相連，A2與A3相連，A1A5，A2A6，A3A4對應(yīng)的雙色布滿足要求。綜上，命題得證。二、習題精選1藥房里有若干種藥，其中一部分藥是烈性的。藥劑師用這些藥配成68副藥方，每副藥方中恰有5種藥，其中至少有一種是烈性的，并且使得任選3種藥恰有一副藥方包含它們。試問：全部藥方中是否一定有一副藥方至少含有4種烈性藥？（證明或否定）221個女孩和21個男孩參加一次數(shù)學競賽，（1）每一個參賽者最

30、多解出6道題；（2）對每一個女孩和每一個男孩至少有一道題被這一對孩子都解出。求證：有一道題至少有3個女孩和至少有3個男孩都解出。3求證：存在無窮多個正整數(shù)n，使得可將3n個數(shù)1, 2, 3n排成數(shù)表a1, a2anb1, b2bnc1, c2cn滿足：（1）a1+b1+c1= a2+b2+c2= an+bn+cn=，且為6的倍數(shù)。（2）a1+a2+an= b1+b2+bn= c1+c2+cn=，且為6的倍數(shù)。4給定正整數(shù)n，已知克數(shù)都是正整數(shù)的k塊砝碼和一臺天平可以稱出質(zhì)量為1，2，n克的所有物品，求k的最小值f(n)。5空間中有1989個點，其中任何3點都不共線，把它們分成點數(shù)各不相同的30

31、組，在任何3個不同的組中各取一點為頂點作三角形。試問：為使這種三角形的總數(shù)最大，各組的點數(shù)應(yīng)分別為多少？6在平面給定點A0和n個向量a1，a2，an，且使a1+a2+an =0。這組向量的每一個排列都定義一個點集：A1，A2，An=A0，使得求證：存在一個排列，使由它定義的所有點A1，A2，An-1都在以A0為角頂?shù)哪硞€600角的內(nèi)部和邊上。7設(shè)m, n, kN，有4個酒杯，容量分別為m,n,k和m+n+k升，允許進行如下操作：將一個杯中的酒倒入另一杯中或者將另一杯倒?jié)M為止。開始時，大杯中裝滿酒而另3個杯子卻空著，問：為使對任何SN，Sm+n+k，都可經(jīng)過若干次操作，使得某個杯子中恰有S升酒的關(guān)于m,n,k的充分必要條件是什么？8設(shè)有30個人坐在一張圓桌的周圍，其中的每個人都或者是白癡，或者是聰明人。對在座的每個人都提問：“你右邊的鄰座是聰明人還是白癡？”聰明人總是給出正確的答案，而白癡既可能回答正確，也可能回答不正確。已知白癡的個數(shù)不超過F，求總可以指出一位聰明人的最大的F。9某班共有30名學生，每名學生在班內(nèi)都有同樣多的朋友，期末時任何兩人的成績都可分出優(yōu)劣，沒有相同的。問：比自己的多半朋友的成績都要好的學生最多能有多少人？- 12 -