《高考數(shù)學大一輪復習 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示教師用書 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學大一輪復習 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標表示教師用書 理（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算；4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件。2015，北京卷，13,5分(平面向量基本定理)2015，江蘇卷，6,5分(平面向量坐標運算)2013，北京卷，13,5分(平面向量基本定理)1.以考查平面向量的坐標運算為主，平面向量基本定理的應用也是考查的熱點；2.題型以選擇題、填空題為主，要求相對較低，主要與平面向量的數(shù)量積結合考查。微知識小題練自|主|排|查1平面向量基本定理(1)基底：不共線的向量e

2、1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。(2)定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2。2平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，該平面內的任一向量a可表示成ax iyj，由于a與數(shù)對(x，y)是一一對應的，把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a(x，y)，其中a在x軸上的坐標是x，a在y軸上的坐標是y。3平面向量的坐標運算向量的加法、減法設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)向量的數(shù)乘設a(

3、x，y)，R，則a(x，y)向量坐標的求法設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)4向量共線的坐標表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10。微點提醒1能作為基底的兩個向量必須是不共線的。2向量的坐標與點的坐標不同，向量平移后，其起點和終點的坐標都變了，但由于向量的坐標均為終點坐標減去起點坐標，故平移后坐標不變。3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件不能表示成，因為x2，y2有可能等于0，應表示為x1y2x2y10。小|題|快|練一 、走進教材1(必修4P99例8改編)設P是線段P1P2上的一點，若P1(1,3)，P2(4,0)且

4、P是P1P2的一個三等分點，則點P的坐標為()A(2,2) B(3，1)C(2,2)或(3，1) D(2,2)或(3,1)【解析】由題意得或，(3，3)。設P(x，y)，則(x1，y3)，當時，(x1，y3)(3，3)，所以x2，y2時，即P(2,2)。當時，(x1，y3)(3，3)，所以x3，y1，即P(3,1)。故選D。【答案】D2(必修4P108A組T7改編)已知向量a(2,3)，b(1,2)，若manb與a2b共線，則()A B.C2 D2【解析】由向量a(2,3)，b(1,2)，得manb(2mn,3m2n)，a2b(4，1)。由manb與a2b共線，得，所以。故選A。【答案】A二、

5、雙基查驗1若向量(1,2)，(3,4)，則()A(4,6) B(4，6)C(2，2) D(2,2)【解析】，(1,2)(3,4)(4,6)。故選A。【答案】A2已知向量a(2,1)，b(x，2)，若ab，則ab等于()A(2，1) B(2,1)C(3，1) D(3,1)【解析】由ab可得2(2)1x0，故x4，所以ab(2，1)。故選A?！敬鸢浮緼3已知兩點A(4,1)，B(7，3)，則與同向的單位向量是()A. B.C. D.【解析】A(4,1)，B(7，3)，(3，4)。與同向的單位向量為。故選A。【答案】A4梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分別是CD，AB的中點，設a，b。若

6、manb，則_。【解析】abaab，m，n1。4?！敬鸢浮?5在ABCD中，AC為一條對角線，(2,4)，(1,3)，則向量的坐標為_?！窘馕觥吭O(x，y)，因為，所以(1,3)(2,4)(x，y)，所以即所以(1，1)，所以(1，1)(2,4)(3，5)?！敬鸢浮?3，5)微考點大課堂考點一 平面向量基本定理及其應用母題發(fā)散【典例1】(1)如果e1，e2是平面內一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內所有向量的一組基底的是()Ae1與e1e2Be12e2與e12e2Ce1e2與e1e2De12e2與e12e2(2)(2017福州模擬)在ABC中，點P是AB上一點，且，Q是BC的中

7、點，AQ與CP的交點為M，又t，則實數(shù)t的值為_?！窘馕觥?1)選項A中，設e1e2e1，則無解；選項B中，設e12e2(e12e2)，則無解；選項C中，設e1e2(e1e2)，則無解；選項D中，e12e2(e12e2)，所以兩向量是共線向量。故選D。(2)因為，所以32，即22，所以2。即P為AB的一個三等分點(靠近A點)，又因為A，M，Q三點共線，設。所以，又tt()tt。故解得故t的值是。【答案】(1)D(2)【母題變式】在本典例(2)中，試問點M在AQ的什么位置？【解析】由(2)的解析及，2知，()(1)(1)。因此點M是AQ的中點?！敬鸢浮奎cM是AQ的中點反思歸納應用平面向量基本定理

8、表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或數(shù)乘運算，基本方法有兩種：(1)運用向量的線性運算法則對所求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止；(2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解?？键c二 平面向量的坐標運算【典例2】已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)。設a，b，c，且3c，2b。(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實數(shù)m，n；(3)求M，N的坐標及向量的坐標?！窘馕觥坑梢阎胊(5，5)，b(6，3)，c(1,8)。(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)。(2)

9、mbnc(6mn，3m8n)，解得(3)3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)。M(0,20)。又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)。N(9,2)。(9，18)?！敬鸢浮?1)(6，42)(2)m1，n1(3)M(0,20)N(9,2)(9，18)反思歸納向量的坐標運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行。若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則。【變式訓練】(1)在平行四邊形ABCD中，AC為一條對角線，若(2,4)，(1,3)，則_。(2)設向量a，b滿足|a|2，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為_?！窘馕?/p>

10、】(1)(1，1)，(2，4)(1，1)(3，5)。(2)設a(x，y)，x0，y0，則x2y0且x2y220，解得x4，y2(舍去)，或者x4，y2，即a(4，2)?！敬鸢浮?1)(3，5)(2)(4，2)考點三 向量共線的坐標表示多維探究角度一：利用向量共線的坐標運算求參數(shù)值【典例3】設0，向量a(sin2，cos)，b(cos，1)，若ab，則tan_?！窘馕觥坑蒩b得sin2cos20，即2sincoscos2，又00，b0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則的最小值為_?！窘馕觥?1)ma4b(2m4,3m8)，a2b(4，1)，由于ma4b與a2b共線，(2m4)4(3m8)，

11、解得m2。(2)由題意得(a2，2)，(b2，4)，又，所以(a2，2)(b2，4)，即整理得2ab2，所以(2ab)(當且僅當ba時，等號成立)。【答案】(1)2(2)微考場新提升1在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且a，b，則()Aba BbaCab Dab解析ababa。故選A。答案A2已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，則c等于()Aab B.abCab Dab解析設cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab。故選B。答案B3設向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)，d的有向線段首尾相連能構成四邊形，則向量d()A(2,

12、6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)解析設d(x，y)，由題意知4a(4，12)，4b2c(6，20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(ac)d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)(x，y)(0,0)，解得x2，y6，所以d(2，6)。故選D。答案D4Pa|a(1,1)m(1,2)，mR，Qb|b(1，2)n(2,3)，nR是兩個向量集合，則PQ等于_。解析P中，a(1m,12m)，Q中，b(12n，23n)。則得此時ab(13，23)。答案(13，23)5若三點A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共線，則實數(shù)a的值為_。解析(a1,3)，(3,4)，據(jù)題意知，4(a

13、1)3(3)，即4a5，a。答案微專題巧突破向量問題坐標化向量具有代數(shù)和幾何的雙重特征，比如向量運算的平行四邊形法則、三角形法則、平面向量基本定理等都可以認為是從幾何的角度來研究向量的特征；而引入坐標后，就可以通過代數(shù)運算來研究向量，凸顯出了向量的代數(shù)特征，為用代數(shù)的方法研究向量問題奠定了基礎。在處理很多與向量有關的問題時，坐標化是一種常見的思路，利用坐標可以使許多問題的解決變得更加簡捷?！镜淅?2016四川高考)已知正三角形ABC的邊長為2，平面ABC內的動點P，M滿足|1，則|2的最大值是()A.B.C. D.【解析】建立平面直角坐標系如圖所示，則B(，0)，C(，0)，A(0,3)，則

14、點P的軌跡方程為x2(y3)21。設P(x，y)，M(x0，y0)，則x2x0，y2y0，代入圓的方程得22，所以點M的軌跡方程為22，它表示以為圓心，以為半徑的圓，所以|max，所以|2max。故選B?！敬鸢浮緽【變式訓練】給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為。如圖所示，點C在以O為圓心的圓弧上運動。若xy，其中x，yR，求xy的最大值?！窘馕觥恳設為坐標原點、所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示，則A(1,0)，B。設AOC，則C(cos，sin)。由xy，得所以xcossin，ysin，所以xycossin2sin，又，所以當時，xy取得最大值2。【答案】26EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375