《高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教A版選修23》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 2.3 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 2.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)案 新人教A版選修23（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的方差及標(biāo)準(zhǔn)差的概念.2.能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的方差，并能解決一些實(shí)際問題.3.掌握方差的性質(zhì)，以及兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求法，會(huì)利用公式求它們的方差知識(shí)點(diǎn)一方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義及方差的性質(zhì)甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為X和Y，X和Y的分布列如下：X012PY012P思考1試求E(X)，E(Y)答案E(X)012，E(Y)012.思考2能否由E(X)與E(Y)的值比較兩名工人技術(shù)水平的高低？答案不能，因?yàn)镋(X)E(Y)思考3試想用什么指標(biāo)衡量甲、乙兩名工人技術(shù)水平的高低？答

2、案方差梳理(1)方差及標(biāo)準(zhǔn)差的定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn方差：D(X)(xiE(X)2pi；標(biāo)準(zhǔn)差：.(2)方差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值的平均程度方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小(3)方差的性質(zhì)：D(aXb)a2D(X)知識(shí)點(diǎn)二兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差XX服從兩點(diǎn)分布XB(n，p)D(X)p(1p)(其中p為成功概率)np(1p)1離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定()2若a是常數(shù)，則D(a)0.()3離散型隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度()類型一求隨機(jī)變量的方差與

3、標(biāo)準(zhǔn)差例1已知X的分布列如下：X101Pa(1)求X2的分布列；(2)計(jì)算X的方差；(3)若Y4X3，求Y的均值和方差考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題點(diǎn)方差性質(zhì)的應(yīng)用解(1)由分布列的性質(zhì)，知a1，故a，從而X2的分布列為X201P(2)方法一由(1)知a，所以X的均值E(X)(1)01.故X的方差D(X)222.方法二由(1)知a，所以X的均值E(X)(1)01，X2的均值E(X2)01，所以X的方差D(X)E(X2)E(X)2.(3)因?yàn)閅4X3，所以E(Y)4E(X)32，D(Y)42D(X)11.反思與感悟方差的計(jì)算需要一定的運(yùn)算能力，公式的記憶不能出錯(cuò)！在隨機(jī)變量X2的均值比較好計(jì)算的

4、情況下，運(yùn)用關(guān)系式D(X)E(X2)E(X)2不失為一種比較實(shí)用的方法另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aXb)a2D(X)跟蹤訓(xùn)練1已知的分布列為010205060P(1)求方差及標(biāo)準(zhǔn)差；(2)設(shè)Y2E()，求D(Y)考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題點(diǎn)方差性質(zhì)的應(yīng)用解(1)E()01020506016，D()(016)2(1016)2(2016)2(5016)2(6016)2384，8.(2)Y2E()，D(Y)D(2E()22D()43841 536.類型二兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的方差例2為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳的成活與否是相互獨(dú)立

5、的，成活率為p，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，均值E()為3，標(biāo)準(zhǔn)差為.(1)求n和p的值，并寫出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差解由題意知，B(n，p)，P(k)Cpk(1p)nk，k0,1，n.(1)由E()np3，D()np(1p)，得1p，從而n6，p.的分布列為0123456P(2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A，則P(A)P(3)，得P(A)，或P(A)1P(3)1，所以需要補(bǔ)種沙柳的概率為.反思與感悟解決此類問題第一步是判斷隨機(jī)變量服從什么分布，第二步代入相應(yīng)的公式求解若服從兩點(diǎn)分布，則D()p(1p)；若

6、服從二項(xiàng)分布，即B(n，p)，則D()np(1p)跟蹤訓(xùn)練2某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%.(1)計(jì)算從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差；(2)從中有放回地隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，計(jì)算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差解(1)用表示抽得的正品數(shù)，則0,1.服從兩點(diǎn)分布，且P(0)0.02，P(1)0.98，所以D()p(1p)0.98(10.98)0.019 6.(2)用X表示抽得的正品數(shù)，則XB(10,0.98)，所以D(X)100.980.020.196，標(biāo)準(zhǔn)差為0.44.類型三方差的實(shí)際應(yīng)用例3為選拔奧運(yùn)會(huì)射擊選手，對(duì)甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測(cè)試已知甲

7、、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用解(1)依據(jù)題意知，0.53aa0.11，解得a0.1.乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，乙射中7環(huán)的概率為1(0.30.30.2)0.2.，的分布列分別為10987P0.50.30.10.110987P0.30.30

8、.20.2(2)結(jié)合(1)中，的分布列，可得E()100.590.380.170.19.2，E()100.390.380.270.28.7，D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96，D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.E()E()，說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高又D()D()，所以兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對(duì)分散和波動(dòng)，乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更集中和穩(wěn)定1已知隨機(jī)變量X的分布列為X101P則下列式子：E(X)；D(X)；P(X0)

9、.其中正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念與計(jì)算題點(diǎn)離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算答案C解析由分布列可知，E(X)(1)01，故正確；D(X)222，故不正確，顯然正確2有甲、乙兩種水稻，測(cè)得每種水稻各10株的分蘗數(shù)據(jù)，計(jì)算出樣本均值E(X甲)E(X乙)，方差分別為D(X甲)11，D(X乙)3.4.由此可以估計(jì)()A甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用答案B3同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次

10、數(shù)為，則D()等于()A. B. C. D5考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差答案A解析拋擲兩枚均勻硬幣，兩枚硬幣都出現(xiàn)反面的概率為P，則易知滿足B，n10，p，則D()np(1p)10.4已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，若E(X)0，D(X)1，則a_，b_.X1012Pabc考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題點(diǎn)方差性質(zhì)的應(yīng)用答案解析由題意知解得5編號(hào)為1,2,3的三位學(xué)生隨意入座編號(hào)為1,2,3的三個(gè)座位，每位學(xué)生坐一個(gè)座位，設(shè)與座位編號(hào)相同的學(xué)生的人數(shù)是，求E()和D()考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差解的所有可能取值為0,1,3，0表示三位同學(xué)全坐錯(cuò)了，有2

11、種情況，即編號(hào)為1,2,3的座位上分別坐了編號(hào)為2,3,1或3,1,2的學(xué)生，則P(0)；1表示三位同學(xué)只有1位同學(xué)坐對(duì)了，則P(1)；3表示三位同學(xué)全坐對(duì)了，即對(duì)號(hào)入座，則P(3).所以的分布列為013PE()0131.D()(01)2(11)2(31)21.1隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度，以及隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度方差D(X)或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度越?。环讲頓(X)或標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明偏離的平均程度越大，說明X的取值越分散2求離散型隨機(jī)變量X的均值、方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X的所有可能的取值(2)求X取每

12、一個(gè)值的概率(3)寫出隨機(jī)變量X的分布列(4)由均值、方差的定義求E(X)，D(X)特別地，若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布，可根據(jù)公式直接計(jì)算E(X)和D(X)一、選擇題1設(shè)一隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果只有A和，且P(A)m，令隨機(jī)變量則的方差D()等于()Am B2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)兩點(diǎn)分布的方差答案D解析隨機(jī)變量的分布列為01P1mm所以E()0(1m)1mm.所以D()(0m)2(1m)(1m)2mm(1m)2牧場(chǎng)有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發(fā)病率為0.02，設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為，則D()等于()A0.2 B0.8 C0.196 D

13、0.804考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差答案C3設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(k)Cknk，k0,1,2，n，且E()24，則D()的值為()A. B8 C12 D16考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差答案B解析由題意可知B，所以nE()24.所以n36.所以D()n368.4若數(shù)據(jù)x1，x2，xn的平均數(shù)為6，標(biāo)準(zhǔn)差為2，則數(shù)據(jù)2x16,2x26，2xn6的平均數(shù)與方差分別為()A6,8 B12,8 C6,16 D12,16考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差答案C5由以往的統(tǒng)計(jì)資料表明，甲、乙兩運(yùn)動(dòng)員在比賽中得分情況為X1(甲得分)012P(X1xi)0.

14、20.50.3X2(乙得分)012P(X2xi)0.30.30.4現(xiàn)有一場(chǎng)比賽，派哪位運(yùn)動(dòng)員參加較好？()A甲 B乙C甲、乙均可 D無法確定考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用答案A解析E(X1)E(X2)1.1，D(X1)1.120.20.120.50.920.30.49，D(X2)1.120.30.120.30.920.40.69，D(X1)D(X2)，即甲比乙得分穩(wěn)定，選甲參加較好6已知隨機(jī)變量的分布列如下：mnPa若E()2，則D()的最小值等于()A. B2 C1 D0考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題點(diǎn)方差性質(zhì)的應(yīng)用答案D解析由題意得a1，所以E()mn2，即m2n6.

15、又D()(m2)2(n2)22(n2)2，所以當(dāng)n2時(shí)，D()取最小值為0.7某同學(xué)上學(xué)路上要經(jīng)過3個(gè)路口，在每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，且在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，記X為遇到紅燈的次數(shù)，若Y3X5，則Y的標(biāo)準(zhǔn)差為()A. B3 C. D2考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差答案A解析因?yàn)樵撏瑢W(xué)經(jīng)過每個(gè)路口時(shí)，是否遇到紅燈互不影響，所以可看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即XB，則X的方差D(X)3，所以Y的方差D(Y)32D(X)96，所以Y的標(biāo)準(zhǔn)差為.8已知隨機(jī)變量XY8，若XB(10,0.6)，則E(Y)，D(Y)分別是()A6和2.4 B2和2.4C2和5.6 D6和5.6考點(diǎn)三種常用

16、分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差答案B解析因?yàn)閄Y8，所以Y8X.因此，求得E(Y)8E(X)8100.62，D(Y)(1)2D(X)100.60.42.4.二、填空題9隨機(jī)變量的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，若E()，則D()_.考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)題點(diǎn)方差性質(zhì)的應(yīng)用答案解析由題意得解得a，b，c，故D().10設(shè)隨機(jī)變量B(2，p)，B(4，p)，若P(1)，則D()_.考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差答案解析由隨機(jī)變量B(2，p)，且P(1)，得P(1)1P(0)1C(1p)2，易得p.由B(4，p)，得隨機(jī)變量的方差D()4.11有10張卡片，其中8張

17、標(biāo)有數(shù)字2,2張標(biāo)有數(shù)字5，若從中隨機(jī)抽出3張，設(shè)這3張卡片上的數(shù)字和為X，則D(X)_.考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差答案3.36解析由題意得，隨機(jī)變量X的可能取值為6,9,12.P(X6)，P(X9)，P(X12)，則E(X)69127.8，D(X)(67.8)2(97.8)2(127.8)23.36.三、解答題12為了豐富學(xué)生的課余生活，促進(jìn)校園文化建設(shè)，某校高二年級(jí)通過預(yù)賽選出了6個(gè)班(含甲、乙)進(jìn)行經(jīng)典美文誦讀比賽決賽決賽通過隨機(jī)抽簽方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序求：(1)甲、乙兩班恰好在前兩位出場(chǎng)的概率；(2)決賽中甲、乙兩班之間的班級(jí)數(shù)記為X，求X的均值和方差考點(diǎn)均值、方差

18、的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差解(1)設(shè)“甲、乙兩班恰好在前兩位出場(chǎng)”為事件A，則P(A).所以甲、乙兩班恰好在前兩位出場(chǎng)的概率為.(2)隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).隨機(jī)變量X的分布列為X01234P因此，E(X)01234.D(X)22222.13有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度如下：A110120125130135P0.10.20.40.10.2B100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，A，B分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強(qiáng)度，在使用時(shí)要求抗拉強(qiáng)度不低于120，

19、試比較甲、乙兩種建筑材料的穩(wěn)定程度(哪一個(gè)的穩(wěn)定性較好)考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差解E(A)1100.11200.21250.41300.11350.2125，E(B)1000.11150.21250.41300.11450.2125，D(A)0.1(110125)20.2(120125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(135125)250，D(B)0.1(100125)20.2(115125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(145125)2165，由此可見，E(A)E(B)，D(A)D(B)，故兩種材料的抗拉強(qiáng)度的均

20、值相等，其穩(wěn)定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩(wěn)定性好四、探究與拓展14根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，某工程施工期間的降水量X(單位：mm)對(duì)工期的影響如下表所示.降水量XX300300X700700X900X900工期延誤天數(shù)Y02610若歷史氣象資料表明，該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9，則工期延誤天數(shù)Y的方差為_考點(diǎn)均值、方差的綜合應(yīng)用題點(diǎn)求隨機(jī)變量的均值與方差答案9.8解析由已知條件和概率的加法公式知，P(X300)0.3，P(300X700)P(X700)P(X300)0.70.30.4，P(700X900)P(X900)P(X700)0.90.7

21、0.2，P(X900)1P(X900)10.90.1.所以隨機(jī)變量Y的分布列為Y02610P0.30.40.20.1故E(Y)00.320.460.2100.13；D(Y)(03)20.3(23)20.4(63)20.2(103)20.19.8.故工期延誤天數(shù)Y的方差為9.8.15一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，均值

22、E(X)及方差D(X)考點(diǎn)三種常用分布的方差題點(diǎn)二項(xiàng)分布的方差解(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)”因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.(2)X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為P(X0)C(10.6)30.064，P(X1)C0.6(10.6)20.288，P(X2)C0.62(10.6)0.432，P(X3)C0.630.216，則X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄B(3,0.6)，所以均值E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375