《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第二節(jié) 參數(shù)方程教師用書(shū) 理 選修44》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第二節(jié) 參數(shù)方程教師用書(shū) 理 選修44(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二節(jié)參數(shù)方程2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解參數(shù)方程及其參數(shù)的意義;2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程。2016,全國(guó)卷,23,10分(參數(shù)方程求最值)2016,江蘇卷,21,10分(直線方程的應(yīng)用)2015,全國(guó)卷,23,10分(參數(shù)方程化普通方程)1.直線與圓的參數(shù)方程是歷年高考命題的熱點(diǎn);2.直線與圓的參數(shù)方程與位置關(guān)系是高考的重點(diǎn);3.應(yīng)用參數(shù)方程求最值也是高考的重點(diǎn)。微知識(shí)小題練自|主|排|查1參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù):并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這
2、條曲線上,那么方程組叫做這條曲線的參數(shù)方程,t叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。2直線的參數(shù)方程過(guò)定點(diǎn)P0(x0,y0)且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則參數(shù)t的幾何意義是有向線段的數(shù)量。3圓的參數(shù)方程圓心為(a,b),半徑為r,以圓心為頂點(diǎn)且與x軸同向的射線,按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圓上一點(diǎn)所在半徑形成的角為參數(shù)的圓的參數(shù)方程為0,2)。4橢圓的參數(shù)方程以橢圓的離心角為參數(shù),橢圓1(ab0)的參數(shù)方程為0,2)。微點(diǎn)提醒1將參數(shù)方程化為普通方程時(shí),要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或縮小,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍,確定函數(shù)f(t)和g(t)
3、的值域,即x和y的取值范圍。2直線的參數(shù)方程中,參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時(shí),t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為:|t|是直線上任一點(diǎn)M(x,y)到M0(x0,y0)的距離。小|題|快|練1若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則直線的傾斜角為_(kāi)?!窘馕觥坑芍本€的參數(shù)方程知,斜率ktan,為直線的傾斜角,所以該直線的傾斜角為150?!敬鸢浮?502曲線(為參數(shù))的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)是_?!窘馕觥炕癁槠胀ǚ匠虨?,故左焦點(diǎn)為(4,0)?!敬鸢浮?4,0)3已知直線l1:(t為參數(shù))與直線l2:(s為參數(shù))垂直,則k的值是_?!窘馕觥恐本€l1的方程為yx,斜率為;直線l2的方程為y2x1,斜率為2。l1與l2垂直,(2
4、)1k1?!敬鸢浮?4在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知射線與曲線(t為參數(shù))相交于A,B兩點(diǎn),則線段AB的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)?!窘馕觥坑汚(x1,y1),B(x2,y2),將射線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為yx(x0),曲線為y(x2)2,聯(lián)立上述兩個(gè)方程得x25x40,所以x1x25,故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為。【答案】5在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(參數(shù)tR),圓C的參數(shù)方程為(參數(shù)0,2),則圓心C到直線l的距離是_?!窘馕觥恐本€方程可化為xy10,圓的方程可化為(x1)2y21。由點(diǎn)到直線的距離公式可得,圓心C(1,0)到直線l的距離為?!?/p>
5、答案】微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 參數(shù)方程與普通方程的互化【典例1】將下列參數(shù)方程化為普通方程。(1)(t為參數(shù));(2)(為參數(shù))?!窘馕觥?1)221,x2y21。t210,t1或t1。又x,x0。當(dāng)t1時(shí),0x1,當(dāng)t1時(shí),1x0,所求普通方程為x2y21。(2)y1cos2112sin22sin2,sin2x2,y2x4,2xy40。0sin21,0x21。2x3。所求的普通方程為2xy40(2x3)。【答案】(1)x2y21(2)2xy40(2x3)反思?xì)w納將參數(shù)方程化為普通方程的方法1將參數(shù)方程化為普通方程,需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征,選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?。常?jiàn)的消參方法有:代入消參法、加減
6、消參法、平方消參法等,對(duì)于含三角函數(shù)的參數(shù)方程,常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參,如sin2cos21等。2將參數(shù)方程化為普通方程時(shí),要注意兩種方程的等價(jià)性,不要增解。【變式訓(xùn)練】將下列參數(shù)方程化為普通方程。(1)(2)【解析】(1)兩式相除,得k,將其代入得x,化簡(jiǎn)得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)。(2)由(sincos)21sin22(1sin2)得y22x。又x1sin20,2,得所求的普通方程為y22x,x0,2。【答案】(1)4x2y26y0(y6)(2)y22x,x0,2考點(diǎn)二 直線參數(shù)方程的應(yīng)用【典例2】(2016江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(
7、t為參數(shù)),橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))。設(shè)直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng)?!窘馕觥繖E圓C的普通方程為x21。將直線l的參數(shù)方程代入x21,得21,即7t216t0,解得t10,t2。所以|AB|t1t2|?!敬鸢浮糠此?xì)w納經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(x0,y0),傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。若A,B為直線l上兩點(diǎn),其對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2。線段AB的中點(diǎn)為M,點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t0。注意以下幾個(gè)常用的結(jié)論:(1)t0;(2)|PM|t0|;(3)|AB|t2t1|;(4)|PA|PB|t1t2|?!咀兪接?xùn)練】在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與
8、直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,圓C的方程為2sin 。(1)求圓C的圓心到直線l的距離;(2)設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B。若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,),求|PA|PB|?!窘馕觥?1)由2sin ,得x2y22y0,即圓C的直角坐標(biāo)方程為x2(y)25。由可得直線l的普通方程為xy30。所以圓C的圓心(0,)到直線l的距離為。(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程,得225,即t23t40。由于(3)24420,故可設(shè)t1,t2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,所以又直線l過(guò)點(diǎn)P(3,),故由上式及t的幾何意義得|PA|PB|t1|t2|t1t23?!敬鸢浮?1
9、)(2)3考點(diǎn)三 圓的參數(shù)方程的應(yīng)用【典例3】已知曲線C1:(t為參數(shù)),曲線C2:(為參數(shù))。(1)化C1,C2的方程為普通方程,并說(shuō)明它們分別表示什么曲線;(2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t,Q為C2上的動(dòng)點(diǎn),求PQ中點(diǎn)M到直線C3:(t為參數(shù))的距離的最小值?!窘馕觥?1)曲線C1:(x4)2(y3)21,曲線C2:1,曲線C1是以(4,3)為圓心,1為半徑的圓;曲線C2是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8,短半軸長(zhǎng)是3的橢圓。(2)當(dāng)t時(shí),P(4,4),Q(8cos,3sin),故M。曲線C3為直線x2y70,M到C3的距離d|4cos3sin13|,從而當(dāng)cos,sin時(shí),
10、d取最小值?!敬鸢浮?1)見(jiàn)解析(2)反思?xì)w納將參數(shù)方程中的參數(shù)消去便可得到曲線的普通方程,消去參數(shù)時(shí)常用的方法是代入法,有時(shí)也可根據(jù)參數(shù)的特征,通過(guò)對(duì)參數(shù)方程的加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算消去參數(shù),消參時(shí)要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)普通方程中點(diǎn)的坐標(biāo)的影響?!咀兪接?xùn)練】在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的極坐標(biāo)方程為2cos,。(1)求C的參數(shù)方程;(2)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線與直線l:yx2垂直,根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo)。【解析】(1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1)??傻肅的參數(shù)方程為(t為參數(shù),0t)。(2)設(shè)D(1co
11、st,sint)。由(1)知C是以C(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓。因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與l垂直,所以直線CD與l的斜率相同,tant,t。故點(diǎn)D的直角坐標(biāo)為,即。【答案】(1)(t為參數(shù),0t)(2)考點(diǎn)四 橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用【典例4】(2016全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin2。(1)寫(xiě)出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)。【解析】(1)C1的普通方程為y21,C2的直角坐標(biāo)方程為xy40。(2)由題意
12、,可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos,sin)。因?yàn)镃2是直線,所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值,d()|sin2|。當(dāng)且僅當(dāng)2k(kZ)時(shí),d()取得最小值,最小值為,此時(shí)P的直角坐標(biāo)為?!敬鸢浮?1)C1為y21,C2為xy40(2)最小值為,P反思?xì)w納橢圓的參數(shù)方程實(shí)質(zhì)是三角代換,有關(guān)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)距離的最大值、最小值以及取值范圍的問(wèn)題,通常利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解?!咀兪接?xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)圓x2y24xcos4ysin7cos280(R,為參數(shù))的圓心軌跡為曲線C,點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)。以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,若
13、直線l的極坐標(biāo)方程為2cos3,求點(diǎn)P到直線l的最大距離?!窘馕觥繉?dòng)圓的方程配方,得(x2cos)2(y2sin)293sin2,設(shè)圓心(x,y),則(R,為參數(shù)),即曲線C的參數(shù)方程為(R,為參數(shù)),直線l的直角坐標(biāo)方程為xy30,設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),則(R,為參數(shù)),點(diǎn)P到直線l的距離d,其中tan。當(dāng)sin()1時(shí),點(diǎn)P到直線l的距離d取得最大值。【答案】微考場(chǎng)新提升1已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))。(1)求直線l和圓C的普通方程;(2)若直線l與圓C有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析(1)直線l的普通方程為2xy2a0,圓C的普通方程為x2y216。
14、(2)因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn),故圓C的圓心到直線l的距離d4,解得2a2。答案(1)l為2xy2a0,C為x2y216(2)2,22在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為。(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程;(2)試判斷曲線C1與C2是否存在兩個(gè)交點(diǎn),若存在,求出兩交點(diǎn)間的距離;若不存在,說(shuō)明理由。解析(1)對(duì)于曲線C1有xy1,對(duì)于曲線C2有y21。(2)顯然曲線C1:xy1為直線,則其參數(shù)方程可寫(xiě)為(為參數(shù)),與曲線C2:y21聯(lián)立,可得521280,可知0,所以C1與C2存在兩個(gè)交
15、點(diǎn),由12,12,得兩交點(diǎn)間的距離d|21|。答案(1)C1為xy1,C2為y21(2)存在,兩交點(diǎn)間的距離為3(2017赤峰模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸非負(fù)半軸為極軸,與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,建立極坐標(biāo)系,設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l的極坐標(biāo)方程為sin2。(1)寫(xiě)出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離。解析(1)由sin2得(sincos)4,所以l:xy40,由得C:x21。(2)在C上任取一點(diǎn)P(cos,sin),則點(diǎn)P到直線l的距離為d,其中cos,sin,所以當(dāng)cos()1時(shí),dmax2。答案(1)C為x21,l為xy40(2)2我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式,改變粗放式增長(zhǎng)模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化,推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。