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1、空間解析幾何與向量代數 摘要：深入了解空間解析幾何與向量代數的概念，一一講述他們的區(qū)別和用途。向量的集中加減乘法和運算規(guī)律，還有空間直線與平面的關系。 關鍵詞：向量；向量代數；空間幾何 第一部分：向量代數 第一節(jié)：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成為向量（又稱矢量）。 表示法：有向線段或a。 向量的模:向量的打小，記作||。 向徑（矢徑）：起點為原點的向量。 自由向量：與起點無關的向量。 單位向量：模為1的向量。 零向量：模為0的向量，記作 若向量與大小相等，方向相同，則稱與相等，記作=； 若向量與方向相同或相反

2、，則稱a與b平行，記作// 規(guī)定：零向量與任何向量平行；與的模相同，但方向相反的向量稱為的負向量，記作-；因平行向量可平移到同一直線上，故兩向量平行又稱兩向量共線。若K3個向量經平移可移到同一平面上，則稱此K個向量共面。 二.向量的線性運算 1.向量的加法 平行四邊形法則： + 三角形法則： + 運算規(guī)律：交換律+=+ 與 結合律：（+）+=+（+） 三角形法則可推廣到多個向量相加。 2.向量的減法 -=+（） - - 特別當=時，有-=（）=； 三角不等式：|+ |； |-|； 3.向量與數的乘法是

3、一個數，與的乘積是一個新向量，記作。 規(guī)定： 與同向時，||=||； 總之：|| | || 三.向量的模、方向角 1.向量的模與兩點間的距離公式 設（x,y,z）,作 ，則有 R Z Q O Y P X 由勾股定理得： || |OM| B A 對兩點A（）與B（）因 () 得兩點間的距離公式： |AB| | | 第二節(jié)：數量積 向量積 一.兩向量的數量積 引例：設一物體在常力F作用下，沿與力為夾角的直線移動，位移為，則力所做的功為W|| | | 1.定義： 設向量，的夾角為，稱|||| 為與的數量積（

4、點積）。 2.性質： （1） （2） ， 為兩個非零向量則有 0 3.運算符： 交換律 （1）結合律（為實數） （）（）（） （）（）（） （2）分配率 （） 一． 兩向量的向量積 引例：設O為杠桿L的支點，有一個為杠桿夾角的力作用在杠桿的P點上，則力作用在杠桿上的力矩是一個向量 ：|| |oq|| || || | 符合右手規(guī)則 O P 1.定義 設的夾角為，定義向量稱為向量與向量積，記作： 2.性質 （1） （2）為非零向量，則 // 證明：當 ， 時

5、， 3.律算率 （1） （2）分配率（） （3）結合律（）（）（） 第二部分：空間解析幾何 第一節(jié)：空間直線與平面的方程 1. 空間平面 一般式：Ax+By+Cz+D=0 (); 點法式：A(x-)+B(y-)+C(z-)=0 截距式： 三點式| |=0 2. 空間直線 一般式： 對稱式： 參數式：（）為直線上一點；=（m,n,p）為直線的方向向量。 3. 線面之間的相互關系 a. 面與面的關系 b.

6、線與線的關系 c. 面與線之間的關系 平面，直線，垂直，平行 第二節(jié)：實例分析 例1. 求與兩平面X-4Z=3和2X-Y-5Z=1的交線平行，且過點（-3 ，2， 5）的直線方程。 所求直線的方向向量可取為： S= ==（-4， -3， -1） 利用點向式可得方程; 參考文獻 [1]王作相：關于《空間解析幾何》教材的現代化；貴州師范法學學報；1989年02期 [2]黃振華：《淺談向量與空間解析幾何》；湖北師范學院學報（自然科學版）2007年04期 [3]南開大學幾何教研室編，《空間解析幾何引論》，南開大學出版社，1992年第一版 [4]郭建等編，《解析幾何方法與應用》，天津科學技術出版社，1998年第一版。