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1、 本科畢業(yè)論文(設(shè)計) 論文題目：泰勒公式及其應(yīng)用 學(xué)生姓名： 學(xué) 號： 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級： 指導(dǎo)教師： 完成日期：2012年 5月20日 泰勒公式及其應(yīng)用 內(nèi) 容 摘 要 本文介紹泰勒公式及其應(yīng)用，分為兩大部分：第一部分介紹了泰勒公式的相關(guān)基礎(chǔ)知識，包括帶Lagrange余項、帶Peano余項兩類不同泰勒公式；第二部分通

2、過詳細(xì)的例題介紹了泰勒公式在八個方面的應(yīng)用. 通過本文的閱讀，可以提高對泰勒公式及其應(yīng)用的認(rèn)識，明確其在解題中的作用，為我們以后更好的應(yīng)用它解決實際問題打好堅實的基礎(chǔ). 關(guān)鍵詞：泰勒公式 Lagrange余項 Peano余項 應(yīng)用 The Taylor Formula and The Application Of Taylor Formula Abstract This paper focuses on Taylor formula and the application of Taylor for

3、mula. It has two parts. The first part of this paper introduces the basic knowledge of the Taylor formula,Including Taylor formula with Lagrange residual term and with Peano residual term. With the detailed examples,The second part introduces eight applications of Taylor formula. By reading this pa

4、per,you can build a preliminary understanding of Taylor formula,define the function in problem solving ,in the later application that can be a good reference. Key Words: Taylor formula Lagrange residual term Peano residual term application 目 錄 一、泰勒公式 1 （一）帶Lagrange余項的泰勒公式 1 （二）帶

5、Peano余項的泰勒公式 2 二、公式的應(yīng)用 3 （一）、泰勒公式在近似運算上的應(yīng)用 3 （二）、泰勒公式在求極限中的應(yīng)用 5 （三）、泰勒公式在方程中的應(yīng)用 6 （四）、泰勒公式在中值公式證明中的應(yīng)用 8 （五）、泰勒公式在有關(guān)于界的估計中的應(yīng)用 9 （六）、泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用 10 （七）、泰勒公式在級數(shù)中的應(yīng)用 11 （八）、泰勒公式在求高階導(dǎo)數(shù)值中的應(yīng)用 13 三、結(jié) 論 14 參 考 文 獻(xiàn) 15 序 言 泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表

6、示為簡單的多項式函數(shù).這種化繁為簡的功能，使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力杠桿. 因為泰勒公式在解決一些數(shù)學(xué)問題時的確有著不可替代的作用，故有關(guān)它的理論在教材中一般都有比較詳細(xì)的介紹，而關(guān)于它的應(yīng)用則介紹甚少或不全面.本文比較詳細(xì)地介紹了泰勒公式在近似計算、求極值、方程、證明中值公式、關(guān)于界的估計、證明不等式、級數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)值等方面的應(yīng)用.作者在閱讀了大量參考文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，通過例題給出了泰勒公式的許多應(yīng)用，使我們能更直接的看到泰勒公式在各方面的運用. 一、泰勒公式 對于函數(shù)，設(shè)它在點存在直到階的導(dǎo)數(shù).由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個次多項式 ， 稱為函數(shù)在點處的泰勒多項式. 泰勒公式

7、根據(jù)所帶的余項的不同有不同的定義.泰勒公式的余項分為兩類，一類是定量的，一類是定性的，它們的本質(zhì)相同，但性質(zhì)各異.下面我們來介紹一下： （一）帶Lagrange余項的泰勒公式 對于這種泰勒公式，Lagrange余項是一種定量形式. 定理1 若函數(shù)在上存在直到階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在直到階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的，至少存在一點，使得 ， 該式稱為（帶有Lagrange余項的）泰勒公式. 證明 作輔助函數(shù) ，， 所以要證明的式子即為 . 不妨設(shè)，則與在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)， 且 ， 又因，所以由柯西中值定理證得 ，

8、 其中. 所以定理1成立. （二）帶Peano余項的泰勒公式 對于這種泰勒公式，Peano余項是一種定性形式. 定理2 若函數(shù)在點存在直到階導(dǎo)數(shù)，則有，即 ， 稱為函數(shù)在點處的（帶有Peano余項的）泰勒公式，該公式定性的說明當(dāng)趨于時，逼近誤差是較高階的無窮小量. 證明 設(shè) ，， 現(xiàn)在只需證 . 由可知， . 并易知 ， 因為存在，所以在點的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù).于是，當(dāng) 且時，允許接連使用洛必達(dá)（LHospital）法則次，得到 所以定理2成立. 當(dāng)時，得到泰勒公式 ，

9、 該式稱為（帶有Lagrange余項的）麥克勞林公式. 當(dāng)上式中時有 ， 它稱為（帶有Peano余項的）麥克勞林公式. 二、公式的應(yīng)用 （一）、泰勒公式在近似運算上的應(yīng)用 利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計算式和一些數(shù)值的近似計算，利用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計算式為 ， 其誤差是余項. 例1：計算的值，使其誤差不超過. 解 應(yīng)用泰勒公式有 ，， 估， 當(dāng)時，便有 ， 從而略去而求得的近似值為. 例2: 求的近似值，精確到. 解 因為中的被積函數(shù)是不可積的（即不能用初級函數(shù)表達(dá)），現(xiàn)用泰勒公式的方法 求的近似值. 在的展開式中

10、以代替得， 逐項積分，得 ， 上式右端為一個收斂的交錯級數(shù)，由其余項的估計式知 ， 所以 . 由于泰勒公式可以將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù)，所以當(dāng)選定函數(shù)中的自變量時，就可以進(jìn)行近似計算.在這個應(yīng)用中主要注意選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后運用麥克勞林展開式，帶入數(shù)值. （二）、泰勒公式在求極限中的應(yīng)用 為了簡化極限運算，有時可用某項的泰勒展開式來代替該項，使得原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項式有理式的極限，就能簡潔的求出.接下來我們用兩個例子來說明： 例3：求極限. 解 考慮到極限式的分母為，我們用麥克勞林公式表示極限的分子（?。? ，

11、 ， ， 因而求得，. 例4: 求極限 . 解 ， ， 原式==. 由上邊兩個例子可見，因為通常情況下對于函數(shù)多項式和有理分式的極限問題的計算是十分簡單的，所以對于一些復(fù)雜的函數(shù)可以根據(jù)泰勒公式將原來的復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為類似多項式和有理分式的極限問題.綜上所述，在式子滿足下列情況時可以考慮用泰勒公式來求極限： (1)用洛必達(dá)法則時，次數(shù)比較多、求導(dǎo)過程和化簡過程比較復(fù)雜的情況. (2)分子或分母中有無窮小的差， 且此差不容易轉(zhuǎn)化為等價無窮小替代形式. (3)函數(shù)可以很容易的展開成泰勒公式. （三）、泰勒公式在方程

12、中的應(yīng)用 泰勒公式在函數(shù)方程中應(yīng)用比較廣泛，題型也比較多，主要有判斷根，方程次數(shù)等等一些證明類問題，做此類題，要注意觀察題目中導(dǎo)數(shù)階數(shù)，以便用泰勒公式展開到相應(yīng)階數(shù).我們用三個例子來說明： 例5: 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且，，對， 證明 在內(nèi)存在唯一實根. 分析： 這里是抽象函數(shù)，直接討論的根有困難，由題設(shè)在上二階可導(dǎo)且，，可考慮將在點展開一階泰勒公式，然后設(shè)法應(yīng)用介值定理證明. 證明 因為，所以單調(diào)減少，又，因此時，， 故在上嚴(yán)格單調(diào)減少.在點展開一階泰勒公式有 . 由題設(shè)，，于是有，從而必存在，使得， 又因為，在上應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定

13、理，存在，使，由的嚴(yán)格單調(diào)性知唯一，因此方程在內(nèi)存在唯一實根. 例6： 設(shè)在內(nèi)有連續(xù)三階導(dǎo)數(shù)，且滿足方程， . （1） 試證：是一次或二次函數(shù). 證明 問題在于證明：或.為此將（1）式對求導(dǎo)，注意與無 關(guān).我們有 ， （2） 從而 . 令取極限，得，. 若，由此知為一次函數(shù)；若，（2）式給出 ， 此式兩端同時對求導(dǎo)，減去，除以，然后令取極限，即得，為 二次函數(shù). 例7： 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且 ， 試證：，使得內(nèi). 證明

14、 為了證明在處的鄰域內(nèi)恒為零.我們將（3）式右端的，在 處按公式展開.注意到.我們有 ， . 從而 ， 今限制，則在上連續(xù)有界，，使得 我們只要證明即可.事實上 ， ， ， . 即.所以，在上. 由以上例題可見，在函數(shù)方程方面，泰勒公式對于求二階或二階以上的連續(xù)導(dǎo)數(shù)的問題來說十分的好用，主要是通過作輔助函數(shù)，對有用的點進(jìn)行泰勒公式展開并對余項作合適的處理. （四）、泰勒公式在中值公式證明中的應(yīng)用 由于泰勒公式將函數(shù)和它的高階導(dǎo)數(shù)結(jié)合了起來，所以遇到這類有高階導(dǎo)數(shù)的證明時，首先應(yīng)考慮用泰勒公式來求解.接下來我們用一個例子來說明： 例8： 設(shè)在上三次可導(dǎo)

15、，試證：，使得 . 證明 設(shè)為使下式成立的實數(shù)： ， 這時，我們的問題歸為證明：，使得. 令. 則， 根據(jù)Rolle定理，，使得即： . 這是關(guān)于的方程，注意到在點處的泰勒公式： . （五）、泰勒公式在有關(guān)于界的估計中的應(yīng)用 我們知道有些函數(shù)是有界的，有的有上界，而有的有下界，結(jié)合泰勒公式的知識與泰勒公式的廣泛應(yīng)用，這里我們將探討泰勒公式關(guān)于界的估計，下面通過例題來分析. 例9： 設(shè)在[0，1]上有二階導(dǎo)數(shù)，時，.試證：當(dāng) 時，. 證明 ， ， 所以 ， ， . 例10： 設(shè)二次可微，，，試證. 證

16、明 因在上連續(xù)，有最大、最小值.又因，， 最大值在內(nèi)部達(dá)到.所以使得. 于是為最大值.由Fermat定理，有，在處按泰勒公式展開， 使得： ， . 因此 . 而 時，， 時，， 所以 . 由上邊例題可以總結(jié)出一些經(jīng)驗，比如當(dāng)遇到求有關(guān)于界的問題，且涉及高階導(dǎo)數(shù)時，通?？紤]用泰勒公式來解題.在解題時可以應(yīng)用這個經(jīng)驗嘗試解題. （六）、泰勒公式在證明不等式中的應(yīng)用 當(dāng)所要證明的不等式是含有多項式和初等函數(shù)的混合物，不妨作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替，往往使證明方便簡捷. 例11： 設(shè)在上二次可微，.試證： ，有. 證明 取，將在處按泰勒公式展開有： ，

17、 ， 以乘此式兩端，然后個不等式相加，注意， ， 得. 例12: 當(dāng)時，證明. 證明 取，，則 . 帶入泰勒公式，其中，得 ，其中. 故 當(dāng)時，. 由此可見，關(guān)于不等式的證明，有多種方法，如利用拉格朗日中值定理來證明不等式，利用函數(shù)的凸性來證明不等式，以及通過討論導(dǎo)數(shù)的符號來得到函數(shù)的單調(diào)性，從而證明不等式的方法.但歸結(jié)起來都可以看做是泰勒公式的特殊情形，所以證明不等式時，注意應(yīng)用泰勒公式這個重要方法. （七）、泰勒公式在級數(shù)中的應(yīng)用 在級數(shù)斂散性的理論中，要判斷一個正項級數(shù)是否收斂，通常找一個簡單的函數(shù)，，

18、在用比較判定法來判定，但是在實際應(yīng)用中比較困難的問題是如何選取適當(dāng)?shù)模ㄖ械闹担? 如 當(dāng)，此時收斂，但是， 當(dāng)時，此時發(fā)散，但是. 在這種情況下我們就無法判定的斂散性，為了更好的選取中的值，使得且，在用比較判別法，我們就可以判定的斂散性. 例13: 討論級數(shù)的斂散性. 分析：直接根據(jù)通項去判斷該級數(shù)是正向級數(shù)還是非正項級數(shù)比較困難，因而也就無法恰當(dāng)選擇判斂方法，注意到，若將其泰勒展開為的冪的形式，開二次方后恰與相呼應(yīng)，會使判斂容易進(jìn)行. 解 因為 ， 所以 ， 從而 ， 故該級數(shù)是正項級數(shù). 又因為 ， 所以 . 因為 收斂，所以由正項級數(shù)比較判別法

19、知原級數(shù)收斂. 利用基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，通過加減乘等運算進(jìn)而可以求得一些較復(fù)雜的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式. 例14: 求的冪級數(shù)展開式. 解 利用泰勒公式 由例題可見，當(dāng)級數(shù)的通項表達(dá)式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時，往往利用泰勒公式將級數(shù)通項簡化成統(tǒng)一形式，以便利用判斂準(zhǔn)則.利用基本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，通過加減乘等運算進(jìn)而可以求得一些較復(fù)雜的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式. （八）、泰勒公式在求高階導(dǎo)數(shù)值中的應(yīng)用 如果泰勒公式已知，其通項中的加項的系數(shù)正是，從而可反過來求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值，而不必再依次求導(dǎo). 例15: 求函數(shù)在處的高階導(dǎo)數(shù). 解 設(shè)，則 ，，

20、在的泰勒公式為 ， 從而 ， 而中的泰勒展開式中含的項應(yīng)為，從的展開式知的項為，因此 ，, . 通過泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)，這是泰勒公式比較簡單的一種應(yīng)用，重點就在于掌握，其通項中的加項的系數(shù)正是.在求導(dǎo)數(shù)時只需在系數(shù)上乘以即可. 三、結(jié) 論 泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的重要組成部分，是一種非常重要的數(shù)學(xué)工具.它集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在微積分學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域的各個方面都有重要的應(yīng)用.本文介紹了泰勒公式以及它在八個方面應(yīng)用，使我們對泰勒公式有了更深一層的理解，對怎樣應(yīng)用泰勒公式解答具體問題有了更深一層的認(rèn)識，只要在解題過程中注意分析，研究題設(shè)條件及其形式特點，并把握上述處理規(guī)則，

21、就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧. 參 考 文 獻(xiàn) [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，《數(shù)學(xué)分析》（上），高等數(shù)學(xué)出版社，2008，134-141 [2]裴禮文，《數(shù)學(xué)分析中的典型問題及方法》，高等教育出版社，2009，150-157 [3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編，《高等數(shù)學(xué)》，人民教育出版社，2007，139-145 [4]劉玉璉，《數(shù)學(xué)分析講義》，人民教育出版社，2000，120-138 [5]張利凱，《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)》，科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社，2002，138-156 [6]M.克萊因，《古今數(shù)學(xué)思想》，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，198

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