《56.三角形中的三角恒等式》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《56.三角形中的三角恒等式（3頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 高考數(shù)學(xué)母題規(guī)劃,助你考入清華北大！楊培明(電話:13965261699)數(shù)學(xué)叢書(shū),給您一個(gè)智慧的人生！高考數(shù)學(xué)母題 母題(一-56):三角形中的三角恒等式(756) 0125 三角形中的三角恒等式 母題(-56):(1992年全國(guó)高考試題)求sin2200+cos2800+sin200cos800的值. 解析:在ABC中,由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,由余弦定理得a2+b2-2abcosC=c2(2RsinA)2+(2RsinB)3-2(2RsinA)(2RsinB)cosC=(2RsinC)2sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2

2、C;令A(yù)=200,B=100C=1500sin2200+sin2100-2sin200sin100cos1500=sin21500sin2200+cos2800+sin200cos800=.點(diǎn)評(píng):在ABC中,常用的恒等式有:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;tantan+tantan+tantan=1;sinA+sinB+sinC=4coscoscos,cosA+cosB+cosC=1+4sinsinsin;sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC,cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC;sin2A+sin2B+sin2

3、C=2+2cosAcosBcosC,cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC;sin2+sin2+sin2=1-2sinsinsin,cos2+cos2+cos2=2+2sinsinsin;sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C,cos2A+cos2B+2sinAsinBcosC=1+cos2C. 子題(1):(2002年北京春招試題)在DABC中,已知A、B、C成等差數(shù)列,求tan+tantan+tan的值.解析:由A、B、C成等差數(shù)列B=tan=;又由tan=tan(-)=cot(+)tantan(+)=1tan(tan+tan)=1-ta

4、ntantantan+tantan+tantan=1(tan+tan)+tantan=1tan+tantan+tan=. 注:利用三角恒等式構(gòu)造試題的方法之一是:對(duì)內(nèi)角賦值,使恒等式的一邊為常數(shù),要求另一邊三角函數(shù)式的值. 子題(2):(2011年“華約”自主招生試題)A、B、C為ABC的內(nèi)角,且ABC不為直角三角形.()求證:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;()當(dāng)tanC-1=,且sin2A,sin2B,sin2C的倒數(shù)成等差數(shù)列時(shí),求cos的值.解析:()由A+B+C=tan(A+B)=tan(-C)=-tanCtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

5、;()由tanC-1=tanA+tanB+tanC=tanAtanCtanAtanBtanC=tanAtanCtanB=B=;又由+=2sin(A+C)cos(A-C)=-2cos(2A+2C)-cos(2A-2C)3cos(A-C)=-2-cos(2A-2C)4cos2(A-C)-3cos(A-C)-1=0cos(A-C)=1,-cos=1,. 注:利用三角恒等式構(gòu)造試題的方法之二是由三角恒等式隱藏某個(gè)角的值,連同其它條件一起,解三角形. 子題(3):(2012年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽安徽初賽試題)已知ABC的周長(zhǎng)為1,并且sin2A+sin2B=4sinAsinB. 0126 母題(一-56):

6、三角形中的三角恒等式(756) ()證明:ABC是直角三角形;()求ABC面積的最大值.解析:()由sin2A+sin2B=4sinAsinBsinAcosA+sinBcosB=2sinAsinBsinA(cosA-sinB)+sinB(cosB-sinA)=0sinAsin(900-A)-sinB+sinBsin(900-B)-sinA=0sinA2cossin+sinB2cossin=02sinsinAcos(450-)+sinBcos(450+)=0.而sinAcos(450-)+sinBcos(450+)=cos(sinA+sinB)+sin(sinA-sinB)0(cos0,sinA

7、+sinB0,sin與sinA-sinB同號(hào)).所以,sin=0ABC是直角三角形;()因a+b+c=1a+b+=112+ab,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=,c=時(shí)成立ABC面積的最大值. 注:利用三角恒等式構(gòu)造試題的方法之三是由三角恒等式隱藏某個(gè)角的值,要求該角;如本題源自于ABC中的恒等式:sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC. 子題系列:1.(1991年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)cos2100+cos2500-sin400sin800= .2.(1995年全國(guó)高考試題)求sin2200+cos2500+sin200cos500的值.3.(2007年愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)奧林匹克試題)證

8、明:ABC為直角三角形的充要條件是:sin2A+sin2B+sin2C=2. (b2-c2-a2)(b2-c2+a2)=0cosBcosC=0ABC為直角三角形.4.(2007年克羅地亞數(shù)學(xué)奧林匹克試題)已知ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為、,且滿足條件cos2+cos2+cos2=1.試證明:ABC為直角三角形. 子題詳解:1.解:在sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC=sin2C;令A(yù)=800,B=400C=600sin2800+sin2400-2sin800sin400cos600=sin2600cos2100+cos2500-sin400sin800=.2.解:在sin2A+sin

9、2B-2sinAsinBcosC=sin2C;令A(yù)=200,B=400C=1200sin2200+sin2400-2sin200sin400cos1200=sin21200sin2200+cos2500+sin200cos500=.3.解:由sin2A+sin2B+sin2C=2a2+b2+c2=8R2()2=sin2A=cos2A=cos2A=.若cosA=0,則ABC為直角三角形;若cosA0,則cosA=4.解:(法一)由cos2+cos2+cos2=1cos2+cos2-sin2=0cos2+cos2-sin2(+)=0cos2+cos2-(sincos+cossin)2=0cos2+

10、cos2-sin2cos2-2sincoscossin-cos2sin2=0cos2(1-sin2)+cos2(1-sin2)-2sincoscossin=02cos2cos2-2sincoscossin=02coscos(coscos-sinsin)=0coscoscos=0ABC為直角三角形;(法二)由cos2+cos2+cos2=1(1+cos2)+(1+cos2)+(1+cos2)=2cos2+cos2+cos2+1=0cos2+cos2+cos2(+)+1=02cos(+)cos(-)+2cos2(+)=02cos(+)cos(-)+cos(+)=0coscoscos=0ABC為直角三角形.